Theorem ex-fac 12624

Description: Example for df-fac 10359. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	|- ( ! ` 5 ) = ;; 1 2 0

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8686	. . . 4 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	fveq2i 5376	. . 3 |- ( ! ` 5 ) = ( ! ` ( 4 + 1 ) )
3		4nn0 8894	. . . 4 |- 4 e. NN0
4		facp1 10363	. . . 4 |- ( 4 e. NN0 -> ( ! ` ( 4 + 1 ) ) = ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) ) )
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 |- ( ! ` ( 4 + 1 ) ) = ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) )
6	2, 5	eqtri 2133	. 2 |- ( ! ` 5 ) = ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) )
7		fac4 10366	. . . 4 |- ( ! ` 4 ) = ; 2 4
8		4p1e5 8754	. . . 4 |- ( 4 + 1 ) = 5
9	7, 8	oveq12i 5738	. . 3 |- ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) ) = (; 2 4 x. 5 )
10		5nn0 8895	. . . 4 |- 5 e. NN0
11		2nn0 8892	. . . 4 |- 2 e. NN0
12		eqid 2113	. . . 4 |- ; 2 4 = ; 2 4
13		0nn0 8890	. . . 4 |- 0 e. NN0
14		1nn0 8891	. . . . 5 |- 1 e. NN0
15		5cn 8704	. . . . . 6 |- 5 e. CC
16		2cn 8695	. . . . . 6 |- 2 e. CC
17		5t2e10 9179	. . . . . 6 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
18	15, 16, 17	mulcomli 7691	. . . . 5 |- ( 2 x. 5 ) = ; 1 0
19	16	addid2i 7822	. . . . 5 |- ( 0 + 2 ) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 9139	. . . 4 |- ( ( 2 x. 5 ) + 2 ) = ; 1 2
21		4cn 8702	. . . . 5 |- 4 e. CC
22		5t4e20 9181	. . . . 5 |- ( 5 x. 4 ) = ; 2 0
23	15, 21, 22	mulcomli 7691	. . . 4 |- ( 4 x. 5 ) = ; 2 0
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9144	. . 3 |- (; 2 4 x. 5 ) = ;; 1 2 0
25	9, 24	eqtri 2133	. 2 |- ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) ) = ;; 1 2 0
26	6, 25	eqtri 2133	1 |- ( ! ` 5 ) = ;; 1 2 0

Syntax hints:   = wceq 1312   e. wcel 1461   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   0cc0 7541   1c1 7542   + caddc 7544   x. cmul 7546   2c2 8675   4c4 8677   5c5 8678   NN0cn0 8875  ;cdc 9080   !cfa 10358

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-frec 6240  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-5 8686  df-6 8687  df-7 8688  df-8 8689  df-9 8690  df-n0 8876  df-z 8953  df-dec 9081  df-uz 9223  df-seqfrec 10106  df-fac 10359

This theorem is referenced by: (None)