Theorem decnncl 9630

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	|- A e. NN0
decnncl.2	|- B e. NN

Assertion

Ref	Expression
decnncl	|- ; A B e. NN

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 9614	. 2 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
2		10nn0 9628	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
3		decnncl.1	. . 3 |- A e. NN0
4		decnncl.2	. . 3 |- B e. NN
5	2, 3, 4	numnncl 9620	. 2 |- ( (; 1 0 x. A ) + B ) e. NN
6	1, 5	eqeltri 2304	1 |- ; A B e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2202  (class class class)co 6018   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   x. cmul 8037   NNcn 9143   NN0cn0 9402  ;cdc 9611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612

This theorem is referenced by:  ocndx  13296  ocid  13297  dsndx  13300  dsid  13301  dsslid  13302  dsndxnn  13303  unifndx  13311  unifid  13312  unifndxnn  13313  slotsdifunifndx  13317  homndx  13318  homid  13319  homslid  13320  ccondx  13321  ccoid  13322  ccoslid  13323  imasvalstrd  13355  prdsvalstrd  13356  cnfldstr  14575  edgfid  15860  edgfndx  15861  edgfndxnn  15862