Theorem 4pos 9207

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	|- 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9184	. . 3 |- 3 e. RR
2		1re 8145	. . 3 |- 1 e. RR
3		3pos 9204	. . 3 |- 0 < 3
4		0lt1 8273	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8638	. 2 |- 0 < ( 3 + 1 )
6		df-4 9171	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4110	1 |- 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   < clt 8181   3c3 9162   4c4 9163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171

This theorem is referenced by:  4ne0  9208  4ap0  9209  5pos  9210  8th4div3  9330  div4p1lem1div2  9365  fldiv4p1lem1div2  10525  iexpcyc  10866  faclbnd2  10964  resqrexlemover  11521  resqrexlemcalc1  11525  resqrexlemcalc2  11526  resqrexlemcalc3  11527  resqrexlemnm  11529  resqrexlemga  11534  sqrt2gt1lt2  11560  flodddiv4  12447  dveflem  15400  coseq0negpitopi  15510  sincos4thpi  15514  gausslemma2dlem0d  15731