Theorem 4pos 9168

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	|- 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9145	. . 3 |- 3 e. RR
2		1re 8106	. . 3 |- 1 e. RR
3		3pos 9165	. . 3 |- 0 < 3
4		0lt1 8234	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8599	. 2 |- 0 < ( 3 + 1 )
6		df-4 9132	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4086	1 |- 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   < clt 8142   3c3 9123   4c4 9124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-iota 5251  df-fv 5298  df-ov 5970  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132

This theorem is referenced by:  4ne0  9169  4ap0  9170  5pos  9171  8th4div3  9291  div4p1lem1div2  9326  fldiv4p1lem1div2  10485  iexpcyc  10826  faclbnd2  10924  resqrexlemover  11436  resqrexlemcalc1  11440  resqrexlemcalc2  11441  resqrexlemcalc3  11442  resqrexlemnm  11444  resqrexlemga  11449  sqrt2gt1lt2  11475  flodddiv4  12362  dveflem  15313  coseq0negpitopi  15423  sincos4thpi  15427  gausslemma2dlem0d  15644