Theorem 4pos 9410

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	|- 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9387	. . 3 |- 3 e. RR
2		1re 8331	. . 3 |- 1 e. RR
3		3pos 9407	. . 3 |- 0 < 3
4		0lt1 8460	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8826	. 2 |- 0 < ( 3 + 1 )
6		df-4 9374	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4158	1 |- 0 < 4

This proof depends on syntax axioms:   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   < clt 8366   3c3 9365   4c4 9366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374

This theorem is used by:  4ne0  9411  4ap0  9412  5pos  9413  8th4div3  9535  div4p1lem1div2  9570  fldiv4p1lem1div2  10761  iexpcyc  11102  faclbnd2  11202  resqrexlemover  11798  resqrexlemcalc1  11802  resqrexlemcalc2  11803  resqrexlemcalc3  11804  resqrexlemnm  11806  resqrexlemga  11811  sqrt2gt1lt2  11837  flodddiv4  12728  dveflem  15952  coseq0negpitopi  16063  sincos4thpi  16067  chtublem  16295  bposlem6  16316  gausslemma2dlem0d  16376