Theorem 4pos 9133

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	|- 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9110	. . 3 |- 3 e. RR
2		1re 8071	. . 3 |- 1 e. RR
3		3pos 9130	. . 3 |- 0 < 3
4		0lt1 8199	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8564	. 2 |- 0 < ( 3 + 1 )
6		df-4 9097	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4071	1 |- 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   < clt 8107   3c3 9088   4c4 9089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-iota 5232  df-fv 5279  df-ov 5947  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097

This theorem is referenced by:  4ne0  9134  4ap0  9135  5pos  9136  8th4div3  9256  div4p1lem1div2  9291  fldiv4p1lem1div2  10448  iexpcyc  10789  faclbnd2  10887  resqrexlemover  11321  resqrexlemcalc1  11325  resqrexlemcalc2  11326  resqrexlemcalc3  11327  resqrexlemnm  11329  resqrexlemga  11334  sqrt2gt1lt2  11360  flodddiv4  12247  dveflem  15198  coseq0negpitopi  15308  sincos4thpi  15312  gausslemma2dlem0d  15529