Theorem eqneg 8253

Description: A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
eqneg	|- ( A e. CC -> ( A = -u A <-> A = 0 ) )

Proof of Theorem eqneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1times 7670	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 1 + 1 ) x. A ) = ( A + A ) )
2		negid 7783	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A + -u A ) = 0 )
3		ax-1cn 7492	. . . . . 6 |- 1 e. CC
4	3, 3	addcli 7546	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) e. CC
5	4	mul01i 7923	. . . 4 |- ( ( 1 + 1 ) x. 0 ) = 0
6	2, 5	syl6reqr 2140	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 1 + 1 ) x. 0 ) = ( A + -u A ) )
7	1, 6	eqeq12d 2103	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( 1 + 1 ) x. A ) = ( ( 1 + 1 ) x. 0 ) <-> ( A + A ) = ( A + -u A ) ) )
8		id 19	. . 3 |- ( A e. CC -> A e. CC )
9		0cnd 7535	. . 3 |- ( A e. CC -> 0 e. CC )
10	4	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 1 + 1 ) e. CC )
11		1re 7541	. . . . . 6 |- 1 e. RR
12	11, 11	readdcli 7555	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) e. RR
13		0lt1 7664	. . . . . 6 |- 0 < 1
14	11, 11, 13, 13	addgt0ii 8023	. . . . 5 |- 0 < ( 1 + 1 )
15	12, 14	gt0ap0ii 8158	. . . 4 |- ( 1 + 1 ) # 0
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 1 + 1 ) # 0 )
17	8, 9, 10, 16	mulcanapd 8184	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( 1 + 1 ) x. A ) = ( ( 1 + 1 ) x. 0 ) <-> A = 0 ) )
18		negcl 7736	. . 3 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
19	8, 8, 18	addcand 7720	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( A + A ) = ( A + -u A ) <-> A = -u A ) )
20	7, 17, 19	3bitr3rd 218	1 |- ( A e. CC -> ( A = -u A <-> A = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1290   e. wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   CCcc 7402   0cc0 7404   1c1 7405   + caddc 7407   x. cmul 7409   -ucneg 7708   # cap 8112

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113

This theorem is referenced by:  eqnegd  8254  eqnegi  8262