Theorem 2exp11 12945

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	|- ( 2 ^; 1 1 ) = ;;; 2 0 4 8

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9646	. . . . 5 |- ( 8 + 3 ) = ; 1 1
2	1	eqcomi 2233	. . . 4 |- ; 1 1 = ( 8 + 3 )
3	2	oveq2i 6005	. . 3 |- ( 2 ^; 1 1 ) = ( 2 ^ ( 8 + 3 ) )
4		2cn 9169	. . . 4 |- 2 e. CC
5		8nn0 9380	. . . 4 |- 8 e. NN0
6		3nn0 9375	. . . 4 |- 3 e. NN0
7		expadd 10790	. . . 4 |- ( ( 2 e. CC /\ 8 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( 8 + 3 ) ) = ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) ) )
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1371	. . 3 |- ( 2 ^ ( 8 + 3 ) ) = ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) )
9	3, 8	eqtri 2250	. 2 |- ( 2 ^; 1 1 ) = ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) )
10		2exp8 12944	. . . 4 |- ( 2 ^ 8 ) = ;; 2 5 6
11		cu2 10847	. . . 4 |- ( 2 ^ 3 ) = 8
12	10, 11	oveq12i 6006	. . 3 |- ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) ) = (;; 2 5 6 x. 8 )
13		2nn0 9374	. . . . 5 |- 2 e. NN0
14		5nn0 9377	. . . . 5 |- 5 e. NN0
15	13, 14	deccl 9580	. . . 4 |- ; 2 5 e. NN0
16		6nn0 9378	. . . 4 |- 6 e. NN0
17		eqid 2229	. . . 4 |- ;; 2 5 6 = ;; 2 5 6
18		4nn0 9376	. . . 4 |- 4 e. NN0
19		0nn0 9372	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
20	13, 19	deccl 9580	. . . . 5 |- ; 2 0 e. NN0
21		eqid 2229	. . . . . 6 |- ; 2 5 = ; 2 5
22		1nn0 9373	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
23		8cn 9184	. . . . . . . 8 |- 8 e. CC
24		8t2e16 9680	. . . . . . . 8 |- ( 8 x. 2 ) = ; 1 6
25	23, 4, 24	mulcomli 8141	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 8 ) = ; 1 6
26		1p1e2 9215	. . . . . . 7 |- ( 1 + 1 ) = 2
27		6p4e10 9637	. . . . . . 7 |- ( 6 + 4 ) = ; 1 0
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9626	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. 8 ) + 4 ) = ; 2 0
29		5cn 9178	. . . . . . 7 |- 5 e. CC
30		8t5e40 9683	. . . . . . 7 |- ( 8 x. 5 ) = ; 4 0
31	23, 29, 30	mulcomli 8141	. . . . . 6 |- ( 5 x. 8 ) = ; 4 0
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9630	. . . . 5 |- (; 2 5 x. 8 ) = ;; 2 0 0
33		4cn 9176	. . . . . 6 |- 4 e. CC
34	33	addlidi 8277	. . . . 5 |- ( 0 + 4 ) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9625	. . . 4 |- ( (; 2 5 x. 8 ) + 4 ) = ;; 2 0 4
36		6cn 9180	. . . . 5 |- 6 e. CC
37		8t6e48 9684	. . . . 5 |- ( 8 x. 6 ) = ; 4 8
38	23, 36, 37	mulcomli 8141	. . . 4 |- ( 6 x. 8 ) = ; 4 8
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9630	. . 3 |- (;; 2 5 6 x. 8 ) = ;;; 2 0 4 8
40	12, 39	eqtri 2250	. 2 |- ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) ) = ;;; 2 0 4 8
41	9, 40	eqtri 2250	1 |- ( 2 ^; 1 1 ) = ;;; 2 0 4 8

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 5994   CCcc 7985   0cc0 7987   1c1 7988   + caddc 7990   x. cmul 7992   2c2 9149   3c3 9150   4c4 9151   5c5 9152   6c6 9153   8c8 9155   NN0cn0 9357  ;cdc 9566   ^cexp 10747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-n0 9358  df-z 9435  df-dec 9567  df-uz 9711  df-seqfrec 10657  df-exp 10748

This theorem is referenced by: (None)