Theorem climuni 10505

Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climuni	|- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> A = B )

Proof of Theorem climuni

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 8671	. . 3 |- 1 e. ZZ
2		nnuz 8948	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1zzd 8672	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> 1 e. ZZ )
4		climcl 10494	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
5	4	3ad2ant1 960	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> A e. CC )
6		climcl 10494	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ~~> B -> B e. CC )
7	6	3ad2ant2 961	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> B e. CC )
8	5, 7	subcld 7695	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( A - B ) e. CC )
9		simp3 941	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> A # B )
10	5, 7, 9	subap0d 8016	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( A - B ) # 0 )
11	8, 10	absrpclapd 10447	. . . . . . . 8 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR+ )
12	11	rphalfcld 9080	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) e. RR+ )
13		eqidd 2084	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
14		simp1 939	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> F ~~> A )
15	2, 3, 12, 13, 14	climi 10499	. . . . . 6 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) )
16		simp2 940	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> F ~~> B )
17	2, 3, 12, 13, 16	climi 10499	. . . . . 6 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) )
18	2	rexanuz2 10250	. . . . . 6 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) <-> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) )
19	15, 17, 18	sylanbrc 408	. . . . 5 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) )
20		nnz 8664	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
21		uzid 8927	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
22		elex2 2626	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> E. k k e. ( ZZ>= ` j ) )
23		r19.2m 3350	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. k k e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) )
24	23	ex 113	. . . . . . . . 9 |- ( E. k k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) ) )
25	20, 21, 22, 24	4syl 18	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) ) )
26		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` k ) e. CC )
27		simpll 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> A e. CC )
28	26, 27	abssubd 10452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) = ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) )
29	28	breq1d 3821	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) <-> ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) )
30		simplr 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> B e. CC )
31		subcl 7583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
32	31	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
33	32	abscld 10440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR )
34		abs3lem 10370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( A - B ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) ) )
35	27, 30, 26, 33, 34	syl22anc 1171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) ) )
36	33	ltnrd 7498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> -. ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) )
37	36	pm2.21d 582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
38	35, 37	syld 44	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
39	38	expd 254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> -. 1 e. ZZ ) ) )
40	29, 39	sylbid 148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> -. 1 e. ZZ ) ) )
41	40	impr 371	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> -. 1 e. ZZ ) )
42	41	adantld 272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
43	42	expimpd 355	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
44	43	rexlimdvw 2486	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
45	25, 44	sylan9r 402	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
46	45	rexlimdva 2483	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
47	5, 7, 46	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
48	19, 47	mpd 13	. . . 4 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> -. 1 e. ZZ )
49	48	3expia 1141	. . 3 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> ( A # B -> -. 1 e. ZZ ) )
50	1, 49	mt2i 606	. 2 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> -. A # B )
51		apti 7998	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
52	4, 6, 51	syl2an 283	. 2 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
53	50, 52	mpbird 165	1 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 920   = wceq 1285   E.wex 1422   e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   class class class wbr 3811   ` cfv 4968  (class class class)co 5590   CCcc 7250   RRcr 7251   1c1 7253   < clt 7424   - cmin 7555   # cap 7957   / cdiv 8036   NNcn 8315   2c2 8365   ZZcz 8645   ZZ>=cuz 8913   abscabs 10256   ~~> cli 10490

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-mulrcl 7346  ax-addcom 7347  ax-mulcom 7348  ax-addass 7349  ax-mulass 7350  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-1rid 7354  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-precex 7357  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-apti 7362  ax-pre-ltadd 7363  ax-pre-mulgt0 7364  ax-pre-mulext 7365  ax-arch 7366  ax-caucvg 7367

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-f1 4973  df-fo 4974  df-f1o 4975  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-1st 5845  df-2nd 5846  df-recs 6001  df-frec 6087  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-reap 7951  df-ap 7958  df-div 8037  df-inn 8316  df-2 8374  df-3 8375  df-4 8376  df-n0 8565  df-z 8646  df-uz 8914  df-rp 9029  df-iseq 9740  df-iexp 9791  df-cj 10102  df-re 10103  df-im 10104  df-rsqrt 10257  df-abs 10258  df-clim 10491

This theorem is referenced by:  fclim  10506  climeu  10508  climrecl  10535