ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addgt0ii GIF version

Theorem addgt0ii 8023
Description: Addition of 2 positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt2.1 𝐴 ∈ ℝ
lt2.2 𝐵 ∈ ℝ
addgt0i.3 0 < 𝐴
addgt0i.4 0 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
addgt0ii 0 < (𝐴 + 𝐵)

Proof of Theorem addgt0ii
StepHypRef Expression
1 addgt0i.3 . 2 0 < 𝐴
2 addgt0i.4 . 2 0 < 𝐵
3 lt2.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
4 lt2.2 . . 3 𝐵 ∈ ℝ
53, 4addgt0i 8020 . 2 ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
61, 2, 5mp2an 418 1 0 < (𝐴 + 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  cr 7403  0cc0 7404   + caddc 7407   < clt 7576
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-i2m1 7504  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-ltadd 7515
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4457  df-iota 4993  df-fv 5036  df-ov 5669  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-ltxr 7581
This theorem is referenced by:  eqneg  8253  2pos  8567  3pos  8570  4pos  8573  5pos  8576  6pos  8577  7pos  8578  8pos  8579  9pos  8580
  Copyright terms: Public domain W3C validator