Theorem 4pos 9380

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	|- 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9357	. . 3 |- 3 e. RR
2		1re 8315	. . 3 |- 1 e. RR
3		3pos 9377	. . 3 |- 0 < 3
4		0lt1 8443	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8809	. 2 |- 0 < ( 3 + 1 )
6		df-4 9344	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4152	1 |- 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   3c3 9335   4c4 9336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344

This theorem is referenced by:  4ne0  9381  4ap0  9382  5pos  9383  8th4div3  9503  div4p1lem1div2  9538  fldiv4p1lem1div2  10718  iexpcyc  11059  faclbnd2  11158  resqrexlemover  11754  resqrexlemcalc1  11758  resqrexlemcalc2  11759  resqrexlemcalc3  11760  resqrexlemnm  11762  resqrexlemga  11767  sqrt2gt1lt2  11793  flodddiv4  12681  dveflem  15750  coseq0negpitopi  15860  sincos4thpi  15864  gausslemma2dlem0d  16085