Theorem decnncl 9728

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	|- A e. NN0
decnncl.2	|- B e. NN

Assertion

Ref	Expression
decnncl	|- ; A B e. NN

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 9712	. 2 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
2		10nn0 9726	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
3		decnncl.1	. . 3 |- A e. NN0
4		decnncl.2	. . 3 |- B e. NN
5	2, 3, 4	numnncl 9718	. 2 |- ( (; 1 0 x. A ) + B ) e. NN
6	1, 5	eqeltri 2305	1 |- ; A B e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2203  (class class class)co 6050   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   x. cmul 8132   NNcn 9237   NN0cn0 9496  ;cdc 9709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-dec 9710

This theorem is referenced by:  ocndx  13424  ocid  13425  dsndx  13428  dsid  13429  dsslid  13430  dsndxnn  13431  unifndx  13439  unifid  13440  unifndxnn  13441  slotsdifunifndx  13445  homndx  13446  homid  13447  homslid  13448  ccondx  13449  ccoid  13450  ccoslid  13451  imasvalstrd  13483  prdsvalstrd  13484  cnfldstr  14706  edgfid  16001  edgfndx  16002  edgfndxnn  16003