ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climaddc2 Unicode version

Theorem climaddc2 11330
Description: Limit of a constant  C added to each term of a sequence. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climadd.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climadd.4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climaddc1.5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
climaddc1.6  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
climaddc1.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
climaddc2.h  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( C  +  ( F `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
climaddc2  |-  ( ph  ->  G  ~~>  ( C  +  A ) )
Distinct variable groups:    C, k    k, F    ph, k    A, k   
k, G    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    W( k)

Proof of Theorem climaddc2
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climadd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climadd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
4 climaddc1.5 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5 climaddc1.6 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
6 climaddc1.7 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7 climaddc2.h . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( C  +  ( F `  k ) ) )
84adantr 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  CC )
98, 6addcomd 8103 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( C  +  ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k )  +  C
) )
107, 9eqtrd 2210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( ( F `
 k )  +  C ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10climaddc1 11329 . 2  |-  ( ph  ->  G  ~~>  ( A  +  C ) )
12 climcl 11282 . . . 4  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
133, 12syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1413, 4addcomd 8103 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  =  ( C  +  A ) )
1511, 14breqtrd 4028 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  ( C  +  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4002   ` cfv 5214  (class class class)co 5871   CCcc 7805    + caddc 7810   ZZcz 9248   ZZ>=cuz 9523    ~~> cli 11278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925  ax-arch 7926  ax-caucvg 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-frec 6388  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-4 8975  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-rp 9649  df-seqfrec 10440  df-exp 10514  df-cj 10843  df-re 10844  df-im 10845  df-rsqrt 10999  df-abs 11000  df-clim 11279
This theorem is referenced by:  isumsplit  11491
  Copyright terms: Public domain W3C validator