ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climcl GIF version

Theorem climcl 11293
Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
climcl (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem climcl
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 11291 . . . . 5 Rel ⇝
21brrelex1i 4671 . . . 4 (𝐹𝐴𝐹 ∈ V)
3 eqidd 2178 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
42, 3clim 11292 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
54ibi 176 . 2 (𝐹𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
65simpld 112 1 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  Vcvv 2739   class class class wbr 4005  cfv 5218  (class class class)co 5878  cc 7812   < clt 7995  cmin 8131  cz 9256  cuz 9531  +crp 9656  abscabs 11009  cli 11289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5881  df-neg 8134  df-z 9257  df-uz 9532  df-clim 11290
This theorem is referenced by:  climuni  11304  fclim  11305  climeu  11307  climreu  11308  2clim  11312  climcn1lem  11330  climrecl  11335  climadd  11337  climmul  11338  climsub  11339  climaddc2  11341  climcau  11358  geoisum1c  11531  clim2divap  11551  ntrivcvgap  11559
  Copyright terms: Public domain W3C validator