Theorem elfzmlbp 10088

Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzmlbp	|- ( ( N e. ZZ /\ K e. ( M ... ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem elfzmlbp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 9972	. . . 4 |- ( K e. ( M ... ( M + N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) )
2		znn0sub 9277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
3	2	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
4	3	biimpcd 158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M <_ K -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) e. NN0 ) )
5	4	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) e. NN0 ) )
6	5	impcom 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) e. NN0 )
7		zre 9216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
8	7	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> M e. RR )
9	8	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
10		zre 9216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
11	10	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. RR )
12	11	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> K e. RR )
13		zaddcl 9252	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
14	13	adantlr 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
15	14	zred 9334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. RR )
16		letr 8002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> M <_ ( M + N ) ) )
17	9, 12, 15, 16	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> M <_ ( M + N ) ) )
18		zre 9216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
19		addge01 8391	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ N <-> M <_ ( M + N ) ) )
20	8, 18, 19	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( 0 <_ N <-> M <_ ( M + N ) ) )
21		elnn0z 9225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
22	21	simplbi2 383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ N -> N e. NN0 ) )
23	22	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( 0 <_ N -> N e. NN0 ) )
24	20, 23	sylbird 169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ ( M + N ) -> N e. NN0 ) )
25	17, 24	syld 45	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> N e. NN0 ) )
26	25	imp 123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> N e. NN0 )
27		df-3an 975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) )
28		3ancoma 980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) <-> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
29	27, 28	bitr3i 185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) <-> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
30	10, 7, 18	3anim123i 1179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
31	29, 30	sylbi 120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
32		lesubadd2 8354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( K - M ) <_ N <-> K <_ ( M + N ) ) )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( K - M ) <_ N <-> K <_ ( M + N ) ) )
34	33	biimprcd 159	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K <_ ( M + N ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) <_ N ) )
35	34	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) <_ N ) )
36	35	impcom 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) <_ N )
37	6, 26, 36	3jca 1172	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
38	37	exp31 362	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ZZ -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) ) )
39	38	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) ) )
40	39	3adant2 1011	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) ) )
41	40	imp 123	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) )
42	41	com12 30	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) )
43	1, 42	syl5bi 151	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( K e. ( M ... ( M + N ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) )
44	43	imp 123	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ( M ... ( M + N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
45		elfz2nn0 10068	. 2 |- ( ( K - M ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
46	44, 45	sylibr 133	1 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ( M ... ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   + caddc 7777   <_ cle 7955   - cmin 8090   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

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