Theorem addge01 8802

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
addge01	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem addge01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8327	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		leadd2 8761	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 0) ≤ (𝐴 + 𝐵)))
3	1, 2	mp3an1 1365	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 0) ≤ (𝐴 + 𝐵)))
4	3	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 0) ≤ (𝐴 + 𝐵)))
5		recn 8313	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	addridd 8477	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
8	7	breq1d 4140	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 0) ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
9	4, 8	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℝcr 8179  0cc0 8180   + caddc 8183   ≤ cle 8362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367

This theorem is used by:  addge02  8803  subge02  8808  addge01d  8863  nn0addge1  9614  elfzmlbp  10550  fzoun  10601  flqbi2  10740