Theorem 2exp11 13164

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	|- ( 2 ^; 1 1 ) = ;;; 2 0 4 8

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9811	. . . . 5 |- ( 8 + 3 ) = ; 1 1
2	1	eqcomi 2238	. . . 4 |- ; 1 1 = ( 8 + 3 )
3	2	oveq2i 6070	. . 3 |- ( 2 ^; 1 1 ) = ( 2 ^ ( 8 + 3 ) )
4		2cn 9329	. . . 4 |- 2 e. CC
5		8nn0 9540	. . . 4 |- 8 e. NN0
6		3nn0 9535	. . . 4 |- 3 e. NN0
7		expadd 10971	. . . 4 |- ( ( 2 e. CC /\ 8 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( 8 + 3 ) ) = ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) ) )
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1374	. . 3 |- ( 2 ^ ( 8 + 3 ) ) = ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) )
9	3, 8	eqtri 2255	. 2 |- ( 2 ^; 1 1 ) = ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) )
10		2exp8 13163	. . . 4 |- ( 2 ^ 8 ) = ;; 2 5 6
11		cu2 11028	. . . 4 |- ( 2 ^ 3 ) = 8
12	10, 11	oveq12i 6071	. . 3 |- ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) ) = (;; 2 5 6 x. 8 )
13		2nn0 9534	. . . . 5 |- 2 e. NN0
14		5nn0 9537	. . . . 5 |- 5 e. NN0
15	13, 14	deccl 9745	. . . 4 |- ; 2 5 e. NN0
16		6nn0 9538	. . . 4 |- 6 e. NN0
17		eqid 2234	. . . 4 |- ;; 2 5 6 = ;; 2 5 6
18		4nn0 9536	. . . 4 |- 4 e. NN0
19		0nn0 9532	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
20	13, 19	deccl 9745	. . . . 5 |- ; 2 0 e. NN0
21		eqid 2234	. . . . . 6 |- ; 2 5 = ; 2 5
22		1nn0 9533	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
23		8cn 9344	. . . . . . . 8 |- 8 e. CC
24		8t2e16 9845	. . . . . . . 8 |- ( 8 x. 2 ) = ; 1 6
25	23, 4, 24	mulcomli 8298	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 8 ) = ; 1 6
26		1p1e2 9375	. . . . . . 7 |- ( 1 + 1 ) = 2
27		6p4e10 9802	. . . . . . 7 |- ( 6 + 4 ) = ; 1 0
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9791	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. 8 ) + 4 ) = ; 2 0
29		5cn 9338	. . . . . . 7 |- 5 e. CC
30		8t5e40 9848	. . . . . . 7 |- ( 8 x. 5 ) = ; 4 0
31	23, 29, 30	mulcomli 8298	. . . . . 6 |- ( 5 x. 8 ) = ; 4 0
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9795	. . . . 5 |- (; 2 5 x. 8 ) = ;; 2 0 0
33		4cn 9336	. . . . . 6 |- 4 e. CC
34	33	addlidi 8434	. . . . 5 |- ( 0 + 4 ) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9790	. . . 4 |- ( (; 2 5 x. 8 ) + 4 ) = ;; 2 0 4
36		6cn 9340	. . . . 5 |- 6 e. CC
37		8t6e48 9849	. . . . 5 |- ( 8 x. 6 ) = ; 4 8
38	23, 36, 37	mulcomli 8298	. . . 4 |- ( 6 x. 8 ) = ; 4 8
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9795	. . 3 |- (;; 2 5 6 x. 8 ) = ;;; 2 0 4 8
40	12, 39	eqtri 2255	. 2 |- ( ( 2 ^ 8 ) x. ( 2 ^ 3 ) ) = ;;; 2 0 4 8
41	9, 40	eqtri 2255	1 |- ( 2 ^; 1 1 ) = ;;; 2 0 4 8

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205  (class class class)co 6059   CCcc 8142   0cc0 8144   1c1 8145   + caddc 8147   x. cmul 8149   2c2 9309   3c3 9310   4c4 9311   5c5 9312   6c6 9313   8c8 9315   NN0cn0 9517  ;cdc 9731   ^cexp 10928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-frec 6636  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-5 9320  df-6 9321  df-7 9322  df-8 9323  df-9 9324  df-n0 9518  df-z 9599  df-dec 9732  df-uz 9876  df-seqfrec 10838  df-exp 10929

This theorem is referenced by: (None)