Theorem 4pos 9104

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	|- 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9081	. . 3 |- 3 e. RR
2		1re 8042	. . 3 |- 1 e. RR
3		3pos 9101	. . 3 |- 0 < 3
4		0lt1 8170	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8535	. 2 |- 0 < ( 3 + 1 )
6		df-4 9068	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4061	1 |- 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078   3c3 9059   4c4 9060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068

This theorem is referenced by:  4ne0  9105  4ap0  9106  5pos  9107  8th4div3  9227  div4p1lem1div2  9262  fldiv4p1lem1div2  10412  iexpcyc  10753  faclbnd2  10851  resqrexlemover  11192  resqrexlemcalc1  11196  resqrexlemcalc2  11197  resqrexlemcalc3  11198  resqrexlemnm  11200  resqrexlemga  11205  sqrt2gt1lt2  11231  flodddiv4  12118  dveflem  15046  coseq0negpitopi  15156  sincos4thpi  15160  gausslemma2dlem0d  15377