Theorem climadd 11336

Description: Limit of the sum of two converging sequences. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climadd.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climadd.4	|- ( ph -> F ~~> A )
climadd.6	|- ( ph -> H e. X )
climadd.7	|- ( ph -> G ~~> B )
climadd.8	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
climadd.9	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC )
climadd.h	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) + ( G ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climadd	|- ( ph -> H ~~> ( A + B ) )

Distinct variable groups:   B, k   k, F   ph, k   A, k   k, G   k, H   k, M   k, Z

Allowed substitution hint:   X( k)

Proof of Theorem climadd

Dummy variables u v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climadd.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climadd.4	. . 3 |- ( ph -> F ~~> A )
4		climcl 11292	. . 3 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
6		climadd.7	. . 3 |- ( ph -> G ~~> B )
7		climcl 11292	. . 3 |- ( G ~~> B -> B e. CC )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
9		addcl 7938	. . 3 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u + v ) e. CC )
10	9	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u + v ) e. CC )
11		climadd.6	. 2 |- ( ph -> H e. X )
12		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
13	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> A e. CC )
14	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> B e. CC )
15		addcn2 11320	. . 3 |- ( ( x e. RR+ /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u + v ) - ( A + B ) ) ) < x ) )
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - A ) ) < y /\ ( abs ` ( v - B ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u + v ) - ( A + B ) ) ) < x ) )
17		climadd.8	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
18		climadd.9	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC )
19		climadd.h	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) + ( G ` k ) ) )
20	1, 2, 5, 8, 10, 3, 6, 11, 16, 17, 18, 19	climcn2 11319	1 |- ( ph -> H ~~> ( A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   + caddc 7816   < clt 7994   - cmin 8130   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   RR+crp 9655   abscabs 11008   ~~> cli 11288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289

This theorem is referenced by:  climaddc1  11339  climcvg1nlem  11359  isumadd  11441