Theorem eqneg 8753

Description: A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
eqneg	|- ( A e. CC -> ( A = -u A <-> A = 0 ) )

Proof of Theorem eqneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1times 8155	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 1 + 1 ) x. A ) = ( A + A ) )
2		ax-1cn 7967	. . . . . 6 |- 1 e. CC
3	2, 2	addcli 8025	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) e. CC
4	3	mul01i 8412	. . . 4 |- ( ( 1 + 1 ) x. 0 ) = 0
5		negid 8268	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A + -u A ) = 0 )
6	4, 5	eqtr4id 2245	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 1 + 1 ) x. 0 ) = ( A + -u A ) )
7	1, 6	eqeq12d 2208	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( 1 + 1 ) x. A ) = ( ( 1 + 1 ) x. 0 ) <-> ( A + A ) = ( A + -u A ) ) )
8		id 19	. . 3 |- ( A e. CC -> A e. CC )
9		0cnd 8014	. . 3 |- ( A e. CC -> 0 e. CC )
10	3	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 1 + 1 ) e. CC )
11		1re 8020	. . . . . 6 |- 1 e. RR
12	11, 11	readdcli 8034	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) e. RR
13		0lt1 8148	. . . . . 6 |- 0 < 1
14	11, 11, 13, 13	addgt0ii 8512	. . . . 5 |- 0 < ( 1 + 1 )
15	12, 14	gt0ap0ii 8649	. . . 4 |- ( 1 + 1 ) # 0
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 1 + 1 ) # 0 )
17	8, 9, 10, 16	mulcanapd 8682	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( 1 + 1 ) x. A ) = ( ( 1 + 1 ) x. 0 ) <-> A = 0 ) )
18		negcl 8221	. . 3 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
19	8, 8, 18	addcand 8205	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( A + A ) = ( A + -u A ) <-> A = -u A ) )
20	7, 17, 19	3bitr3rd 219	1 |- ( A e. CC -> ( A = -u A <-> A = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   CCcc 7872   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   x. cmul 7879   -ucneg 8193   # cap 8602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603

This theorem is referenced by:  eqnegd  8754  eqnegi  8762