Theorem nn0addge1 9168

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addge1	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> A <_ ( A + N ) )

Proof of Theorem nn0addge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9131	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2		nn0ge0 9147	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
3	1, 2	jca 304	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N e. RR /\ 0 <_ N ) )
4		addge01 8378	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ N <-> A <_ ( A + N ) ) )
5	4	biimp3a 1340	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. RR /\ 0 <_ N ) -> A <_ ( A + N ) )
6	5	3expb 1199	. 2 |- ( ( A e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 <_ N ) ) -> A <_ ( A + N ) )
7	3, 6	sylan2 284	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> A <_ ( A + N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   RRcr 7760   0cc0 7761   + caddc 7764   <_ cle 7942   NN0cn0 9122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-cnv 4617  df-iota 5158  df-fv 5204  df-ov 5853  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-inn 8866  df-n0 9123

This theorem is referenced by:  nn0addge1i  9170  fzctr  10076  nn0opthlem2d  10642  pcaddlem  12279