Theorem climuni 11475

Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climuni	|- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> A = B )

Proof of Theorem climuni

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9369	. . 3 |- 1 e. ZZ
2		nnuz 9654	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1zzd 9370	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> 1 e. ZZ )
4		climcl 11464	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
5	4	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> A e. CC )
6		climcl 11464	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ~~> B -> B e. CC )
7	6	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> B e. CC )
8	5, 7	subcld 8354	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( A - B ) e. CC )
9		simp3 1001	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> A # B )
10	5, 7, 9	subap0d 8688	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( A - B ) # 0 )
11	8, 10	absrpclapd 11370	. . . . . . . 8 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR+ )
12	11	rphalfcld 9801	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) e. RR+ )
13		eqidd 2197	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
14		simp1 999	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> F ~~> A )
15	2, 3, 12, 13, 14	climi 11469	. . . . . 6 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) )
16		simp2 1000	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> F ~~> B )
17	2, 3, 12, 13, 16	climi 11469	. . . . . 6 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) )
18	2	rexanuz2 11173	. . . . . 6 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) <-> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) )
19	15, 17, 18	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) )
20		nnz 9362	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
21		uzid 9632	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
22		elex2 2779	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> E. k k e. ( ZZ>= ` j ) )
23		r19.2m 3538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. k k e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) )
24	23	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( E. k k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) ) )
25	20, 21, 22, 24	4syl 18	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) ) )
26		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` k ) e. CC )
27		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> A e. CC )
28	26, 27	abssubd 11375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) = ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) )
29	28	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) <-> ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) )
30		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> B e. CC )
31		subcl 8242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
33	32	abscld 11363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR )
34		abs3lem 11293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( A - B ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) ) )
35	27, 30, 26, 33, 34	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) ) )
36	33	ltnrd 8155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> -. ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) )
37	36	pm2.21d 620	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
38	35, 37	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
39	38	expd 258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> -. 1 e. ZZ ) ) )
40	29, 39	sylbid 150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> -. 1 e. ZZ ) ) )
41	40	impr 379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> -. 1 e. ZZ ) )
42	41	adantld 278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
43	42	expimpd 363	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
44	43	rexlimdvw 2618	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
45	25, 44	sylan9r 410	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
46	45	rexlimdva 2614	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
47	5, 7, 46	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
48	19, 47	mpd 13	. . . 4 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> -. 1 e. ZZ )
49	48	3expia 1207	. . 3 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> ( A # B -> -. 1 e. ZZ ) )
50	1, 49	mt2i 645	. 2 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> -. A # B )
51		apti 8666	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
52	4, 6, 51	syl2an 289	. 2 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
53	50, 52	mpbird 167	1 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   1c1 7897   < clt 8078   - cmin 8214   # cap 8625   / cdiv 8716   NNcn 9007   2c2 9058   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   abscabs 11179   ~~> cli 11460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461

This theorem is referenced by:  fclim  11476  climeu  11478  climrecl  11506  summodclem2  11564  summodc  11565  prodmodclem2  11759  prodmodc  11760  ef0  11854  efcj  11855  efaddlem  11856