Theorem decnncl 9523

Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decnncl.1	|- A e. NN0
decnncl.2	|- B e. NN

Assertion

Ref	Expression
decnncl	|- ; A B e. NN

Proof of Theorem decnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 9507	. 2 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
2		10nn0 9521	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
3		decnncl.1	. . 3 |- A e. NN0
4		decnncl.2	. . 3 |- B e. NN
5	2, 3, 4	numnncl 9513	. 2 |- ( (; 1 0 x. A ) + B ) e. NN
6	1, 5	eqeltri 2278	1 |- ; A B e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2176  (class class class)co 5944   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   x. cmul 7930   NNcn 9036   NN0cn0 9295  ;cdc 9504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-dec 9505

This theorem is referenced by:  ocndx  13043  ocid  13044  dsndx  13047  dsid  13048  dsslid  13049  dsndxnn  13050  unifndx  13058  unifid  13059  unifndxnn  13060  slotsdifunifndx  13064  homndx  13065  homid  13066  homslid  13067  ccondx  13068  ccoid  13069  ccoslid  13070  imasvalstrd  13102  prdsvalstrd  13103  cnfldstr  14320  edgfid  15605  edgfndx  15606  edgfndxnn  15607