Theorem climcl 11808

Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
climcl	⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem climcl

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 11806	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝
2	1	brrelex1i 4762	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐹 ∈ V)
3		eqidd 2230	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
4	2, 3	clim 11807	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
5	4	ibi 176	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
6	5	simpld 112	1 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  Vcvv 2799   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8008   < clt 8192   − cmin 8328  ℤcz 9457  ℤ_≥cuz 9733  ℝ⁺crp 9861  abscabs 11523   ⇝ cli 11804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-neg 8331  df-z 9458  df-uz 9734  df-clim 11805

This theorem is referenced by:  climuni  11819  fclim  11820  climeu  11822  climreu  11823  2clim  11827  climcn1lem  11845  climrecl  11850  climadd  11852  climmul  11853  climsub  11854  climaddc2  11856  climcau  11873  geoisum1c  12046  clim2divap  12066  ntrivcvgap  12074