ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqneg Unicode version

Theorem eqneg 8253
Description: A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
eqneg  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =  -u A  <->  A  = 
0 ) )

Proof of Theorem eqneg
StepHypRef Expression
1 1p1times 7670 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
2 negid 7783 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  -u A )  =  0 )
3 ax-1cn 7492 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
43, 3addcli 7546 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  e.  CC
54mul01i 7923 . . . 4  |-  ( ( 1  +  1 )  x.  0 )  =  0
62, 5syl6reqr 2140 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  0 )  =  ( A  +  -u A ) )
71, 6eqeq12d 2103 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 1  +  1 )  x.  A
)  =  ( ( 1  +  1 )  x.  0 )  <->  ( A  +  A )  =  ( A  +  -u A
) ) )
8 id 19 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
9 0cnd 7535 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  CC )
104a1i 9 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  1 )  e.  CC )
11 1re 7541 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
1211, 11readdcli 7555 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  e.  RR
13 0lt1 7664 . . . . . 6  |-  0  <  1
1411, 11, 13, 13addgt0ii 8023 . . . . 5  |-  0  <  ( 1  +  1 )
1512, 14gt0ap0ii 8158 . . . 4  |-  ( 1  +  1 ) #  0
1615a1i 9 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  1 ) #  0 )
178, 9, 10, 16mulcanapd 8184 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( 1  +  1 )  x.  A
)  =  ( ( 1  +  1 )  x.  0 )  <->  A  = 
0 ) )
18 negcl 7736 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
198, 8, 18addcand 7720 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  A
)  =  ( A  +  -u A )  <->  A  =  -u A ) )
207, 17, 193bitr3rd 218 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =  -u A  <->  A  = 
0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1290    e. wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   CCcc 7402   0cc0 7404   1c1 7405    + caddc 7407    x. cmul 7409   -ucneg 7708   # cap 8112
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113
This theorem is referenced by:  eqnegd  8254  eqnegi  8262
  Copyright terms: Public domain W3C validator