Theorem 4pos 9299

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	|- 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9276	. . 3 |- 3 e. RR
2		1re 8238	. . 3 |- 1 e. RR
3		3pos 9296	. . 3 |- 0 < 3
4		0lt1 8365	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8730	. 2 |- 0 < ( 3 + 1 )
6		df-4 9263	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4120	1 |- 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   < clt 8273   3c3 9254   4c4 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263

This theorem is referenced by:  4ne0  9300  4ap0  9301  5pos  9302  8th4div3  9422  div4p1lem1div2  9457  fldiv4p1lem1div2  10628  iexpcyc  10969  faclbnd2  11067  resqrexlemover  11650  resqrexlemcalc1  11654  resqrexlemcalc2  11655  resqrexlemcalc3  11656  resqrexlemnm  11658  resqrexlemga  11663  sqrt2gt1lt2  11689  flodddiv4  12577  dveflem  15537  coseq0negpitopi  15647  sincos4thpi  15651  gausslemma2dlem0d  15871