Theorem 4pos 8817

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	|- 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 8794	. . 3 |- 3 e. RR
2		1re 7765	. . 3 |- 1 e. RR
3		3pos 8814	. . 3 |- 0 < 3
4		0lt1 7889	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8253	. 2 |- 0 < ( 3 + 1 )
6		df-4 8781	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 3955	1 |- 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   < clt 7800   3c3 8772   4c4 8773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-ltxr 7805  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781

This theorem is referenced by:  4ne0  8818  4ap0  8819  5pos  8820  8th4div3  8939  div4p1lem1div2  8973  fldiv4p1lem1div2  10078  iexpcyc  10397  faclbnd2  10488  resqrexlemover  10782  resqrexlemcalc1  10786  resqrexlemcalc2  10787  resqrexlemcalc3  10788  resqrexlemnm  10790  resqrexlemga  10795  sqrt2gt1lt2  10821  flodddiv4  11631  dveflem  12855  coseq0negpitopi  12917  sincos4thpi  12921