ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-fac Unicode version

Theorem ex-fac 14102
Description: Example for df-fac 10677. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-fac  |-  ( ! `
 5 )  = ;; 1 2 0

Proof of Theorem ex-fac
StepHypRef Expression
1 df-5 8957 . . . 4  |-  5  =  ( 4  +  1 )
21fveq2i 5513 . . 3  |-  ( ! `
 5 )  =  ( ! `  (
4  +  1 ) )
3 4nn0 9171 . . . 4  |-  4  e.  NN0
4 facp1 10681 . . . 4  |-  ( 4  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 4  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
4 )  x.  (
4  +  1 ) ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( ! `
 ( 4  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
4 )  x.  (
4  +  1 ) )
62, 5eqtri 2198 . 2  |-  ( ! `
 5 )  =  ( ( ! ` 
4 )  x.  (
4  +  1 ) )
7 fac4 10684 . . . 4  |-  ( ! `
 4 )  = ; 2
4
8 4p1e5 9031 . . . 4  |-  ( 4  +  1 )  =  5
97, 8oveq12i 5880 . . 3  |-  ( ( ! `  4 )  x.  ( 4  +  1 ) )  =  (; 2 4  x.  5 )
10 5nn0 9172 . . . 4  |-  5  e.  NN0
11 2nn0 9169 . . . 4  |-  2  e.  NN0
12 eqid 2177 . . . 4  |- ; 2 4  = ; 2 4
13 0nn0 9167 . . . 4  |-  0  e.  NN0
14 1nn0 9168 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
15 5cn 8975 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
16 2cn 8966 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
17 5t2e10 9459 . . . . . 6  |-  ( 5  x.  2 )  = ; 1
0
1815, 16, 17mulcomli 7942 . . . . 5  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
1916addid2i 8077 . . . . 5  |-  ( 0  +  2 )  =  2
2014, 13, 11, 18, 19decaddi 9419 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
21 4cn 8973 . . . . 5  |-  4  e.  CC
22 5t4e20 9461 . . . . 5  |-  ( 5  x.  4 )  = ; 2
0
2315, 21, 22mulcomli 7942 . . . 4  |-  ( 4  x.  5 )  = ; 2
0
2410, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23decmul1c 9424 . . 3  |-  (; 2 4  x.  5 )  = ;; 1 2 0
259, 24eqtri 2198 . 2  |-  ( ( ! `  4 )  x.  ( 4  +  1 ) )  = ;; 1 2 0
266, 25eqtri 2198 1  |-  ( ! `
 5 )  = ;; 1 2 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   0cc0 7789   1c1 7790    + caddc 7792    x. cmul 7794   2c2 8946   4c4 8948   5c5 8949   NN0cn0 9152  ;cdc 9360   !cfa 10676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-5 8957  df-6 8958  df-7 8959  df-8 8960  df-9 8961  df-n0 9153  df-z 9230  df-dec 9361  df-uz 9505  df-seqfrec 10419  df-fac 10677
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator