Theorem decmul1 9406

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	|- P e. NN0
decmul1.a	|- A e. NN0
decmul1.b	|- B e. NN0
decmul1.n	|- N = ; A B
decmul1.0	|- D e. NN0
decmul1.c	|- ( A x. P ) = C
decmul1.d	|- ( B x. P ) = D

Assertion

Ref	Expression
decmul1	|- ( N x. P ) = ; C D

Proof of Theorem decmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9360	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		decmul1.p	. . 3 |- P e. NN0
3		decmul1.a	. . 3 |- A e. NN0
4		decmul1.b	. . 3 |- B e. NN0
5		decmul1.n	. . . 4 |- N = ; A B
6		dfdec10 9346	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
7	5, 6	eqtri 2191	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8		decmul1.0	. . 3 |- D e. NN0
9		0nn0 9150	. . 3 |- 0 e. NN0
10	3, 2	nn0mulcli 9173	. . . . . 6 |- ( A x. P ) e. NN0
11	10	nn0cni 9147	. . . . 5 |- ( A x. P ) e. CC
12	11	addid1i 8061	. . . 4 |- ( ( A x. P ) + 0 ) = ( A x. P )
13		decmul1.c	. . . 4 |- ( A x. P ) = C
14	12, 13	eqtri 2191	. . 3 |- ( ( A x. P ) + 0 ) = C
15		decmul1.d	. . . . 5 |- ( B x. P ) = D
16	15	oveq2i 5864	. . . 4 |- ( 0 + ( B x. P ) ) = ( 0 + D )
17	4, 2	nn0mulcli 9173	. . . . . 6 |- ( B x. P ) e. NN0
18	17	nn0cni 9147	. . . . 5 |- ( B x. P ) e. CC
19	18	addid2i 8062	. . . 4 |- ( 0 + ( B x. P ) ) = ( B x. P )
20	1	nn0cni 9147	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. CC
21	20	mul01i 8310	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. 0 ) = 0
22	21	eqcomi 2174	. . . . 5 |- 0 = (; 1 0 x. 0 )
23	22	oveq1i 5863	. . . 4 |- ( 0 + D ) = ( (; 1 0 x. 0 ) + D )
24	16, 19, 23	3eqtr3i 2199	. . 3 |- ( B x. P ) = ( (; 1 0 x. 0 ) + D )
25	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14, 24	nummul1c 9391	. 2 |- ( N x. P ) = ( (; 1 0 x. C ) + D )
26		dfdec10 9346	. 2 |- ; C D = ( (; 1 0 x. C ) + D )
27	25, 26	eqtr4i 2194	1 |- ( N x. P ) = ; C D

Syntax hints:   = wceq 1348   e. wcel 2141  (class class class)co 5853   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   NN0cn0 9135  ;cdc 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sub 8092  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-dec 9344

This theorem is referenced by:  sq10  10646