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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > climuni | Unicode version |
Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.) |
Ref | Expression |
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climuni |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 1z 9314 |
. . 3
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2 | nnuz 9599 |
. . . . . . 7
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3 | 1zzd 9315 |
. . . . . . 7
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4 | climcl 11331 |
. . . . . . . . . . 11
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5 | 4 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . . . . 10
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6 | climcl 11331 |
. . . . . . . . . . 11
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7 | 6 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . . . 10
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8 | 5, 7 | subcld 8303 |
. . . . . . . . 9
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9 | simp3 1001 |
. . . . . . . . . 10
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10 | 5, 7, 9 | subap0d 8636 |
. . . . . . . . 9
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11 | 8, 10 | absrpclapd 11238 |
. . . . . . . 8
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12 | 11 | rphalfcld 9745 |
. . . . . . 7
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13 | eqidd 2190 |
. . . . . . 7
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14 | simp1 999 |
. . . . . . 7
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15 | 2, 3, 12, 13, 14 | climi 11336 |
. . . . . 6
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16 | simp2 1000 |
. . . . . . 7
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17 | 2, 3, 12, 13, 16 | climi 11336 |
. . . . . 6
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18 | 2 | rexanuz2 11041 |
. . . . . 6
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19 | 15, 17, 18 | sylanbrc 417 |
. . . . 5
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20 | nnz 9307 |
. . . . . . . . 9
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21 | uzid 9577 |
. . . . . . . . 9
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22 | elex2 2768 |
. . . . . . . . 9
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23 | r19.2m 3524 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 23 | ex 115 |
. . . . . . . . 9
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25 | 20, 21, 22, 24 | 4syl 18 |
. . . . . . . 8
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26 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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27 | simpll 527 |
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28 | 26, 27 | abssubd 11243 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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29 | 28 | breq1d 4031 |
. . . . . . . . . . . . 13
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30 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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31 | subcl 8191 |
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32 | 31 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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33 | 32 | abscld 11231 |
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34 | abs3lem 11161 |
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35 | 27, 30, 26, 33, 34 | syl22anc 1250 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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36 | 33 | ltnrd 8104 |
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37 | 36 | pm2.21d 620 |
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38 | 35, 37 | syld 45 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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39 | 38 | expd 258 |
. . . . . . . . . . . . 13
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40 | 29, 39 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 40 | impr 379 |
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44 | 43 | rexlimdvw 2611 |
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46 | 45 | rexlimdva 2607 |
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47 | 5, 7, 46 | syl2anc 411 |
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48 | 19, 47 | mpd 13 |
. . . 4
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49 | 48 | 3expia 1207 |
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50 | 1, 49 | mt2i 645 |
. 2
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51 | apti 8614 |
. . 3
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52 | 4, 6, 51 | syl2an 289 |
. 2
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53 | 50, 52 | mpbird 167 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4136 ax-sep 4139 ax-nul 4147 ax-pow 4195 ax-pr 4230 ax-un 4454 ax-setind 4557 ax-iinf 4608 ax-cnex 7937 ax-resscn 7938 ax-1cn 7939 ax-1re 7940 ax-icn 7941 ax-addcl 7942 ax-addrcl 7943 ax-mulcl 7944 ax-mulrcl 7945 ax-addcom 7946 ax-mulcom 7947 ax-addass 7948 ax-mulass 7949 ax-distr 7950 ax-i2m1 7951 ax-0lt1 7952 ax-1rid 7953 ax-0id 7954 ax-rnegex 7955 ax-precex 7956 ax-cnre 7957 ax-pre-ltirr 7958 ax-pre-ltwlin 7959 ax-pre-lttrn 7960 ax-pre-apti 7961 ax-pre-ltadd 7962 ax-pre-mulgt0 7963 ax-pre-mulext 7964 ax-arch 7965 ax-caucvg 7966 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3595 df-sn 3616 df-pr 3617 df-op 3619 df-uni 3828 df-int 3863 df-iun 3906 df-br 4022 df-opab 4083 df-mpt 4084 df-tr 4120 df-id 4314 df-po 4317 df-iso 4318 df-iord 4387 df-on 4389 df-ilim 4390 df-suc 4392 df-iom 4611 df-xp 4653 df-rel 4654 df-cnv 4655 df-co 4656 df-dm 4657 df-rn 4658 df-res 4659 df-ima 4660 df-iota 5199 df-fun 5240 df-fn 5241 df-f 5242 df-f1 5243 df-fo 5244 df-f1o 5245 df-fv 5246 df-riota 5855 df-ov 5903 df-oprab 5904 df-mpo 5905 df-1st 6169 df-2nd 6170 df-recs 6334 df-frec 6420 df-pnf 8029 df-mnf 8030 df-xr 8031 df-ltxr 8032 df-le 8033 df-sub 8165 df-neg 8166 df-reap 8567 df-ap 8574 df-div 8665 df-inn 8955 df-2 9013 df-3 9014 df-4 9015 df-n0 9212 df-z 9289 df-uz 9564 df-rp 9690 df-seqfrec 10485 df-exp 10560 df-cj 10892 df-re 10893 df-im 10894 df-rsqrt 11048 df-abs 11049 df-clim 11328 |
This theorem is referenced by: fclim 11343 climeu 11345 climrecl 11373 summodclem2 11431 summodc 11432 prodmodclem2 11626 prodmodc 11627 ef0 11721 efcj 11722 efaddlem 11723 |
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