Theorem eqneg 8759

Description: A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
eqneg	|- ( A e. CC -> ( A = -u A <-> A = 0 ) )

Proof of Theorem eqneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1times 8160	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 1 + 1 ) x. A ) = ( A + A ) )
2		ax-1cn 7972	. . . . . 6 |- 1 e. CC
3	2, 2	addcli 8030	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) e. CC
4	3	mul01i 8417	. . . 4 |- ( ( 1 + 1 ) x. 0 ) = 0
5		negid 8273	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A + -u A ) = 0 )
6	4, 5	eqtr4id 2248	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 1 + 1 ) x. 0 ) = ( A + -u A ) )
7	1, 6	eqeq12d 2211	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( 1 + 1 ) x. A ) = ( ( 1 + 1 ) x. 0 ) <-> ( A + A ) = ( A + -u A ) ) )
8		id 19	. . 3 |- ( A e. CC -> A e. CC )
9		0cnd 8019	. . 3 |- ( A e. CC -> 0 e. CC )
10	3	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 1 + 1 ) e. CC )
11		1re 8025	. . . . . 6 |- 1 e. RR
12	11, 11	readdcli 8039	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) e. RR
13		0lt1 8153	. . . . . 6 |- 0 < 1
14	11, 11, 13, 13	addgt0ii 8518	. . . . 5 |- 0 < ( 1 + 1 )
15	12, 14	gt0ap0ii 8655	. . . 4 |- ( 1 + 1 ) # 0
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 1 + 1 ) # 0 )
17	8, 9, 10, 16	mulcanapd 8688	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( 1 + 1 ) x. A ) = ( ( 1 + 1 ) x. 0 ) <-> A = 0 ) )
18		negcl 8226	. . 3 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
19	8, 8, 18	addcand 8210	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( A + A ) = ( A + -u A ) <-> A = -u A ) )
20	7, 17, 19	3bitr3rd 219	1 |- ( A e. CC -> ( A = -u A <-> A = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   CCcc 7877   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   -ucneg 8198   # cap 8608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609

This theorem is referenced by:  eqnegd  8760  eqnegi  8768