Theorem ex-fac 16092

Description: Example for df-fac 10948. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	|- ( ! ` 5 ) = ;; 1 2 0

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9172	. . . 4 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	fveq2i 5630	. . 3 |- ( ! ` 5 ) = ( ! ` ( 4 + 1 ) )
3		4nn0 9388	. . . 4 |- 4 e. NN0
4		facp1 10952	. . . 4 |- ( 4 e. NN0 -> ( ! ` ( 4 + 1 ) ) = ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( ! ` ( 4 + 1 ) ) = ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) )
6	2, 5	eqtri 2250	. 2 |- ( ! ` 5 ) = ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) )
7		fac4 10955	. . . 4 |- ( ! ` 4 ) = ; 2 4
8		4p1e5 9247	. . . 4 |- ( 4 + 1 ) = 5
9	7, 8	oveq12i 6013	. . 3 |- ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) ) = (; 2 4 x. 5 )
10		5nn0 9389	. . . 4 |- 5 e. NN0
11		2nn0 9386	. . . 4 |- 2 e. NN0
12		eqid 2229	. . . 4 |- ; 2 4 = ; 2 4
13		0nn0 9384	. . . 4 |- 0 e. NN0
14		1nn0 9385	. . . . 5 |- 1 e. NN0
15		5cn 9190	. . . . . 6 |- 5 e. CC
16		2cn 9181	. . . . . 6 |- 2 e. CC
17		5t2e10 9677	. . . . . 6 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
18	15, 16, 17	mulcomli 8153	. . . . 5 |- ( 2 x. 5 ) = ; 1 0
19	16	addlidi 8289	. . . . 5 |- ( 0 + 2 ) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 9637	. . . 4 |- ( ( 2 x. 5 ) + 2 ) = ; 1 2
21		4cn 9188	. . . . 5 |- 4 e. CC
22		5t4e20 9679	. . . . 5 |- ( 5 x. 4 ) = ; 2 0
23	15, 21, 22	mulcomli 8153	. . . 4 |- ( 4 x. 5 ) = ; 2 0
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9642	. . 3 |- (; 2 4 x. 5 ) = ;; 1 2 0
25	9, 24	eqtri 2250	. 2 |- ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) ) = ;; 1 2 0
26	6, 25	eqtri 2250	1 |- ( ! ` 5 ) = ;; 1 2 0

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   x. cmul 8004   2c2 9161   4c4 9163   5c5 9164   NN0cn0 9369  ;cdc 9578   !cfa 10947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-z 9447  df-dec 9579  df-uz 9723  df-seqfrec 10670  df-fac 10948

This theorem is referenced by: (None)