Theorem 3pos 9078

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	|- 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9054	. . 3 |- 2 e. RR
2		1re 8020	. . 3 |- 1 e. RR
3		2pos 9075	. . 3 |- 0 < 2
4		0lt1 8148	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8512	. 2 |- 0 < ( 2 + 1 )
6		df-3 9044	. 2 |- 3 = ( 2 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4057	1 |- 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056   2c2 9035   3c3 9036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-2 9043  df-3 9044

This theorem is referenced by:  3ne0  9079  3ap0  9080  4pos  9081  8th4div3  9204  halfpm6th  9205  3rp  9728  fz0to4untppr  10193  sqrt9  11195  ef01bndlem  11902  cos2bnd  11906  sin01gt0  11908  cos01gt0  11909  flodddiv4  12078  slotsdifunifndx  12848  coseq0negpitopi  15012  tangtx  15014  sincos6thpi  15018  cos02pilt1  15027  lgsdir2lem1  15185  ex-gcd  15293