Theorem 2exp8 13158

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	|- ( 2 ^ 8 ) = ;; 2 5 6

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9530	. 2 |- 2 e. NN0
2		4nn0 9532	. 2 |- 4 e. NN0
3	2	nn0cni 9525	. . 3 |- 4 e. CC
4		2cn 9325	. . 3 |- 2 e. CC
5		4t2e8 9413	. . 3 |- ( 4 x. 2 ) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 8297	. 2 |- ( 2 x. 4 ) = 8
7		2exp4 13154	. 2 |- ( 2 ^ 4 ) = ; 1 6
8		1nn0 9529	. . . 4 |- 1 e. NN0
9		6nn0 9534	. . . 4 |- 6 e. NN0
10	8, 9	deccl 9741	. . 3 |- ; 1 6 e. NN0
11		eqid 2234	. . 3 |- ; 1 6 = ; 1 6
12		9nn0 9537	. . 3 |- 9 e. NN0
13	10	nn0cni 9525	. . . . 5 |- ; 1 6 e. CC
14	13	mulridi 8292	. . . 4 |- (; 1 6 x. 1 ) = ; 1 6
15		1p1e2 9371	. . . 4 |- ( 1 + 1 ) = 2
16		5nn0 9533	. . . 4 |- 5 e. NN0
17		9cn 9342	. . . . 5 |- 9 e. CC
18		6cn 9336	. . . . 5 |- 6 e. CC
19		9p6e15 9817	. . . . 5 |- ( 9 + 6 ) = ; 1 5
20	17, 18, 19	addcomli 8434	. . . 4 |- ( 6 + 9 ) = ; 1 5
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 9787	. . 3 |- ( (; 1 6 x. 1 ) + 9 ) = ; 2 5
22		3nn0 9531	. . . 4 |- 3 e. NN0
23	18	mullidi 8293	. . . . . 6 |- ( 1 x. 6 ) = 6
24	23	oveq1i 6068	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 6 ) + 3 ) = ( 6 + 3 )
25		6p3e9 9405	. . . . 5 |- ( 6 + 3 ) = 9
26	24, 25	eqtri 2255	. . . 4 |- ( ( 1 x. 6 ) + 3 ) = 9
27		6t6e36 9834	. . . 4 |- ( 6 x. 6 ) = ; 3 6
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 9791	. . 3 |- (; 1 6 x. 6 ) = ; 9 6
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 9792	. 2 |- (; 1 6 x. ; 1 6 ) = ;; 2 5 6
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 13148	1 |- ( 2 ^ 8 ) = ;; 2 5 6

Syntax hints:   = wceq 1398  (class class class)co 6058   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   2c2 9305   3c3 9306   4c4 9307   5c5 9308   6c6 9309   8c8 9311   9c9 9312  ;cdc 9727   ^cexp 10924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-seqfrec 10834  df-exp 10925

This theorem is referenced by:  2exp11  13159  2exp16  13160