Theorem 3pos 8947

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	|- 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8923	. . 3 |- 2 e. RR
2		1re 7894	. . 3 |- 1 e. RR
3		2pos 8944	. . 3 |- 0 < 2
4		0lt1 8021	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8385	. 2 |- 0 < ( 2 + 1 )
6		df-3 8913	. 2 |- 3 = ( 2 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4008	1 |- 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841   0cc0 7749   1c1 7750   + caddc 7752   < clt 7929   2c2 8904   3c3 8905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-iota 5152  df-fv 5195  df-ov 5844  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-ltxr 7934  df-2 8912  df-3 8913

This theorem is referenced by:  3ne0  8948  3ap0  8949  4pos  8950  8th4div3  9072  halfpm6th  9073  3rp  9591  fz0to4untppr  10055  sqrt9  10986  ef01bndlem  11693  cos2bnd  11697  sin01gt0  11698  cos01gt0  11699  flodddiv4  11867  coseq0negpitopi  13357  tangtx  13359  sincos6thpi  13363  cos02pilt1  13372  lgsdir2lem1  13529  ex-gcd  13572