ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-fac Unicode version

Theorem ex-fac 10996
Description: Example for df-fac 9967. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-fac  |-  ( ! `
 5 )  = ;; 1 2 0

Proof of Theorem ex-fac
StepHypRef Expression
1 df-5 8376 . . . 4  |-  5  =  ( 4  +  1 )
21fveq2i 5254 . . 3  |-  ( ! `
 5 )  =  ( ! `  (
4  +  1 ) )
3 4nn0 8582 . . . 4  |-  4  e.  NN0
4 facp1 9971 . . . 4  |-  ( 4  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 4  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
4 )  x.  (
4  +  1 ) ) )
53, 4ax-mp 7 . . 3  |-  ( ! `
 ( 4  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
4 )  x.  (
4  +  1 ) )
62, 5eqtri 2103 . 2  |-  ( ! `
 5 )  =  ( ( ! ` 
4 )  x.  (
4  +  1 ) )
7 fac4 9974 . . . 4  |-  ( ! `
 4 )  = ; 2
4
8 4p1e5 8443 . . . 4  |-  ( 4  +  1 )  =  5
97, 8oveq12i 5601 . . 3  |-  ( ( ! `  4 )  x.  ( 4  +  1 ) )  =  (; 2 4  x.  5 )
10 5nn0 8583 . . . 4  |-  5  e.  NN0
11 2nn0 8580 . . . 4  |-  2  e.  NN0
12 eqid 2083 . . . 4  |- ; 2 4  = ; 2 4
13 0nn0 8578 . . . 4  |-  0  e.  NN0
14 1nn0 8579 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
15 5cn 8394 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
16 2cn 8385 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
17 5t2e10 8869 . . . . . 6  |-  ( 5  x.  2 )  = ; 1
0
1815, 16, 17mulcomli 7396 . . . . 5  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
1916addid2i 7526 . . . . 5  |-  ( 0  +  2 )  =  2
2014, 13, 11, 18, 19decaddi 8829 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
21 4cn 8392 . . . . 5  |-  4  e.  CC
22 5t4e20 8871 . . . . 5  |-  ( 5  x.  4 )  = ; 2
0
2315, 21, 22mulcomli 7396 . . . 4  |-  ( 4  x.  5 )  = ; 2
0
2410, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23decmul1c 8834 . . 3  |-  (; 2 4  x.  5 )  = ;; 1 2 0
259, 24eqtri 2103 . 2  |-  ( ( ! `  4 )  x.  ( 4  +  1 ) )  = ;; 1 2 0
266, 25eqtri 2103 1  |-  ( ! `
 5 )  = ;; 1 2 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1285    e. wcel 1434   ` cfv 4967  (class class class)co 5589   0cc0 7251   1c1 7252    + caddc 7254    x. cmul 7256   2c2 8364   4c4 8366   5c5 8367   NN0cn0 8563  ;cdc 8770   !cfa 9966
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-addcom 7346  ax-mulcom 7347  ax-addass 7348  ax-mulass 7349  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-1rid 7353  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-ltadd 7362
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-frec 6086  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-inn 8315  df-2 8373  df-3 8374  df-4 8375  df-5 8376  df-6 8377  df-7 8378  df-8 8379  df-9 8380  df-n0 8564  df-z 8645  df-dec 8771  df-uz 8913  df-iseq 9739  df-fac 9967
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator