Theorem 4pos 8909

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	|- 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 8886	. . 3 |- 3 e. RR
2		1re 7856	. . 3 |- 1 e. RR
3		3pos 8906	. . 3 |- 0 < 3
4		0lt1 7981	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8345	. 2 |- 0 < ( 3 + 1 )
6		df-4 8873	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 3987	1 |- 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814   0cc0 7711   1c1 7712   + caddc 7714   < clt 7891   3c3 8864   4c4 8865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-ltadd 7827

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rab 2441  df-v 2711  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-xp 4585  df-iota 5128  df-fv 5171  df-ov 5817  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-ltxr 7896  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873

This theorem is referenced by:  4ne0  8910  4ap0  8911  5pos  8912  8th4div3  9031  div4p1lem1div2  9065  fldiv4p1lem1div2  10182  iexpcyc  10501  faclbnd2  10593  resqrexlemover  10887  resqrexlemcalc1  10891  resqrexlemcalc2  10892  resqrexlemcalc3  10893  resqrexlemnm  10895  resqrexlemga  10900  sqrt2gt1lt2  10926  flodddiv4  11798  dveflem  13034  coseq0negpitopi  13104  sincos4thpi  13108