Theorem 4pos 8954

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	|- 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 8931	. . 3 |- 3 e. RR
2		1re 7898	. . 3 |- 1 e. RR
3		3pos 8951	. . 3 |- 0 < 3
4		0lt1 8025	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8389	. 2 |- 0 < ( 3 + 1 )
6		df-4 8918	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4009	1 |- 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   3c3 8909   4c4 8910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-ltxr 7938  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918

This theorem is referenced by:  4ne0  8955  4ap0  8956  5pos  8957  8th4div3  9076  div4p1lem1div2  9110  fldiv4p1lem1div2  10240  iexpcyc  10559  faclbnd2  10655  resqrexlemover  10952  resqrexlemcalc1  10956  resqrexlemcalc2  10957  resqrexlemcalc3  10958  resqrexlemnm  10960  resqrexlemga  10965  sqrt2gt1lt2  10991  flodddiv4  11871  dveflem  13327  coseq0negpitopi  13397  sincos4thpi  13401