Theorem climuni 12003

Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climuni	|- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> A = B )

Proof of Theorem climuni

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9620	. . 3 |- 1 e. ZZ
2		nnuz 9908	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1zzd 9621	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> 1 e. ZZ )
4		climcl 11992	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
5	4	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> A e. CC )
6		climcl 11992	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ~~> B -> B e. CC )
7	6	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> B e. CC )
8	5, 7	subcld 8600	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( A - B ) e. CC )
9		simp3 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> A # B )
10	5, 7, 9	subap0d 8935	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( A - B ) # 0 )
11	8, 10	absrpclapd 11898	. . . . . . . 8 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR+ )
12	11	rphalfcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) e. RR+ )
13		eqidd 2235	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
14		simp1 1024	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> F ~~> A )
15	2, 3, 12, 13, 14	climi 11997	. . . . . 6 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) )
16		simp2 1025	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> F ~~> B )
17	2, 3, 12, 13, 16	climi 11997	. . . . . 6 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) )
18	2	rexanuz2 11701	. . . . . 6 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) <-> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) )
19	15, 17, 18	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) )
20		nnz 9613	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
21		uzid 9886	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
22		elex2 2832	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> E. k k e. ( ZZ>= ` j ) )
23		r19.2m 3600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. k k e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) )
24	23	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( E. k k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) ) )
25	20, 21, 22, 24	4syl 18	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) ) )
26		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` k ) e. CC )
27		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> A e. CC )
28	26, 27	abssubd 11903	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) = ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) )
29	28	breq1d 4124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) <-> ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) )
30		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> B e. CC )
31		subcl 8488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
33	32	abscld 11891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR )
34		abs3lem 11821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( A - B ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) ) )
35	27, 30, 26, 33, 34	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) ) )
36	33	ltnrd 8401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> -. ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) )
37	36	pm2.21d 624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
38	35, 37	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
39	38	expd 258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> -. 1 e. ZZ ) ) )
40	29, 39	sylbid 150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> -. 1 e. ZZ ) ) )
41	40	impr 379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> -. 1 e. ZZ ) )
42	41	adantld 278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
43	42	expimpd 363	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
44	43	rexlimdvw 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
45	25, 44	sylan9r 410	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
46	45	rexlimdva 2662	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
47	5, 7, 46	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
48	19, 47	mpd 13	. . . 4 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> -. 1 e. ZZ )
49	48	3expia 1232	. . 3 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> ( A # B -> -. 1 e. ZZ ) )
50	1, 49	mt2i 649	. 2 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> -. A # B )
51		apti 8913	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
52	4, 6, 51	syl2an 289	. 2 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
53	50, 52	mpbird 167	1 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   1c1 8144   < clt 8324   - cmin 8460   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   abscabs 11707   ~~> cli 11988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989

This theorem is referenced by:  fclim  12004  climeu  12006  climrecl  12034  summodclem2  12093  summodc  12094  prodmodclem2  12288  prodmodc  12289  ef0  12383  efcj  12384  efaddlem  12385