Theorem edgfndxnn 16454

Description: The index value of the edge function extractor is a positive integer. This property should be ensured for every concrete coding because otherwise it could not be used in an extensible structure (slots must be positive integers). (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
edgfndxnn	|- (.ef ` ndx ) e. NN

Proof of Theorem edgfndxnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgfndx 16453	. 2 |- (.ef ` ndx ) = ; 1 8
2		1nn0 9590	. . 3 |- 1 e. NN0
3		8nn 9483	. . 3 |- 8 e. NN
4	2, 3	decnncl 9811	. 2 |- ; 1 8 e. NN
5	1, 4	eqeltri 2311	1 |- (.ef ` ndx ) e. NN

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   ` cfv 5380   1c1 8186   NNcn 9313   8c8 9370  ;cdc 9788   ndxcnx 13407  .efcedgf 16450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-dec 9789  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-edgf 16451

This theorem is used by:  edgfndxid  16455  iedgvalg  16463  iedgex  16465  edgfiedgval2dom  16481  funvtxvalg  16482  funiedgvalg  16483  structiedg0val  16486  structgr2slots2dom  16487  structgrssvtx  16488  structgrssiedg  16489  struct2grstrg  16490  struct2grvtx  16491  setsvtx  16497  setsiedg  16498  iedgval0  16500  edgvalg  16505  edgstruct  16510  usgrstrrepeen  16677