Theorem prdsvalstrd 13597

Description: Structure product value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsvalstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
prdsvalstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
prdsvalstrd.m	|- ( ph -> .X. e. X )
prdsvalstrd.s	|- ( ph -> S e. Y )
prdsvalstrd.c	|- ( ph -> .x. e. Z )
prdsvalstrd.i	|- ( ph -> ., e. P )
prdsvalstrd.t	|- ( ph -> O e. Q )
prdsvalstrd.l	|- ( ph -> L e. R )
prdsvalstrd.d	|- ( ph -> D e. A )
prdsvalstrd.h	|- ( ph -> H e. T )
prdsvalstrd.x	|- ( ph -> .xb e. U )

Assertion

Ref	Expression
prdsvalstrd	|- ( ph -> ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , H >. , <. (comp ` ndx ) , .xb >. } ) ) Struct <. 1 , ; 1 5 >. )

Proof of Theorem prdsvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unass 3386	. 2 |- ( ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } ) u. { <. ( Hom ` ndx ) , H >. , <. (comp ` ndx ) , .xb >. } ) = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , H >. , <. (comp ` ndx ) , .xb >. } ) )
2		eqid 2238	. . . 4 |- ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } ) = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } )
3		prdsvalstrd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
4		prdsvalstrd.p	. . . 4 |- ( ph -> .+ e. W )
5		prdsvalstrd.m	. . . 4 |- ( ph -> .X. e. X )
6		prdsvalstrd.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. Y )
7		prdsvalstrd.c	. . . 4 |- ( ph -> .x. e. Z )
8		prdsvalstrd.i	. . . 4 |- ( ph -> ., e. P )
9		prdsvalstrd.t	. . . 4 |- ( ph -> O e. Q )
10		prdsvalstrd.l	. . . 4 |- ( ph -> L e. R )
11		prdsvalstrd.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. A )
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	imasvalstrd 13596	. . 3 |- ( ph -> ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } ) Struct <. 1 , ; 1 2 >. )
13		prdsvalstrd.h	. . . 4 |- ( ph -> H e. T )
14		prdsvalstrd.x	. . . 4 |- ( ph -> .xb e. U )
15		1nn0 9558	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
16		4nn 9447	. . . . . 6 |- 4 e. NN
17	15, 16	decnncl 9775	. . . . 5 |- ; 1 4 e. NN
18		homndx 13564	. . . . 5 |- ( Hom ` ndx ) = ; 1 4
19		4nn0 9561	. . . . . 6 |- 4 e. NN0
20		5nn 9448	. . . . . 6 |- 5 e. NN
21		4lt5 9459	. . . . . 6 |- 4 < 5
22	15, 19, 20, 21	declt 9783	. . . . 5 |- ; 1 4 < ; 1 5
23	15, 20	decnncl 9775	. . . . 5 |- ; 1 5 e. NN
24		ccondx 13567	. . . . 5 |- (comp ` ndx ) = ; 1 5
25	17, 18, 22, 23, 24	strle2g 13438	. . . 4 |- ( ( H e. T /\ .xb e. U ) -> { <. ( Hom ` ndx ) , H >. , <. (comp ` ndx ) , .xb >. } Struct <.; 1 4 , ; 1 5 >. )
26	13, 14, 25	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> { <. ( Hom ` ndx ) , H >. , <. (comp ` ndx ) , .xb >. } Struct <.; 1 4 , ; 1 5 >. )
27		2nn0 9559	. . . . 5 |- 2 e. NN0
28		2lt4 9457	. . . . 5 |- 2 < 4
29	15, 27, 16, 28	declt 9783	. . . 4 |- ; 1 2 < ; 1 4
30	29	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ; 1 2 < ; 1 4 )
31	12, 26, 30	strleund 13434	. 2 |- ( ph -> ( ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } ) u. { <. ( Hom ` ndx ) , H >. , <. (comp ` ndx ) , .xb >. } ) Struct <. 1 , ; 1 5 >. )
32	1, 31	eqbrtrrid 4161	1 |- ( ph -> ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , H >. , <. (comp ` ndx ) , .xb >. } ) ) Struct <. 1 , ; 1 5 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   u. cun 3218   {cpr 3706   {ctp 3707   <.cop 3708   class class class wbr 4125   ` cfv 5372   1c1 8170   < clt 8350   2c2 9334   4c4 9336   5c5 9337  ;cdc 9756   Struct cstr 13326   ndxcnx 13327   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   .rcmulr 13409  Scalarcsca 13411   .scvsca 13412   .icip 13413  TopSetcts 13414   lecple 13415   distcds 13417   Hom chom 13419  compcco 13420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-uz 9901  df-fz 10391  df-struct 13332  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-ip 13426  df-tset 13427  df-ple 13428  df-ds 13430  df-hom 13432  df-cco 13433

This theorem is referenced by:  prdsbaslemss  14151