Theorem ex-fac 14958

Description: Example for df-fac 10741. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	|- ( ! ` 5 ) = ;; 1 2 0

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9012	. . . 4 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	fveq2i 5537	. . 3 |- ( ! ` 5 ) = ( ! ` ( 4 + 1 ) )
3		4nn0 9226	. . . 4 |- 4 e. NN0
4		facp1 10745	. . . 4 |- ( 4 e. NN0 -> ( ! ` ( 4 + 1 ) ) = ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( ! ` ( 4 + 1 ) ) = ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) )
6	2, 5	eqtri 2210	. 2 |- ( ! ` 5 ) = ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) )
7		fac4 10748	. . . 4 |- ( ! ` 4 ) = ; 2 4
8		4p1e5 9086	. . . 4 |- ( 4 + 1 ) = 5
9	7, 8	oveq12i 5909	. . 3 |- ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) ) = (; 2 4 x. 5 )
10		5nn0 9227	. . . 4 |- 5 e. NN0
11		2nn0 9224	. . . 4 |- 2 e. NN0
12		eqid 2189	. . . 4 |- ; 2 4 = ; 2 4
13		0nn0 9222	. . . 4 |- 0 e. NN0
14		1nn0 9223	. . . . 5 |- 1 e. NN0
15		5cn 9030	. . . . . 6 |- 5 e. CC
16		2cn 9021	. . . . . 6 |- 2 e. CC
17		5t2e10 9514	. . . . . 6 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
18	15, 16, 17	mulcomli 7995	. . . . 5 |- ( 2 x. 5 ) = ; 1 0
19	16	addid2i 8131	. . . . 5 |- ( 0 + 2 ) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 9474	. . . 4 |- ( ( 2 x. 5 ) + 2 ) = ; 1 2
21		4cn 9028	. . . . 5 |- 4 e. CC
22		5t4e20 9516	. . . . 5 |- ( 5 x. 4 ) = ; 2 0
23	15, 21, 22	mulcomli 7995	. . . 4 |- ( 4 x. 5 ) = ; 2 0
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9479	. . 3 |- (; 2 4 x. 5 ) = ;; 1 2 0
25	9, 24	eqtri 2210	. 2 |- ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) ) = ;; 1 2 0
26	6, 25	eqtri 2210	1 |- ( ! ` 5 ) = ;; 1 2 0

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   0cc0 7842   1c1 7843   + caddc 7845   x. cmul 7847   2c2 9001   4c4 9003   5c5 9004   NN0cn0 9207  ;cdc 9415   !cfa 10740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-z 9285  df-dec 9416  df-uz 9560  df-seqfrec 10479  df-fac 10741

This theorem is referenced by: (None)