Theorem ex-fac 16371

Description: Example for df-fac 10989. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	|- ( ! ` 5 ) = ;; 1 2 0

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9205	. . . 4 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	fveq2i 5642	. . 3 |- ( ! ` 5 ) = ( ! ` ( 4 + 1 ) )
3		4nn0 9421	. . . 4 |- 4 e. NN0
4		facp1 10993	. . . 4 |- ( 4 e. NN0 -> ( ! ` ( 4 + 1 ) ) = ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( ! ` ( 4 + 1 ) ) = ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) )
6	2, 5	eqtri 2252	. 2 |- ( ! ` 5 ) = ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) )
7		fac4 10996	. . . 4 |- ( ! ` 4 ) = ; 2 4
8		4p1e5 9280	. . . 4 |- ( 4 + 1 ) = 5
9	7, 8	oveq12i 6030	. . 3 |- ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) ) = (; 2 4 x. 5 )
10		5nn0 9422	. . . 4 |- 5 e. NN0
11		2nn0 9419	. . . 4 |- 2 e. NN0
12		eqid 2231	. . . 4 |- ; 2 4 = ; 2 4
13		0nn0 9417	. . . 4 |- 0 e. NN0
14		1nn0 9418	. . . . 5 |- 1 e. NN0
15		5cn 9223	. . . . . 6 |- 5 e. CC
16		2cn 9214	. . . . . 6 |- 2 e. CC
17		5t2e10 9710	. . . . . 6 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
18	15, 16, 17	mulcomli 8186	. . . . 5 |- ( 2 x. 5 ) = ; 1 0
19	16	addlidi 8322	. . . . 5 |- ( 0 + 2 ) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 9670	. . . 4 |- ( ( 2 x. 5 ) + 2 ) = ; 1 2
21		4cn 9221	. . . . 5 |- 4 e. CC
22		5t4e20 9712	. . . . 5 |- ( 5 x. 4 ) = ; 2 0
23	15, 21, 22	mulcomli 8186	. . . 4 |- ( 4 x. 5 ) = ; 2 0
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 9675	. . 3 |- (; 2 4 x. 5 ) = ;; 1 2 0
25	9, 24	eqtri 2252	. 2 |- ( ( ! ` 4 ) x. ( 4 + 1 ) ) = ;; 1 2 0
26	6, 25	eqtri 2252	1 |- ( ! ` 5 ) = ;; 1 2 0

Syntax hints:   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   x. cmul 8037   2c2 9194   4c4 9196   5c5 9197   NN0cn0 9402  ;cdc 9611   !cfa 10988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-seqfrec 10711  df-fac 10989

This theorem is referenced by: (None)