ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-fac Unicode version

Theorem ex-fac 12624
Description: Example for df-fac 10359. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-fac  |-  ( ! `
 5 )  = ;; 1 2 0

Proof of Theorem ex-fac
StepHypRef Expression
1 df-5 8686 . . . 4  |-  5  =  ( 4  +  1 )
21fveq2i 5376 . . 3  |-  ( ! `
 5 )  =  ( ! `  (
4  +  1 ) )
3 4nn0 8894 . . . 4  |-  4  e.  NN0
4 facp1 10363 . . . 4  |-  ( 4  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 4  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
4 )  x.  (
4  +  1 ) ) )
53, 4ax-mp 7 . . 3  |-  ( ! `
 ( 4  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
4 )  x.  (
4  +  1 ) )
62, 5eqtri 2133 . 2  |-  ( ! `
 5 )  =  ( ( ! ` 
4 )  x.  (
4  +  1 ) )
7 fac4 10366 . . . 4  |-  ( ! `
 4 )  = ; 2
4
8 4p1e5 8754 . . . 4  |-  ( 4  +  1 )  =  5
97, 8oveq12i 5738 . . 3  |-  ( ( ! `  4 )  x.  ( 4  +  1 ) )  =  (; 2 4  x.  5 )
10 5nn0 8895 . . . 4  |-  5  e.  NN0
11 2nn0 8892 . . . 4  |-  2  e.  NN0
12 eqid 2113 . . . 4  |- ; 2 4  = ; 2 4
13 0nn0 8890 . . . 4  |-  0  e.  NN0
14 1nn0 8891 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
15 5cn 8704 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
16 2cn 8695 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
17 5t2e10 9179 . . . . . 6  |-  ( 5  x.  2 )  = ; 1
0
1815, 16, 17mulcomli 7691 . . . . 5  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
1916addid2i 7822 . . . . 5  |-  ( 0  +  2 )  =  2
2014, 13, 11, 18, 19decaddi 9139 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
21 4cn 8702 . . . . 5  |-  4  e.  CC
22 5t4e20 9181 . . . . 5  |-  ( 5  x.  4 )  = ; 2
0
2315, 21, 22mulcomli 7691 . . . 4  |-  ( 4  x.  5 )  = ; 2
0
2410, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23decmul1c 9144 . . 3  |-  (; 2 4  x.  5 )  = ;; 1 2 0
259, 24eqtri 2133 . 2  |-  ( ( ! `  4 )  x.  ( 4  +  1 ) )  = ;; 1 2 0
266, 25eqtri 2133 1  |-  ( ! `
 5 )  = ;; 1 2 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1312    e. wcel 1461   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   0cc0 7541   1c1 7542    + caddc 7544    x. cmul 7546   2c2 8675   4c4 8677   5c5 8678   NN0cn0 8875  ;cdc 9080   !cfa 10358
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-frec 6240  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-5 8686  df-6 8687  df-7 8688  df-8 8689  df-9 8690  df-n0 8876  df-z 8953  df-dec 9081  df-uz 9223  df-seqfrec 10106  df-fac 10359
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator