Theorem ex-fac 15864

Description: Example for df-fac 10908. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	|- ( ! ` 5 ) = ;; 1 2 0

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9133	. . . 4 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	fveq2i 5602	. . 3 |- ( ! ` 5 ) = ( ! ` ( 4 + 1 ) )
3		4nn0 9349	. . . 4 |- 4 e. NN0
4		facp1 10912	. . . 4 |- ( 4 e. NN0 -> ( ! ` ( 4 + 1 ) ) = ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( ! ` ( 4 + 1 ) ) = ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) )
6	2, 5	eqtri 2228	. 2 |- ( ! ` 5 ) = ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) )
7		fac4 10915	. . . 4 |- ( ! ` 4 ) = ; 2 4
8		4p1e5 9208	. . . 4 |- ( 4 + 1 ) = 5
9	7, 8	oveq12i 5979	. . 3 |- ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) ) = (; 2 4 x. 5 )
10		5nn0 9350	. . . 4 |- 5 e. NN0
11		2nn0 9347	. . . 4 |- 2 e. NN0
12		eqid 2207	. . . 4 |- ; 2 4 = ; 2 4
13		0nn0 9345	. . . 4 |- 0 e. NN0
14		1nn0 9346	. . . . 5 |- 1 e. NN0
15		5cn 9151	. . . . . 6 |- 5 e. CC
16		2cn 9142	. . . . . 6 |- 2 e. CC
17		5t2e10 9638	. . . . . 6 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
18	15, 16, 17	mulcomli 8114	. . . . 5 |- ( 2 x. 5 ) = ; 1 0
19	16	addlidi 8250	. . . . 5 |- ( 0 + 2 ) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 9598	. . . 4 |- ( ( 2 x. 5 ) + 2 ) = ; 1 2
21		4cn 9149	. . . . 5 |- 4 e. CC
22		5t4e20 9640	. . . . 5 |- ( 5 x. 4 ) = ; 2 0
23	15, 21, 22	mulcomli 8114	. . . 4 |- ( 4 x. 5 ) = ; 2 0
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9603	. . 3 |- (; 2 4 x. 5 ) = ;; 1 2 0
25	9, 24	eqtri 2228	. 2 |- ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) ) = ;; 1 2 0
26	6, 25	eqtri 2228	1 |- ( ! ` 5 ) = ;; 1 2 0

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   2c2 9122   4c4 9124   5c5 9125   NN0cn0 9330  ;cdc 9539   !cfa 10907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-dec 9540  df-uz 9684  df-seqfrec 10630  df-fac 10908

This theorem is referenced by: (None)