Theorem decnncl 9558

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	|- A e. NN0
decnncl.2	|- B e. NN

Assertion

Ref	Expression
decnncl	|- ; A B e. NN

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 9542	. 2 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
2		10nn0 9556	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
3		decnncl.1	. . 3 |- A e. NN0
4		decnncl.2	. . 3 |- B e. NN
5	2, 3, 4	numnncl 9548	. 2 |- ( (; 1 0 x. A ) + B ) e. NN
6	1, 5	eqeltri 2280	1 |- ; A B e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   NNcn 9071   NN0cn0 9330  ;cdc 9539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-dec 9540

This theorem is referenced by:  ocndx  13158  ocid  13159  dsndx  13162  dsid  13163  dsslid  13164  dsndxnn  13165  unifndx  13173  unifid  13174  unifndxnn  13175  slotsdifunifndx  13179  homndx  13180  homid  13181  homslid  13182  ccondx  13183  ccoid  13184  ccoslid  13185  imasvalstrd  13217  prdsvalstrd  13218  cnfldstr  14435  edgfid  15720  edgfndx  15721  edgfndxnn  15722