Theorem 4pos 9087

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	|- 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9064	. . 3 |- 3 e. RR
2		1re 8025	. . 3 |- 1 e. RR
3		3pos 9084	. . 3 |- 0 < 3
4		0lt1 8153	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8518	. 2 |- 0 < ( 3 + 1 )
6		df-4 9051	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4060	1 |- 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   3c3 9042   4c4 9043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051

This theorem is referenced by:  4ne0  9088  4ap0  9089  5pos  9090  8th4div3  9210  div4p1lem1div2  9245  fldiv4p1lem1div2  10395  iexpcyc  10736  faclbnd2  10834  resqrexlemover  11175  resqrexlemcalc1  11179  resqrexlemcalc2  11180  resqrexlemcalc3  11181  resqrexlemnm  11183  resqrexlemga  11188  sqrt2gt1lt2  11214  flodddiv4  12101  dveflem  14962  coseq0negpitopi  15072  sincos4thpi  15076  gausslemma2dlem0d  15293