Theorem imasvalstrd 13566

Description: An image structure value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvalstr.u	|- U = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } )
imasvalstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
imasvalstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
imasvalstrd.m	|- ( ph -> .X. e. X )
imasvalstrd.s	|- ( ph -> S e. Y )
imasvalstrd.c	|- ( ph -> .x. e. Z )
imasvalstrd.i	|- ( ph -> ., e. P )
imasvalstrd.t	|- ( ph -> O e. Q )
imasvalstrd.l	|- ( ph -> L e. R )
imasvalstrd.d	|- ( ph -> D e. A )

Assertion

Ref	Expression
imasvalstrd	|- ( ph -> U Struct <. 1 , ; 1 2 >. )

Proof of Theorem imasvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvalstr.u	. 2 |- U = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } )
2		eqid 2234	. . . 4 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } )
3		imasvalstrd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
4		imasvalstrd.p	. . . 4 |- ( ph -> .+ e. W )
5		imasvalstrd.m	. . . 4 |- ( ph -> .X. e. X )
6		imasvalstrd.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. Y )
7		imasvalstrd.c	. . . 4 |- ( ph -> .x. e. Z )
8		imasvalstrd.i	. . . 4 |- ( ph -> ., e. P )
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ipsstrd 13477	. . 3 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) Struct <. 1 , 8 >. )
10		imasvalstrd.t	. . . 4 |- ( ph -> O e. Q )
11		imasvalstrd.l	. . . 4 |- ( ph -> L e. R )
12		imasvalstrd.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. A )
13		9nn 9426	. . . . 5 |- 9 e. NN
14		tsetndx 13487	. . . . 5 |- (TopSet ` ndx ) = 9
15		9lt10 9860	. . . . 5 |- 9 < ; 1 0
16		10nn 9745	. . . . 5 |- ; 1 0 e. NN
17		plendx 13501	. . . . 5 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
18		1nn0 9532	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
19		0nn0 9531	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
20		2nn 9419	. . . . . 6 |- 2 e. NN
21		2pos 9348	. . . . . 6 |- 0 < 2
22	18, 19, 20, 21	declt 9757	. . . . 5 |- ; 1 0 < ; 1 2
23	18, 20	decnncl 9749	. . . . 5 |- ; 1 2 e. NN
24		dsndx 13516	. . . . 5 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
25	13, 14, 15, 16, 17, 22, 23, 24	strle3g 13409	. . . 4 |- ( ( O e. Q /\ L e. R /\ D e. A ) -> { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } Struct <. 9 , ; 1 2 >. )
26	10, 11, 12, 25	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } Struct <. 9 , ; 1 2 >. )
27		8lt9 9455	. . . 4 |- 8 < 9
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 8 < 9 )
29	9, 26, 28	strleund 13404	. 2 |- ( ph -> ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } ) Struct <. 1 , ; 1 2 >. )
30	1, 29	eqbrtrid 4149	1 |- ( ph -> U Struct <. 1 , ; 1 2 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   u. cun 3212   {ctp 3696   <.cop 3697   class class class wbr 4114   ` cfv 5357   0cc0 8143   1c1 8144   < clt 8324   2c2 9308   8c8 9314   9c9 9315  ;cdc 9730   Struct cstr 13296   ndxcnx 13297   Basecbs 13300   +g cplusg 13378   .rcmulr 13379  Scalarcsca 13381   .scvsca 13382   .icip 13383  TopSetcts 13384   lecple 13385   distcds 13387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-z 9598  df-dec 9731  df-uz 9875  df-fz 10365  df-struct 13302  df-ndx 13303  df-slot 13304  df-base 13306  df-plusg 13391  df-mulr 13392  df-sca 13394  df-vsca 13395  df-ip 13396  df-tset 13397  df-ple 13398  df-ds 13400

This theorem is referenced by:  prdsvalstrd  13567