Theorem 2exp11 13138

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	|- ( 2 ^; 1 1 ) = ;;; 2 0 4 8

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9792	. . . . 5 |- ( 8 + 3 ) = ; 1 1
2	1	eqcomi 2238	. . . 4 |- ; 1 1 = ( 8 + 3 )
3	2	oveq2i 6063	. . 3 |- ( 2 ^; 1 1 ) = ( 2 ^ ( 8 + 3 ) )
4		2cn 9310	. . . 4 |- 2 e. CC
5		8nn0 9521	. . . 4 |- 8 e. NN0
6		3nn0 9516	. . . 4 |- 3 e. NN0
7		expadd 10947	. . . 4 |- ( ( 2 e. CC /\ 8 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( 8 + 3 ) ) = ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) ) )
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1374	. . 3 |- ( 2 ^ ( 8 + 3 ) ) = ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) )
9	3, 8	eqtri 2255	. 2 |- ( 2 ^; 1 1 ) = ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) )
10		2exp8 13137	. . . 4 |- ( 2 ^ 8 ) = ;; 2 5 6
11		cu2 11004	. . . 4 |- ( 2 ^ 3 ) = 8
12	10, 11	oveq12i 6064	. . 3 |- ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) ) = (;; 2 5 6 x. 8 )
13		2nn0 9515	. . . . 5 |- 2 e. NN0
14		5nn0 9518	. . . . 5 |- 5 e. NN0
15	13, 14	deccl 9726	. . . 4 |- ; 2 5 e. NN0
16		6nn0 9519	. . . 4 |- 6 e. NN0
17		eqid 2234	. . . 4 |- ;; 2 5 6 = ;; 2 5 6
18		4nn0 9517	. . . 4 |- 4 e. NN0
19		0nn0 9513	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
20	13, 19	deccl 9726	. . . . 5 |- ; 2 0 e. NN0
21		eqid 2234	. . . . . 6 |- ; 2 5 = ; 2 5
22		1nn0 9514	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
23		8cn 9325	. . . . . . . 8 |- 8 e. CC
24		8t2e16 9826	. . . . . . . 8 |- ( 8 x. 2 ) = ; 1 6
25	23, 4, 24	mulcomli 8283	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 8 ) = ; 1 6
26		1p1e2 9356	. . . . . . 7 |- ( 1 + 1 ) = 2
27		6p4e10 9783	. . . . . . 7 |- ( 6 + 4 ) = ; 1 0
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9772	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. 8 ) + 4 ) = ; 2 0
29		5cn 9319	. . . . . . 7 |- 5 e. CC
30		8t5e40 9829	. . . . . . 7 |- ( 8 x. 5 ) = ; 4 0
31	23, 29, 30	mulcomli 8283	. . . . . 6 |- ( 5 x. 8 ) = ; 4 0
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9776	. . . . 5 |- (; 2 5 x. 8 ) = ;; 2 0 0
33		4cn 9317	. . . . . 6 |- 4 e. CC
34	33	addlidi 8418	. . . . 5 |- ( 0 + 4 ) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9771	. . . 4 |- ( (; 2 5 x. 8 ) + 4 ) = ;; 2 0 4
36		6cn 9321	. . . . 5 |- 6 e. CC
37		8t6e48 9830	. . . . 5 |- ( 8 x. 6 ) = ; 4 8
38	23, 36, 37	mulcomli 8283	. . . 4 |- ( 6 x. 8 ) = ; 4 8
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9776	. . 3 |- (;; 2 5 6 x. 8 ) = ;;; 2 0 4 8
40	12, 39	eqtri 2255	. 2 |- ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) ) = ;;; 2 0 4 8
41	9, 40	eqtri 2255	1 |- ( 2 ^; 1 1 ) = ;;; 2 0 4 8

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205  (class class class)co 6052   CCcc 8127   0cc0 8129   1c1 8130   + caddc 8132   x. cmul 8134   2c2 9290   3c3 9291   4c4 9292   5c5 9293   6c6 9294   8c8 9296   NN0cn0 9498  ;cdc 9712   ^cexp 10904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-dec 9713  df-uz 9857  df-seqfrec 10814  df-exp 10905

This theorem is referenced by: (None)