Theorem 4pos 9135

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	|- 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9112	. . 3 |- 3 e. RR
2		1re 8073	. . 3 |- 1 e. RR
3		3pos 9132	. . 3 |- 0 < 3
4		0lt1 8201	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8566	. 2 |- 0 < ( 3 + 1 )
6		df-4 9099	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4072	1 |- 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4045  (class class class)co 5946   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   < clt 8109   3c3 9090   4c4 9091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-iota 5233  df-fv 5280  df-ov 5949  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-ltxr 8114  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099

This theorem is referenced by:  4ne0  9136  4ap0  9137  5pos  9138  8th4div3  9258  div4p1lem1div2  9293  fldiv4p1lem1div2  10450  iexpcyc  10791  faclbnd2  10889  resqrexlemover  11354  resqrexlemcalc1  11358  resqrexlemcalc2  11359  resqrexlemcalc3  11360  resqrexlemnm  11362  resqrexlemga  11367  sqrt2gt1lt2  11393  flodddiv4  12280  dveflem  15231  coseq0negpitopi  15341  sincos4thpi  15345  gausslemma2dlem0d  15562