Theorem 3pos 9215

Description: The number 3 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
3pos	|- 0 < 3

Proof of Theorem 3pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9191	. . 3 |- 2 e. RR
2		1re 8156	. . 3 |- 1 e. RR
3		2pos 9212	. . 3 |- 0 < 2
4		0lt1 8284	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 8649	. 2 |- 0 < ( 2 + 1 )
6		df-3 9181	. 2 |- 3 = ( 2 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 4110	1 |- 0 < 3

Syntax hints:   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   0cc0 8010   1c1 8011   + caddc 8013   < clt 8192   2c2 9172   3c3 9173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-2 9180  df-3 9181

This theorem is referenced by:  3ne0  9216  3ap0  9217  4pos  9218  8th4div3  9341  halfpm6th  9342  3rp  9867  fz0to4untppr  10332  sqrt9  11575  ef01bndlem  12283  cos2bnd  12287  sin01gt0  12289  cos01gt0  12290  flodddiv4  12463  slotsdifunifndx  13281  coseq0negpitopi  15526  tangtx  15528  sincos6thpi  15532  cos02pilt1  15541  lgsdir2lem1  15723  ex-gcd  16178