ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addge01 GIF version

Theorem addge01 8419
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
addge01 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem addge01
StepHypRef Expression
1 0re 7948 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 leadd2 8378 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 0) ≤ (𝐴 + 𝐵)))
31, 2mp3an1 1324 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 0) ≤ (𝐴 + 𝐵)))
43ancoms 268 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 0) ≤ (𝐴 + 𝐵)))
5 recn 7935 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
65addid1d 8096 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
76adantr 276 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
87breq1d 4010 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 0) ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
94, 8bitrd 188 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  cr 7801  0cc0 7802   + caddc 7805  cle 7983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-i2m1 7907  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4629  df-cnv 4631  df-iota 5174  df-fv 5220  df-ov 5872  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988
This theorem is referenced by:  addge02  8420  subge02  8425  addge01d  8480  nn0addge1  9211  elfzmlbp  10118  flqbi2  10277
  Copyright terms: Public domain W3C validator