Theorem ringridm 14118

Description: The unity element of a ring is a right multiplicative identity. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidm.b	|- B = ( Base ` R )
rngidm.t	|- .x. = ( .r ` R )
rngidm.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringridm	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X .x. .1. ) = X )

Proof of Theorem ringridm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngidm.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
2		rngidm.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
3		rngidm.u	. . 3 |- .1. = ( 1r ` R )
4	1, 2, 3	ringidmlem 14116	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( ( .1. .x. X ) = X /\ ( X .x. .1. ) = X ) )
5	4	simprd 114	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X .x. .1. ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   .rcmulr 13241   1rcur 14053   Ringcrg 14090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-mgp 14015  df-ur 14054  df-ring 14092

This theorem is referenced by:  ringidss  14123  ringinvnz1ne0  14143  ringnegr  14146  ringressid  14157  imasring  14158  opprring  14173  unitmulcl  14208  unitgrp  14211  dvr1  14233  dvrcan1  14235  dvrcan3  14236  subrginv  14332  issubrg2  14336  lgseisenlem4  15892