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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > climuni | Unicode version |
Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.) |
Ref | Expression |
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climuni |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 1z 8671 |
. . 3
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2 | nnuz 8948 |
. . . . . . 7
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3 | 1zzd 8672 |
. . . . . . 7
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4 | climcl 10494 |
. . . . . . . . . . 11
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5 | 4 | 3ad2ant1 960 |
. . . . . . . . . 10
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6 | climcl 10494 |
. . . . . . . . . . 11
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7 | 6 | 3ad2ant2 961 |
. . . . . . . . . 10
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8 | 5, 7 | subcld 7695 |
. . . . . . . . 9
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9 | simp3 941 |
. . . . . . . . . 10
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10 | 5, 7, 9 | subap0d 8016 |
. . . . . . . . 9
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11 | 8, 10 | absrpclapd 10447 |
. . . . . . . 8
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12 | 11 | rphalfcld 9080 |
. . . . . . 7
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13 | eqidd 2084 |
. . . . . . 7
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14 | simp1 939 |
. . . . . . 7
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15 | 2, 3, 12, 13, 14 | climi 10499 |
. . . . . 6
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16 | simp2 940 |
. . . . . . 7
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17 | 2, 3, 12, 13, 16 | climi 10499 |
. . . . . 6
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18 | 2 | rexanuz2 10250 |
. . . . . 6
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19 | 15, 17, 18 | sylanbrc 408 |
. . . . 5
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20 | nnz 8664 |
. . . . . . . . 9
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21 | uzid 8927 |
. . . . . . . . 9
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22 | elex2 2626 |
. . . . . . . . 9
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23 | r19.2m 3350 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 23 | ex 113 |
. . . . . . . . 9
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25 | 20, 21, 22, 24 | 4syl 18 |
. . . . . . . 8
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26 | simpr 108 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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27 | simpll 496 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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28 | 26, 27 | abssubd 10452 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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29 | 28 | breq1d 3821 |
. . . . . . . . . . . . 13
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30 | simplr 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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31 | subcl 7583 |
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32 | 31 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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33 | 32 | abscld 10440 |
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34 | abs3lem 10370 |
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35 | 27, 30, 26, 33, 34 | syl22anc 1171 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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36 | 33 | ltnrd 7498 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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37 | 36 | pm2.21d 582 |
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38 | 35, 37 | syld 44 |
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39 | 38 | expd 254 |
. . . . . . . . . . . . 13
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40 | 29, 39 | sylbid 148 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 40 | impr 371 |
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44 | 43 | rexlimdvw 2486 |
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46 | 45 | rexlimdva 2483 |
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47 | 5, 7, 46 | syl2anc 403 |
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48 | 19, 47 | mpd 13 |
. . . 4
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49 | 48 | 3expia 1141 |
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50 | 1, 49 | mt2i 606 |
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51 | apti 7998 |
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52 | 4, 6, 51 | syl2an 283 |
. 2
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53 | 50, 52 | mpbird 165 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 577 ax-in2 578 ax-io 663 ax-5 1377 ax-7 1378 ax-gen 1379 ax-ie1 1423 ax-ie2 1424 ax-8 1436 ax-10 1437 ax-11 1438 ax-i12 1439 ax-bndl 1440 ax-4 1441 ax-13 1445 ax-14 1446 ax-17 1460 ax-i9 1464 ax-ial 1468 ax-i5r 1469 ax-ext 2065 ax-coll 3919 ax-sep 3922 ax-nul 3930 ax-pow 3974 ax-pr 3999 ax-un 4223 ax-setind 4315 ax-iinf 4365 ax-cnex 7338 ax-resscn 7339 ax-1cn 7340 ax-1re 7341 ax-icn 7342 ax-addcl 7343 ax-addrcl 7344 ax-mulcl 7345 ax-mulrcl 7346 ax-addcom 7347 ax-mulcom 7348 ax-addass 7349 ax-mulass 7350 ax-distr 7351 ax-i2m1 7352 ax-0lt1 7353 ax-1rid 7354 ax-0id 7355 ax-rnegex 7356 ax-precex 7357 ax-cnre 7358 ax-pre-ltirr 7359 ax-pre-ltwlin 7360 ax-pre-lttrn 7361 ax-pre-apti 7362 ax-pre-ltadd 7363 ax-pre-mulgt0 7364 ax-pre-mulext 7365 ax-arch 7366 ax-caucvg 7367 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 777 df-3or 921 df-3an 922 df-tru 1288 df-fal 1291 df-nf 1391 df-sb 1688 df-eu 1946 df-mo 1947 df-clab 2070 df-cleq 2076 df-clel 2079 df-nfc 2212 df-ne 2250 df-nel 2345 df-ral 2358 df-rex 2359 df-reu 2360 df-rmo 2361 df-rab 2362 df-v 2614 df-sbc 2827 df-csb 2920 df-dif 2986 df-un 2988 df-in 2990 df-ss 2997 df-nul 3270 df-if 3374 df-pw 3408 df-sn 3428 df-pr 3429 df-op 3431 df-uni 3628 df-int 3663 df-iun 3706 df-br 3812 df-opab 3866 df-mpt 3867 df-tr 3902 df-id 4083 df-po 4086 df-iso 4087 df-iord 4156 df-on 4158 df-ilim 4159 df-suc 4161 df-iom 4368 df-xp 4406 df-rel 4407 df-cnv 4408 df-co 4409 df-dm 4410 df-rn 4411 df-res 4412 df-ima 4413 df-iota 4933 df-fun 4970 df-fn 4971 df-f 4972 df-f1 4973 df-fo 4974 df-f1o 4975 df-fv 4976 df-riota 5546 df-ov 5593 df-oprab 5594 df-mpt2 5595 df-1st 5845 df-2nd 5846 df-recs 6001 df-frec 6087 df-pnf 7426 df-mnf 7427 df-xr 7428 df-ltxr 7429 df-le 7430 df-sub 7557 df-neg 7558 df-reap 7951 df-ap 7958 df-div 8037 df-inn 8316 df-2 8374 df-3 8375 df-4 8376 df-n0 8565 df-z 8646 df-uz 8914 df-rp 9029 df-iseq 9740 df-iexp 9791 df-cj 10102 df-re 10103 df-im 10104 df-rsqrt 10257 df-abs 10258 df-clim 10491 |
This theorem is referenced by: fclim 10506 climeu 10508 climrecl 10535 |
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