Theorem imasvalstrd 13371

Description: An image structure value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvalstr.u	|- U = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } )
imasvalstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
imasvalstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
imasvalstrd.m	|- ( ph -> .X. e. X )
imasvalstrd.s	|- ( ph -> S e. Y )
imasvalstrd.c	|- ( ph -> .x. e. Z )
imasvalstrd.i	|- ( ph -> ., e. P )
imasvalstrd.t	|- ( ph -> O e. Q )
imasvalstrd.l	|- ( ph -> L e. R )
imasvalstrd.d	|- ( ph -> D e. A )

Assertion

Ref	Expression
imasvalstrd	|- ( ph -> U Struct <. 1 , ; 1 2 >. )

Proof of Theorem imasvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvalstr.u	. 2 |- U = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } )
2		eqid 2231	. . . 4 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } )
3		imasvalstrd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
4		imasvalstrd.p	. . . 4 |- ( ph -> .+ e. W )
5		imasvalstrd.m	. . . 4 |- ( ph -> .X. e. X )
6		imasvalstrd.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. Y )
7		imasvalstrd.c	. . . 4 |- ( ph -> .x. e. Z )
8		imasvalstrd.i	. . . 4 |- ( ph -> ., e. P )
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ipsstrd 13277	. . 3 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) Struct <. 1 , 8 >. )
10		imasvalstrd.t	. . . 4 |- ( ph -> O e. Q )
11		imasvalstrd.l	. . . 4 |- ( ph -> L e. R )
12		imasvalstrd.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. A )
13		9nn 9312	. . . . 5 |- 9 e. NN
14		tsetndx 13287	. . . . 5 |- (TopSet ` ndx ) = 9
15		9lt10 9741	. . . . 5 |- 9 < ; 1 0
16		10nn 9626	. . . . 5 |- ; 1 0 e. NN
17		plendx 13301	. . . . 5 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
18		1nn0 9418	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
19		0nn0 9417	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
20		2nn 9305	. . . . . 6 |- 2 e. NN
21		2pos 9234	. . . . . 6 |- 0 < 2
22	18, 19, 20, 21	declt 9638	. . . . 5 |- ; 1 0 < ; 1 2
23	18, 20	decnncl 9630	. . . . 5 |- ; 1 2 e. NN
24		dsndx 13316	. . . . 5 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
25	13, 14, 15, 16, 17, 22, 23, 24	strle3g 13209	. . . 4 |- ( ( O e. Q /\ L e. R /\ D e. A ) -> { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } Struct <. 9 , ; 1 2 >. )
26	10, 11, 12, 25	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ph -> { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } Struct <. 9 , ; 1 2 >. )
27		8lt9 9341	. . . 4 |- 8 < 9
28	27	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 8 < 9 )
29	9, 26, 28	strleund 13204	. 2 |- ( ph -> ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } ) Struct <. 1 , ; 1 2 >. )
30	1, 29	eqbrtrid 4123	1 |- ( ph -> U Struct <. 1 , ; 1 2 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   u. cun 3198   {ctp 3671   <.cop 3672   class class class wbr 4088   ` cfv 5326   0cc0 8032   1c1 8033   < clt 8214   2c2 9194   8c8 9200   9c9 9201  ;cdc 9611   Struct cstr 13096   ndxcnx 13097   Basecbs 13100   +g cplusg 13178   .rcmulr 13179  Scalarcsca 13181   .scvsca 13182   .icip 13183  TopSetcts 13184   lecple 13185   distcds 13187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-fz 10244  df-struct 13102  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-sca 13194  df-vsca 13195  df-ip 13196  df-tset 13197  df-ple 13198  df-ds 13200

This theorem is referenced by:  prdsvalstrd  13372