Theorem dsslid 13430

Description: Slot property of dist. (Contributed by Jim Kingdon, 6-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dsslid	|- ( dist = Slot ( dist ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) e. NN )

Proof of Theorem dsslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ds 13312	. 2 |- dist = Slot ; 1 2
2		1nn0 9512	. . 3 |- 1 e. NN0
3		2nn 9399	. . 3 |- 2 e. NN
4	2, 3	decnncl 9728	. 2 |- ; 1 2 e. NN
5	1, 4	ndxslid 13237	1 |- ( dist = Slot ( dist ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) e. NN )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352   1c1 8128   NNcn 9237   2c2 9288  ;cdc 9709   ndxcnx 13209  Slot cslot 13211   distcds 13299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-dec 9710  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-ds 13312

This theorem is referenced by:  mgpdsg  14074  sradsg  14596  cnfldds  14716  setsmsdsg  15345