ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0addge1 Unicode version

Theorem nn0addge1 9168
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0addge1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  <_  ( A  +  N ) )

Proof of Theorem nn0addge1
StepHypRef Expression
1 nn0re 9131 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2 nn0ge0 9147 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
31, 2jca 304 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <_  N ) )
4 addge01 8378 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  A  <_  ( A  +  N ) ) )
54biimp3a 1340 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  0  <_  N )  ->  A  <_  ( A  +  N
) )
653expb 1199 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )
)  ->  A  <_  ( A  +  N ) )
73, 6sylan2 284 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  <_  ( A  +  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   RRcr 7760   0cc0 7761    + caddc 7764    <_ cle 7942   NN0cn0 9122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-cnv 4617  df-iota 5158  df-fv 5204  df-ov 5853  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-inn 8866  df-n0 9123
This theorem is referenced by:  nn0addge1i  9170  fzctr  10076  nn0opthlem2d  10642  pcaddlem  12279
  Copyright terms: Public domain W3C validator