ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-fac Unicode version

Theorem ex-fac 14958
Description: Example for df-fac 10741. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-fac  |-  ( ! `
 5 )  = ;; 1 2 0

Proof of Theorem ex-fac
StepHypRef Expression
1 df-5 9012 . . . 4  |-  5  =  ( 4  +  1 )
21fveq2i 5537 . . 3  |-  ( ! `
 5 )  =  ( ! `  (
4  +  1 ) )
3 4nn0 9226 . . . 4  |-  4  e.  NN0
4 facp1 10745 . . . 4  |-  ( 4  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 4  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
4 )  x.  (
4  +  1 ) ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( ! `
 ( 4  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
4 )  x.  (
4  +  1 ) )
62, 5eqtri 2210 . 2  |-  ( ! `
 5 )  =  ( ( ! ` 
4 )  x.  (
4  +  1 ) )
7 fac4 10748 . . . 4  |-  ( ! `
 4 )  = ; 2
4
8 4p1e5 9086 . . . 4  |-  ( 4  +  1 )  =  5
97, 8oveq12i 5909 . . 3  |-  ( ( ! `  4 )  x.  ( 4  +  1 ) )  =  (; 2 4  x.  5 )
10 5nn0 9227 . . . 4  |-  5  e.  NN0
11 2nn0 9224 . . . 4  |-  2  e.  NN0
12 eqid 2189 . . . 4  |- ; 2 4  = ; 2 4
13 0nn0 9222 . . . 4  |-  0  e.  NN0
14 1nn0 9223 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
15 5cn 9030 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
16 2cn 9021 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
17 5t2e10 9514 . . . . . 6  |-  ( 5  x.  2 )  = ; 1
0
1815, 16, 17mulcomli 7995 . . . . 5  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
1916addid2i 8131 . . . . 5  |-  ( 0  +  2 )  =  2
2014, 13, 11, 18, 19decaddi 9474 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
21 4cn 9028 . . . . 5  |-  4  e.  CC
22 5t4e20 9516 . . . . 5  |-  ( 5  x.  4 )  = ; 2
0
2315, 21, 22mulcomli 7995 . . . 4  |-  ( 4  x.  5 )  = ; 2
0
2410, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23decmul1c 9479 . . 3  |-  (; 2 4  x.  5 )  = ;; 1 2 0
259, 24eqtri 2210 . 2  |-  ( ( ! `  4 )  x.  ( 4  +  1 ) )  = ;; 1 2 0
266, 25eqtri 2210 1  |-  ( ! `
 5 )  = ;; 1 2 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1364    e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   0cc0 7842   1c1 7843    + caddc 7845    x. cmul 7847   2c2 9001   4c4 9003   5c5 9004   NN0cn0 9207  ;cdc 9415   !cfa 10740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-z 9285  df-dec 9416  df-uz 9560  df-seqfrec 10479  df-fac 10741
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator