Theorem 4pos 9334

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	|- 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9311	. . 3 |- 3 e. RR
2		1re 8273	. . 3 |- 1 e. RR
3		3pos 9331	. . 3 |- 0 < 3
4		0lt1 8400	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8765	. 2 |- 0 < ( 3 + 1 )
6		df-4 9298	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4136	1 |- 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   3c3 9289   4c4 9290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298

This theorem is referenced by:  4ne0  9335  4ap0  9336  5pos  9337  8th4div3  9457  div4p1lem1div2  9492  fldiv4p1lem1div2  10665  iexpcyc  11006  faclbnd2  11104  resqrexlemover  11695  resqrexlemcalc1  11699  resqrexlemcalc2  11700  resqrexlemcalc3  11701  resqrexlemnm  11703  resqrexlemga  11708  sqrt2gt1lt2  11734  flodddiv4  12622  dveflem  15591  coseq0negpitopi  15701  sincos4thpi  15705  gausslemma2dlem0d  15925