Theorem climuni 11799

Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climuni	|- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> A = B )

Proof of Theorem climuni

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9468	. . 3 |- 1 e. ZZ
2		nnuz 9754	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1zzd 9469	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> 1 e. ZZ )
4		climcl 11788	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
5	4	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> A e. CC )
6		climcl 11788	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ~~> B -> B e. CC )
7	6	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> B e. CC )
8	5, 7	subcld 8453	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( A - B ) e. CC )
9		simp3 1023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> A # B )
10	5, 7, 9	subap0d 8787	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( A - B ) # 0 )
11	8, 10	absrpclapd 11694	. . . . . . . 8 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR+ )
12	11	rphalfcld 9901	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) e. RR+ )
13		eqidd 2230	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
14		simp1 1021	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> F ~~> A )
15	2, 3, 12, 13, 14	climi 11793	. . . . . 6 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) )
16		simp2 1022	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> F ~~> B )
17	2, 3, 12, 13, 16	climi 11793	. . . . . 6 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) )
18	2	rexanuz2 11497	. . . . . 6 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) <-> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) )
19	15, 17, 18	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) )
20		nnz 9461	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
21		uzid 9732	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
22		elex2 2816	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> E. k k e. ( ZZ>= ` j ) )
23		r19.2m 3578	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. k k e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) )
24	23	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( E. k k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) ) )
25	20, 21, 22, 24	4syl 18	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) ) )
26		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` k ) e. CC )
27		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> A e. CC )
28	26, 27	abssubd 11699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) = ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) )
29	28	breq1d 4092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) <-> ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) )
30		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> B e. CC )
31		subcl 8341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
33	32	abscld 11687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR )
34		abs3lem 11617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( A - B ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) ) )
35	27, 30, 26, 33, 34	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) ) )
36	33	ltnrd 8254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> -. ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) )
37	36	pm2.21d 622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
38	35, 37	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
39	38	expd 258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> -. 1 e. ZZ ) ) )
40	29, 39	sylbid 150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> -. 1 e. ZZ ) ) )
41	40	impr 379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> -. 1 e. ZZ ) )
42	41	adantld 278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
43	42	expimpd 363	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
44	43	rexlimdvw 2652	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
45	25, 44	sylan9r 410	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
46	45	rexlimdva 2648	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
47	5, 7, 46	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
48	19, 47	mpd 13	. . . 4 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> -. 1 e. ZZ )
49	48	3expia 1229	. . 3 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> ( A # B -> -. 1 e. ZZ ) )
50	1, 49	mt2i 647	. 2 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> -. A # B )
51		apti 8765	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
52	4, 6, 51	syl2an 289	. 2 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
53	50, 52	mpbird 167	1 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   CCcc 7993   RRcr 7994   1c1 7996   < clt 8177   - cmin 8313   # cap 8724   / cdiv 8815   NNcn 9106   2c2 9157   ZZcz 9442   ZZ>=cuz 9718   abscabs 11503   ~~> cli 11784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-rp 9846  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785

This theorem is referenced by:  fclim  11800  climeu  11802  climrecl  11830  summodclem2  11888  summodc  11889  prodmodclem2  12083  prodmodc  12084  ef0  12178  efcj  12179  efaddlem  12180