Theorem climeu 12088

Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 25-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
climeu	|- ( F ~~> A -> E! x F ~~> x )

Distinct variable group:   x, F

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem climeu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcl 12074	. . . 4 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
2		breq2 4135	. . . . 5 |- ( y = A -> ( F ~~> y <-> F ~~> A ) )
3	2	spcegv 2913	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( F ~~> A -> E. y F ~~> y ) )
4	1, 3	mpcom 36	. . 3 |- ( F ~~> A -> E. y F ~~> y )
5		climuni 12085	. . . 4 |- ( ( F ~~> y /\ F ~~> x ) -> y = x )
6	5	gen2 1503	. . 3 |- A. y A. x ( ( F ~~> y /\ F ~~> x ) -> y = x )
7	4, 6	jctir 313	. 2 |- ( F ~~> A -> ( E. y F ~~> y /\ A. y A. x ( ( F ~~> y /\ F ~~> x ) -> y = x ) ) )
8		nfv 1581	. . . 4 |- F/ y F ~~> x
9		nfv 1581	. . . 4 |- F/ x F ~~> y
10		breq2 4135	. . . 4 |- ( x = y -> ( F ~~> x <-> F ~~> y ) )
11	8, 9, 10	cbveu 2110	. . 3 |- ( E! x F ~~> x <-> E! y F ~~> y )
12		breq2 4135	. . . 4 |- ( y = x -> ( F ~~> y <-> F ~~> x ) )
13	12	eu4 2149	. . 3 |- ( E! y F ~~> y <-> ( E. y F ~~> y /\ A. y A. x ( ( F ~~> y /\ F ~~> x ) -> y = x ) ) )
14	11, 13	bitri 184	. 2 |- ( E! x F ~~> x <-> ( E. y F ~~> y /\ A. y A. x ( ( F ~~> y /\ F ~~> x ) -> y = x ) ) )
15	7, 14	sylibr 134	1 |- ( F ~~> A -> E! x F ~~> x )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1400   E.wex 1545   E!weu 2086   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   CCcc 8184   ~~> cli 12070

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-rp 10073  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071

This theorem is used by:  climreu  12089  climmo  12090