ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climadd Unicode version

Theorem climadd 10701
Description: Limit of the sum of two converging sequences. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climadd.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climadd.4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climadd.6  |-  ( ph  ->  H  e.  X )
climadd.7  |-  ( ph  ->  G  ~~>  B )
climadd.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
climadd.9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
climadd.h  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k )  +  ( G `  k
) ) )
Assertion
Ref Expression
climadd  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( A  +  B ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, F    ph, k    A, k   
k, G    k, H    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    X( k)

Proof of Theorem climadd
Dummy variables  u  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climadd.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climadd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
4 climcl 10657 . . 3  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
53, 4syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6 climadd.7 . . 3  |-  ( ph  ->  G  ~~>  B )
7 climcl 10657 . . 3  |-  ( G  ~~>  B  ->  B  e.  CC )
86, 7syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
9 addcl 7457 . . 3  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  +  v )  e.  CC )
109adantl 271 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  -> 
( u  +  v )  e.  CC )
11 climadd.6 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  X )
12 simpr 108 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
135adantr 270 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
148adantr 270 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
15 addcn2 10686 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  +  v )  -  ( A  +  B ) ) )  <  x ) )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1174 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  +  v )  -  ( A  +  B ) ) )  <  x ) )
17 climadd.8 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
18 climadd.9 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
19 climadd.h . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k )  +  ( G `  k
) ) )
201, 2, 5, 8, 10, 3, 6, 11, 16, 17, 18, 19climcn2 10685 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( A  +  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   class class class wbr 3843   ` cfv 5010  (class class class)co 5644   CCcc 7338    + caddc 7343    < clt 7512    - cmin 7643   ZZcz 8740   ZZ>=cuz 9009   RR+crp 9124   abscabs 10418    ~~> cli 10653
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-mulrcl 7434  ax-addcom 7435  ax-mulcom 7436  ax-addass 7437  ax-mulass 7438  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-1rid 7442  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-precex 7445  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451  ax-pre-mulgt0 7452  ax-pre-mulext 7453  ax-arch 7454  ax-caucvg 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-frec 6148  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-reap 8042  df-ap 8049  df-div 8130  df-inn 8413  df-2 8471  df-3 8472  df-4 8473  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010  df-rp 9125  df-iseq 9841  df-seq3 9842  df-exp 9943  df-cj 10264  df-re 10265  df-im 10266  df-rsqrt 10419  df-abs 10420  df-clim 10654
This theorem is referenced by:  climaddc1  10704  climcvg1nlem  10725  isumadd  10812
  Copyright terms: Public domain W3C validator