Theorem flqbi2 10168

Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqbi2	|- ( ( N e. ZZ /\ F e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( N + F ) ) = N <-> ( 0 <_ F /\ F < 1 ) ) )

Proof of Theorem flqbi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9513	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
2		qaddcl 9522	. . . 4 |- ( ( N e. QQ /\ F e. QQ ) -> ( N + F ) e. QQ )
3	1, 2	sylan 281	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ F e. QQ ) -> ( N + F ) e. QQ )
4		simpl 108	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ F e. QQ ) -> N e. ZZ )
5		flqbi 10167	. . 3 |- ( ( ( N + F ) e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N + F ) ) = N <-> ( N <_ ( N + F ) /\ ( N + F ) < ( N + 1 ) ) ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 409	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ F e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( N + F ) ) = N <-> ( N <_ ( N + F ) /\ ( N + F ) < ( N + 1 ) ) ) )
7		zre 9150	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
8		qre 9512	. . 3 |- ( F e. QQ -> F e. RR )
9		addge01 8326	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ F e. RR ) -> ( 0 <_ F <-> N <_ ( N + F ) ) )
10		1re 7856	. . . . . 6 |- 1 e. RR
11		ltadd2 8273	. . . . . 6 |- ( ( F e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( F < 1 <-> ( N + F ) < ( N + 1 ) ) )
12	10, 11	mp3an2 1304	. . . . 5 |- ( ( F e. RR /\ N e. RR ) -> ( F < 1 <-> ( N + F ) < ( N + 1 ) ) )
13	12	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ F e. RR ) -> ( F < 1 <-> ( N + F ) < ( N + 1 ) ) )
14	9, 13	anbi12d 465	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ F e. RR ) -> ( ( 0 <_ F /\ F < 1 ) <-> ( N <_ ( N + F ) /\ ( N + F ) < ( N + 1 ) ) ) )
15	7, 8, 14	syl2an 287	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ F e. QQ ) -> ( ( 0 <_ F /\ F < 1 ) <-> ( N <_ ( N + F ) /\ ( N + F ) < ( N + 1 ) ) ) )
16	6, 15	bitr4d 190	1 |- ( ( N e. ZZ /\ F e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( N + F ) ) = N <-> ( 0 <_ F /\ F < 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 2125   class class class wbr 3961   ` cfv 5163  (class class class)co 5814   RRcr 7710   0cc0 7711   1c1 7712   + caddc 7714   < clt 7891   <_ cle 7892   ZZcz 9146   QQcq 9506   |_cfl 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147  df-q 9507  df-rp 9539  df-fl 10147

This theorem is referenced by:  adddivflid  10169  divfl0  10173  fldiv4p1lem1div2  10182  flqdiv  10198  modqid  10226  flodddiv4  11798