Theorem dedekindicclemloc 13773

Description: Lemma for dedekindicc 13778. The set L is located. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	|- ( ph -> A e. RR )
dedekindicc.b	|- ( ph -> B e. RR )
dedekindicc.lss	|- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss	|- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm	|- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
dedekindicc.um	|- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
dedekindicc.lr	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindicc.ur	|- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindicc.disj	|- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindicc.loc	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemloc	|- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )

Distinct variable groups:   A, q, r, y, z   B, q, r, y, z   L, q, r, z   U, q, r, z   ph, q, x, y, z   x, r

Allowed substitution hints:   ph( r)   A( x)   B( x)   U( x, y)   L( x, y)

Proof of Theorem dedekindicclemloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4004	. . . . 5 |- ( r = y -> ( x < r <-> x < y ) )
2		eleq1w 2238	. . . . . 6 |- ( r = y -> ( r e. U <-> y e. U ) )
3	2	orbi2d 790	. . . . 5 |- ( r = y -> ( ( x e. L \/ r e. U ) <-> ( x e. L \/ y e. U ) ) )
4	1, 3	imbi12d 234	. . . 4 |- ( r = y -> ( ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) <-> ( x < y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) )
5		breq1 4003	. . . . . . 7 |- ( q = x -> ( q < r <-> x < r ) )
6		eleq1w 2238	. . . . . . . 8 |- ( q = x -> ( q e. L <-> x e. L ) )
7	6	orbi1d 791	. . . . . . 7 |- ( q = x -> ( ( q e. L \/ r e. U ) <-> ( x e. L \/ r e. U ) ) )
8	5, 7	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( q = x -> ( ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) ) )
9	8	ralbidv 2477	. . . . 5 |- ( q = x -> ( A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> A. r e. ( A [,] B ) ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) ) )
10		dedekindicc.loc	. . . . . 6 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
11	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
12		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
13	9, 11, 12	rspcdva 2846	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> A. r e. ( A [,] B ) ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) )
14		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
15	4, 13, 14	rspcdva 2846	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x < y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) )
16		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> x e. L )
17	5	rexbidv 2478	. . . . . . . . 9 |- ( q = x -> ( E. r e. L q < r <-> E. r e. L x < r ) )
18	6, 17	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( q = x -> ( ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) <-> ( x e. L <-> E. r e. L x < r ) ) )
19		dedekindicc.lr	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
21	12	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> x e. ( A [,] B ) )
22	18, 20, 21	rspcdva 2846	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> ( x e. L <-> E. r e. L x < r ) )
23	16, 22	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> E. r e. L x < r )
24		breq2 4004	. . . . . . 7 |- ( r = z -> ( x < r <-> x < z ) )
25	24	cbvrexv 2704	. . . . . 6 |- ( E. r e. L x < r <-> E. z e. L x < z )
26	23, 25	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> E. z e. L x < z )
27	26	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x e. L -> E. z e. L x < z ) )
28		dedekindicc.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> A e. RR )
30		dedekindicc.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
31	30	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> B e. RR )
32		dedekindicc.lss	. . . . . . 7 |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
33	32	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> L C_ ( A [,] B ) )
34		dedekindicc.uss	. . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> U C_ ( A [,] B ) )
36		dedekindicc.lm	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
37	36	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
38		dedekindicc.um	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
39	38	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
40	19	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
41		dedekindicc.ur	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
42	41	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
43		dedekindicc.disj	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
44	43	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> ( L i^i U ) = (/) )
45	10	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
46		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> y e. U )
47	29, 31, 33, 35, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 46	dedekindicclemuub 13771	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> A. z e. L z < y )
48	47	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( y e. U -> A. z e. L z < y ) )
49	27, 48	orim12d 786	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( x e. L \/ y e. U ) -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
50	15, 49	syld 45	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
51	50	ralrimivva 2559	1 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   i^i cin 3128   C_ wss 3129   (/)c0 3422   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   RRcr 7801   < clt 7982   [,]cicc 9878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-icc 9882

This theorem is referenced by:  dedekindicclemlub  13774