Theorem prdsvalstrd 13270

Description: Structure product value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsvalstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
prdsvalstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
prdsvalstrd.m	|- ( ph -> .X. e. X )
prdsvalstrd.s	|- ( ph -> S e. Y )
prdsvalstrd.c	|- ( ph -> .x. e. Z )
prdsvalstrd.i	|- ( ph -> ., e. P )
prdsvalstrd.t	|- ( ph -> O e. Q )
prdsvalstrd.l	|- ( ph -> L e. R )
prdsvalstrd.d	|- ( ph -> D e. A )
prdsvalstrd.h	|- ( ph -> H e. T )
prdsvalstrd.x	|- ( ph -> .xb e. U )

Assertion

Ref	Expression
prdsvalstrd	|- ( ph -> ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , H >. , <. (comp ` ndx ) , .xb >. } ) ) Struct <. 1 , ; 1 5 >. )

Proof of Theorem prdsvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unass 3341	. 2 |- ( ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } ) u. { <. ( Hom ` ndx ) , H >. , <. (comp ` ndx ) , .xb >. } ) = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , H >. , <. (comp ` ndx ) , .xb >. } ) )
2		eqid 2209	. . . 4 |- ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } ) = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } )
3		prdsvalstrd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
4		prdsvalstrd.p	. . . 4 |- ( ph -> .+ e. W )
5		prdsvalstrd.m	. . . 4 |- ( ph -> .X. e. X )
6		prdsvalstrd.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. Y )
7		prdsvalstrd.c	. . . 4 |- ( ph -> .x. e. Z )
8		prdsvalstrd.i	. . . 4 |- ( ph -> ., e. P )
9		prdsvalstrd.t	. . . 4 |- ( ph -> O e. Q )
10		prdsvalstrd.l	. . . 4 |- ( ph -> L e. R )
11		prdsvalstrd.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. A )
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	imasvalstrd 13269	. . 3 |- ( ph -> ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } ) Struct <. 1 , ; 1 2 >. )
13		prdsvalstrd.h	. . . 4 |- ( ph -> H e. T )
14		prdsvalstrd.x	. . . 4 |- ( ph -> .xb e. U )
15		1nn0 9353	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
16		4nn 9242	. . . . . 6 |- 4 e. NN
17	15, 16	decnncl 9565	. . . . 5 |- ; 1 4 e. NN
18		homndx 13232	. . . . 5 |- ( Hom ` ndx ) = ; 1 4
19		4nn0 9356	. . . . . 6 |- 4 e. NN0
20		5nn 9243	. . . . . 6 |- 5 e. NN
21		4lt5 9254	. . . . . 6 |- 4 < 5
22	15, 19, 20, 21	declt 9573	. . . . 5 |- ; 1 4 < ; 1 5
23	15, 20	decnncl 9565	. . . . 5 |- ; 1 5 e. NN
24		ccondx 13235	. . . . 5 |- (comp ` ndx ) = ; 1 5
25	17, 18, 22, 23, 24	strle2g 13106	. . . 4 |- ( ( H e. T /\ .xb e. U ) -> { <. ( Hom ` ndx ) , H >. , <. (comp ` ndx ) , .xb >. } Struct <.; 1 4 , ; 1 5 >. )
26	13, 14, 25	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> { <. ( Hom ` ndx ) , H >. , <. (comp ` ndx ) , .xb >. } Struct <.; 1 4 , ; 1 5 >. )
27		2nn0 9354	. . . . 5 |- 2 e. NN0
28		2lt4 9252	. . . . 5 |- 2 < 4
29	15, 27, 16, 28	declt 9573	. . . 4 |- ; 1 2 < ; 1 4
30	29	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ; 1 2 < ; 1 4 )
31	12, 26, 30	strleund 13102	. 2 |- ( ph -> ( ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } ) u. { <. ( Hom ` ndx ) , H >. , <. (comp ` ndx ) , .xb >. } ) Struct <. 1 , ; 1 5 >. )
32	1, 31	eqbrtrrid 4098	1 |- ( ph -> ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , ., >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , O >. , <. ( le ` ndx ) , L >. , <. ( dist ` ndx ) , D >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , H >. , <. (comp ` ndx ) , .xb >. } ) ) Struct <. 1 , ; 1 5 >. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2180   u. cun 3175   {cpr 3647   {ctp 3648   <.cop 3649   class class class wbr 4062   ` cfv 5294   1c1 7968   < clt 8149   2c2 9129   4c4 9131   5c5 9132  ;cdc 9546   Struct cstr 12994   ndxcnx 12995   Basecbs 12998   +g cplusg 13076   .rcmulr 13077  Scalarcsca 13079   .scvsca 13080   .icip 13081  TopSetcts 13082   lecple 13083   distcds 13085   Hom chom 13087  compcco 13088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-fz 10173  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-tset 13095  df-ple 13096  df-ds 13098  df-hom 13100  df-cco 13101

This theorem is referenced by:  prdsbaslemss  13273