Theorem 2exp11 13070

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	|- ( 2 ^; 1 1 ) = ;;; 2 0 4 8

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9734	. . . . 5 |- ( 8 + 3 ) = ; 1 1
2	1	eqcomi 2235	. . . 4 |- ; 1 1 = ( 8 + 3 )
3	2	oveq2i 6039	. . 3 |- ( 2 ^; 1 1 ) = ( 2 ^ ( 8 + 3 ) )
4		2cn 9257	. . . 4 |- 2 e. CC
5		8nn0 9468	. . . 4 |- 8 e. NN0
6		3nn0 9463	. . . 4 |- 3 e. NN0
7		expadd 10887	. . . 4 |- ( ( 2 e. CC /\ 8 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( 8 + 3 ) ) = ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) ) )
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1374	. . 3 |- ( 2 ^ ( 8 + 3 ) ) = ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) )
9	3, 8	eqtri 2252	. 2 |- ( 2 ^; 1 1 ) = ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) )
10		2exp8 13069	. . . 4 |- ( 2 ^ 8 ) = ;; 2 5 6
11		cu2 10944	. . . 4 |- ( 2 ^ 3 ) = 8
12	10, 11	oveq12i 6040	. . 3 |- ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) ) = (;; 2 5 6 x. 8 )
13		2nn0 9462	. . . . 5 |- 2 e. NN0
14		5nn0 9465	. . . . 5 |- 5 e. NN0
15	13, 14	deccl 9668	. . . 4 |- ; 2 5 e. NN0
16		6nn0 9466	. . . 4 |- 6 e. NN0
17		eqid 2231	. . . 4 |- ;; 2 5 6 = ;; 2 5 6
18		4nn0 9464	. . . 4 |- 4 e. NN0
19		0nn0 9460	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
20	13, 19	deccl 9668	. . . . 5 |- ; 2 0 e. NN0
21		eqid 2231	. . . . . 6 |- ; 2 5 = ; 2 5
22		1nn0 9461	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
23		8cn 9272	. . . . . . . 8 |- 8 e. CC
24		8t2e16 9768	. . . . . . . 8 |- ( 8 x. 2 ) = ; 1 6
25	23, 4, 24	mulcomli 8229	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 8 ) = ; 1 6
26		1p1e2 9303	. . . . . . 7 |- ( 1 + 1 ) = 2
27		6p4e10 9725	. . . . . . 7 |- ( 6 + 4 ) = ; 1 0
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9714	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. 8 ) + 4 ) = ; 2 0
29		5cn 9266	. . . . . . 7 |- 5 e. CC
30		8t5e40 9771	. . . . . . 7 |- ( 8 x. 5 ) = ; 4 0
31	23, 29, 30	mulcomli 8229	. . . . . 6 |- ( 5 x. 8 ) = ; 4 0
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9718	. . . . 5 |- (; 2 5 x. 8 ) = ;; 2 0 0
33		4cn 9264	. . . . . 6 |- 4 e. CC
34	33	addlidi 8365	. . . . 5 |- ( 0 + 4 ) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9713	. . . 4 |- ( (; 2 5 x. 8 ) + 4 ) = ;; 2 0 4
36		6cn 9268	. . . . 5 |- 6 e. CC
37		8t6e48 9772	. . . . 5 |- ( 8 x. 6 ) = ; 4 8
38	23, 36, 37	mulcomli 8229	. . . 4 |- ( 6 x. 8 ) = ; 4 8
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9718	. . 3 |- (;; 2 5 6 x. 8 ) = ;;; 2 0 4 8
40	12, 39	eqtri 2252	. 2 |- ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) ) = ;;; 2 0 4 8
41	9, 40	eqtri 2252	1 |- ( 2 ^; 1 1 ) = ;;; 2 0 4 8

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   CCcc 8073   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   x. cmul 8080   2c2 9237   3c3 9238   4c4 9239   5c5 9240   6c6 9241   8c8 9243   NN0cn0 9445  ;cdc 9654   ^cexp 10844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-seqfrec 10754  df-exp 10845

This theorem is referenced by: (None)