Theorem asclmul2 15114

Description: Right multiplication by a lifted scalar is the same as the scalar operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclmul1.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclmul1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclmul1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
asclmul1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
asclmul1.t	⊢ × = (.r‘𝑊)
asclmul1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclmul2	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 × (𝐴‘𝑅)) = (𝑅 · 𝑋))

Proof of Theorem asclmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclmul1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		asclmul1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		asclmul1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		asclmul1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
6		simp2 1029	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
7		assalmod 15090	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
8	7	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9		assaring 15091	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
10	9	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Ring)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10	asclvald 15106	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴‘𝑅) = (𝑅 · (1r‘𝑊)))
12	11	oveq2d 6101	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 × (𝐴‘𝑅)) = (𝑋 × (𝑅 · (1r‘𝑊))))
13		simp1 1028	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ AssAlg)
14		simp3 1030	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		asclmul1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16	15, 5	ringidcl 14409	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
17	10, 16	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)
18		asclmul1.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑊)
19	15, 2, 3, 4, 18	assaassr 15089	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝑉)) → (𝑋 × (𝑅 · (1r‘𝑊))) = (𝑅 · (𝑋 × (1r‘𝑊))))
20	13, 6, 14, 17, 19	syl13anc 1280	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 × (𝑅 · (1r‘𝑊))) = (𝑅 · (𝑋 × (1r‘𝑊))))
21	15, 18, 5	ringridm 14413	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 × (1r‘𝑊)) = 𝑋)
22	10, 14, 21	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 × (1r‘𝑊)) = 𝑋)
23	22	oveq2d 6101	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · (𝑋 × (1r‘𝑊))) = (𝑅 · 𝑋))
24	12, 20, 23	3eqtrd 2275	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 × (𝐴‘𝑅)) = (𝑅 · 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13404  ._rcmulr 13485  Scalarcsca 13487   ·_𝑠 cvsca 13488  1_rcur 14346  Ringcrg 14384  LModclmod 14707  AssAlgcasa 15080  algSccascl 15082

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-ring 14386  df-lmod 14709  df-assa 15083  df-ascl 15085

This theorem is used by: (None)