Theorem climuni 12037

Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climuni	|- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> A = B )

Proof of Theorem climuni

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9649	. . 3 |- 1 e. ZZ
2		nnuz 9937	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1zzd 9650	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> 1 e. ZZ )
4		climcl 12026	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
5	4	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> A e. CC )
6		climcl 12026	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ~~> B -> B e. CC )
7	6	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> B e. CC )
8	5, 7	subcld 8627	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( A - B ) e. CC )
9		simp3 1030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> A # B )
10	5, 7, 9	subap0d 8962	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( A - B ) # 0 )
11	8, 10	absrpclapd 11932	. . . . . . . 8 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR+ )
12	11	rphalfcld 10089	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) e. RR+ )
13		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
14		simp1 1028	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> F ~~> A )
15	2, 3, 12, 13, 14	climi 12031	. . . . . 6 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) )
16		simp2 1029	. . . . . . 7 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> F ~~> B )
17	2, 3, 12, 13, 16	climi 12031	. . . . . 6 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) )
18	2	rexanuz2 11735	. . . . . 6 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) <-> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) )
19	15, 17, 18	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) )
20		nnz 9642	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
21		uzid 9915	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
22		elex2 2838	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> E. k k e. ( ZZ>= ` j ) )
23		r19.2m 3611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. k k e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) )
24	23	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( E. k k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) ) )
25	20, 21, 22, 24	4syl 18	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) ) )
26		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( F ` k ) e. CC )
27		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> A e. CC )
28	26, 27	abssubd 11937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) = ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) )
29	28	breq1d 4135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) <-> ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) )
30		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> B e. CC )
31		subcl 8515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
33	32	abscld 11925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR )
34		abs3lem 11855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( A - B ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) ) )
35	27, 30, 26, 33, 34	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) ) )
36	33	ltnrd 8427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> -. ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) )
37	36	pm2.21d 628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - B ) ) < ( abs ` ( A - B ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
38	35, 37	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
39	38	expd 258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( A - ( F ` k ) ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> -. 1 e. ZZ ) ) )
40	29, 39	sylbid 150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> -. 1 e. ZZ ) ) )
41	40	impr 379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) -> -. 1 e. ZZ ) )
42	41	adantld 278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
43	42	expimpd 363	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
44	43	rexlimdvw 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
45	25, 44	sylan9r 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
46	45	rexlimdva 2668	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
47	5, 7, 46	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - B ) ) < ( ( abs ` ( A - B ) ) / 2 ) ) ) -> -. 1 e. ZZ ) )
48	19, 47	mpd 13	. . . 4 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B /\ A # B ) -> -. 1 e. ZZ )
49	48	3expia 1236	. . 3 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> ( A # B -> -. 1 e. ZZ ) )
50	1, 49	mt2i 653	. 2 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> -. A # B )
51		apti 8940	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
52	4, 6, 51	syl2an 289	. 2 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
53	50, 52	mpbird 167	1 |- ( ( F ~~> A /\ F ~~> B ) -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   1c1 8170   < clt 8350   - cmin 8487   # cap 8899   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   abscabs 11741   ~~> cli 12022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023

This theorem is referenced by:  fclim  12038  climeu  12040  climrecl  12068  summodclem2  12127  summodc  12128  prodmodclem2  12322  prodmodc  12323  ef0  12417  efcj  12418  efaddlem  12419