Theorem 3pos 9011

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	|- 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8987	. . 3 |- 2 e. RR
2		1re 7955	. . 3 |- 1 e. RR
3		2pos 9008	. . 3 |- 0 < 2
4		0lt1 8082	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8446	. 2 |- 0 < ( 2 + 1 )
6		df-3 8977	. 2 |- 3 = ( 2 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4030	1 |- 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   0cc0 7810   1c1 7811   + caddc 7813   < clt 7990   2c2 8968   3c3 8969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-2 8976  df-3 8977

This theorem is referenced by:  3ne0  9012  3ap0  9013  4pos  9014  8th4div3  9136  halfpm6th  9137  3rp  9657  fz0to4untppr  10121  sqrt9  11052  ef01bndlem  11759  cos2bnd  11763  sin01gt0  11764  cos01gt0  11765  flodddiv4  11933  slotsdifunifndx  12677  coseq0negpitopi  14150  tangtx  14152  sincos6thpi  14156  cos02pilt1  14165  lgsdir2lem1  14322  ex-gcd  14365