Theorem edgfndxnn 15803

Description: The index value of the edge function extractor is a positive integer. This property should be ensured for every concrete coding because otherwise it could not be used in an extensible structure (slots must be positive integers). (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
edgfndxnn	|- (.ef ` ndx ) e. NN

Proof of Theorem edgfndxnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgfndx 15802	. 2 |- (.ef ` ndx ) = ; 1 8
2		1nn0 9381	. . 3 |- 1 e. NN0
3		8nn 9274	. . 3 |- 8 e. NN
4	2, 3	decnncl 9593	. 2 |- ; 1 8 e. NN
5	1, 4	eqeltri 2302	1 |- (.ef ` ndx ) e. NN

Syntax hints:   e. wcel 2200   ` cfv 5317   1c1 7996   NNcn 9106   8c8 9163  ;cdc 9574   ndxcnx 13024  .efcedgf 15799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-sub 8315  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-dec 9575  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-edgf 15800

This theorem is referenced by:  edgfndxid  15804  iedgvalg  15812  iedgex  15814  edgfiedgval2dom  15830  funvtxvalg  15831  funiedgvalg  15832  structiedg0val  15835  structgr2slots2dom  15836  structgrssvtx  15837  structgrssiedg  15838  struct2grstrg  15839  struct2grvtx  15840  setsvtx  15846  setsiedg  15847  iedgval0  15849  edgvalg  15854  edgstruct  15858  usgrstrrepeen  16023