Theorem 4pos 8724

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	|- 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 8701	. . 3 |- 3 e. RR
2		1re 7686	. . 3 |- 1 e. RR
3		3pos 8721	. . 3 |- 0 < 3
4		0lt1 7809	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8169	. 2 |- 0 < ( 3 + 1 )
6		df-4 8688	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 3920	1 |- 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728   0cc0 7544   1c1 7545   + caddc 7547   < clt 7721   3c3 8679   4c4 8680

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1cn 7635  ax-1re 7636  ax-icn 7637  ax-addcl 7638  ax-addrcl 7639  ax-mulcl 7640  ax-addcom 7642  ax-addass 7644  ax-i2m1 7647  ax-0lt1 7648  ax-0id 7650  ax-rnegex 7651  ax-pre-lttrn 7656  ax-pre-ltadd 7658

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-xp 4505  df-iota 5046  df-fv 5089  df-ov 5731  df-pnf 7723  df-mnf 7724  df-ltxr 7726  df-2 8686  df-3 8687  df-4 8688

This theorem is referenced by:  4ne0  8725  4ap0  8726  5pos  8727  8th4div3  8840  div4p1lem1div2  8874  fldiv4p1lem1div2  9968  iexpcyc  10287  faclbnd2  10378  resqrexlemover  10671  resqrexlemcalc1  10675  resqrexlemcalc2  10676  resqrexlemcalc3  10677  resqrexlemnm  10679  resqrexlemga  10684  sqrt2gt1lt2  10710  flodddiv4  11476