Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmcn2 Unicode version

Theorem lmcn2 12640
 Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txlm.z
txlm.m
txlm.j TopOn
txlm.k TopOn
txlm.f
txlm.g
lmcn2.fl
lmcn2.gl
lmcn2.o
lmcn2.h
Assertion
Ref Expression
lmcn2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem lmcn2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txlm.f . . . . . . 7
21ffvelrnda 5599 . . . . . 6
3 txlm.g . . . . . . 7
43ffvelrnda 5599 . . . . . 6
52, 4opelxpd 4616 . . . . 5
6 eqidd 2158 . . . . 5
7 txlm.j . . . . . . . 8 TopOn
8 txlm.k . . . . . . . 8 TopOn
9 txtopon 12622 . . . . . . . 8 TopOn TopOn TopOn
107, 8, 9syl2anc 409 . . . . . . 7 TopOn
11 lmcn2.o . . . . . . . . 9
12 cntop2 12562 . . . . . . . . 9
1311, 12syl 14 . . . . . . . 8
14 toptopon2 12377 . . . . . . . 8 TopOn
1513, 14sylib 121 . . . . . . 7 TopOn
16 cnf2 12565 . . . . . . 7 TopOn TopOn
1710, 15, 11, 16syl3anc 1220 . . . . . 6
1817feqmptd 5518 . . . . 5
19 fveq2 5465 . . . . . 6
20 df-ov 5821 . . . . . 6
2119, 20eqtr4di 2208 . . . . 5
225, 6, 18, 21fmptco 5630 . . . 4
23 lmcn2.h . . . 4
2422, 23eqtr4di 2208 . . 3
25 lmcn2.fl . . . . 5
26 lmcn2.gl . . . . 5
27 txlm.z . . . . . 6
28 txlm.m . . . . . 6
29 eqid 2157 . . . . . 6
3027, 28, 7, 8, 1, 3, 29txlm 12639 . . . . 5
3125, 26, 30mpbi2and 928 . . . 4
3231, 11lmcn 12611 . . 3
3324, 32eqbrtrrd 3988 . 2
34 df-ov 5821 . 2
3533, 34breqtrrdi 4006 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1335   wcel 2128  cop 3563  cuni 3772   class class class wbr 3965   cmpt 4025   cxp 4581   ccom 4587  wf 5163  cfv 5167  (class class class)co 5818  cz 9150  cuz 9422  ctop 12355  TopOnctopon 12368   ccn 12545  clm 12547   ctx 12612 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-map 6588  df-pm 6589  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-topgen 12332  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-cn 12548  df-cnp 12549  df-lm 12550  df-tx 12613 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator