Theorem elfzmlbp 10466

Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzmlbp	|- ( ( N e. ZZ /\ K e. ( M ... ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem elfzmlbp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 10349	. . . 4 |- ( K e. ( M ... ( M + N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) )
2		znn0sub 9643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
3	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
4	3	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M <_ K -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) e. NN0 ) )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) e. NN0 ) )
6	5	impcom 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) e. NN0 )
7		zre 9581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> M e. RR )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
10		zre 9581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. RR )
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> K e. RR )
13		zaddcl 9617	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
14	13	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
15	14	zred 9700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. RR )
16		letr 8356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> M <_ ( M + N ) ) )
17	9, 12, 15, 16	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> M <_ ( M + N ) ) )
18		zre 9581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
19		addge01 8746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ N <-> M <_ ( M + N ) ) )
20	8, 18, 19	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( 0 <_ N <-> M <_ ( M + N ) ) )
21		elnn0z 9590	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
22	21	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ N -> N e. NN0 ) )
23	22	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( 0 <_ N -> N e. NN0 ) )
24	20, 23	sylbird 170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ ( M + N ) -> N e. NN0 ) )
25	17, 24	syld 45	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> N e. NN0 ) )
26	25	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> N e. NN0 )
27		df-3an 1007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) )
28		3ancoma 1012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) <-> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
29	27, 28	bitr3i 186	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) <-> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
30	10, 7, 18	3anim123i 1211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
31	29, 30	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
32		lesubadd2 8709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( K - M ) <_ N <-> K <_ ( M + N ) ) )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( K - M ) <_ N <-> K <_ ( M + N ) ) )
34	33	biimprcd 160	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K <_ ( M + N ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) <_ N ) )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) <_ N ) )
36	35	impcom 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) <_ N )
37	6, 26, 36	3jca 1204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
38	37	exp31 364	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ZZ -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) ) )
39	38	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) ) )
40	39	3adant2 1043	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) ) )
41	40	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) )
42	41	com12 30	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) )
43	1, 42	biimtrid 152	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( K e. ( M ... ( M + N ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) )
44	43	imp 124	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ( M ... ( M + N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
45		elfz2nn0 10446	. 2 |- ( ( K - M ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
46	44, 45	sylibr 134	1 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ( M ... ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RRcr 8126   0cc0 8127   + caddc 8130   <_ cle 8309   - cmin 8444   NN0cn0 9496   ZZcz 9577   ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343

This theorem is referenced by:  swrdccatin2  11421  pfxccatin12  11425