Theorem 4pos 9403

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	|- 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9380	. . 3 |- 3 e. RR
2		1re 8325	. . 3 |- 1 e. RR
3		3pos 9400	. . 3 |- 0 < 3
4		0lt1 8454	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8820	. 2 |- 0 < ( 3 + 1 )
6		df-4 9367	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4157	1 |- 0 < 4

This proof depends on syntax axioms:   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360   3c3 9358   4c4 9359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367

This theorem is used by:  4ne0  9404  4ap0  9405  5pos  9406  8th4div3  9528  div4p1lem1div2  9563  fldiv4p1lem1div2  10753  iexpcyc  11094  faclbnd2  11194  resqrexlemover  11790  resqrexlemcalc1  11794  resqrexlemcalc2  11795  resqrexlemcalc3  11796  resqrexlemnm  11798  resqrexlemga  11803  sqrt2gt1lt2  11829  flodddiv4  12719  dveflem  15876  coseq0negpitopi  15987  sincos4thpi  15991  gausslemma2dlem0d  16269