Theorem decmul1 9602

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	|- P e. NN0
decmul1.a	|- A e. NN0
decmul1.b	|- B e. NN0
decmul1.n	|- N = ; A B
decmul1.0	|- D e. NN0
decmul1.c	|- ( A x. P ) = C
decmul1.d	|- ( B x. P ) = D

Assertion

Ref	Expression
decmul1	|- ( N x. P ) = ; C D

Proof of Theorem decmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9556	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		decmul1.p	. . 3 |- P e. NN0
3		decmul1.a	. . 3 |- A e. NN0
4		decmul1.b	. . 3 |- B e. NN0
5		decmul1.n	. . . 4 |- N = ; A B
6		dfdec10 9542	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
7	5, 6	eqtri 2228	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8		decmul1.0	. . 3 |- D e. NN0
9		0nn0 9345	. . 3 |- 0 e. NN0
10	3, 2	nn0mulcli 9368	. . . . . 6 |- ( A x. P ) e. NN0
11	10	nn0cni 9342	. . . . 5 |- ( A x. P ) e. CC
12	11	addridi 8249	. . . 4 |- ( ( A x. P ) + 0 ) = ( A x. P )
13		decmul1.c	. . . 4 |- ( A x. P ) = C
14	12, 13	eqtri 2228	. . 3 |- ( ( A x. P ) + 0 ) = C
15		decmul1.d	. . . . 5 |- ( B x. P ) = D
16	15	oveq2i 5978	. . . 4 |- ( 0 + ( B x. P ) ) = ( 0 + D )
17	4, 2	nn0mulcli 9368	. . . . . 6 |- ( B x. P ) e. NN0
18	17	nn0cni 9342	. . . . 5 |- ( B x. P ) e. CC
19	18	addlidi 8250	. . . 4 |- ( 0 + ( B x. P ) ) = ( B x. P )
20	1	nn0cni 9342	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. CC
21	20	mul01i 8498	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. 0 ) = 0
22	21	eqcomi 2211	. . . . 5 |- 0 = (; 1 0 x. 0 )
23	22	oveq1i 5977	. . . 4 |- ( 0 + D ) = ( (; 1 0 x. 0 ) + D )
24	16, 19, 23	3eqtr3i 2236	. . 3 |- ( B x. P ) = ( (; 1 0 x. 0 ) + D )
25	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14, 24	nummul1c 9587	. 2 |- ( N x. P ) = ( (; 1 0 x. C ) + D )
26		dfdec10 9542	. 2 |- ; C D = ( (; 1 0 x. C ) + D )
27	25, 26	eqtr4i 2231	1 |- ( N x. P ) = ; C D

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   NN0cn0 9330  ;cdc 9539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-dec 9540

This theorem is referenced by:  sq10  10894  2exp7  12872