Theorem 3pos 9407

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	|- 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9383	. . 3 |- 2 e. RR
2		1re 8331	. . 3 |- 1 e. RR
3		2pos 9404	. . 3 |- 0 < 2
4		0lt1 8460	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8826	. 2 |- 0 < ( 2 + 1 )
6		df-3 9373	. 2 |- 3 = ( 2 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4158	1 |- 0 < 3

This proof depends on syntax axioms:   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   < clt 8366   2c2 9364   3c3 9365

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-2 9372  df-3 9373

This theorem is used by:  3ne0  9408  3ap0  9409  4pos  9410  8th4div3  9535  halfpm6th  9536  3rp  10077  fz0to4untppr  10548  sqrt9  11836  ef01bndlem  12548  cos2bnd  12552  sin01gt0  12554  cos01gt0  12555  flodddiv4  12728  43prm  13265  slotsdifunifndx  13645  coseq0negpitopi  16063  tangtx  16065  sincos6thpi  16069  cos02pilt1  16079  log2tlbndlog2  16220  ppiqub  16293  bposlem2  16312  bposlem3  16313  bposlem4  16314  bposlem5  16315  lgsdir2lem1  16352  ex-gcd  16950