ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dedekindicclemloc Unicode version

Theorem dedekindicclemloc 13400
Description: Lemma for dedekindicc 13405. The set L is located. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dedekindicc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
dedekindicc.lss  |-  ( ph  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
dedekindicc.um  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
dedekindicc.lr  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
dedekindicc.ur  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
dedekindicc.disj  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
dedekindicc.loc  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) A. r  e.  ( A [,] B ) ( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) ) )
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemloc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  ->  ( E. z  e.  L  x  <  z  \/  A. z  e.  L  z  <  y ) ) )
Distinct variable groups:    A, q, r, y, z    B, q, r, y, z    L, q, r, z    U, q, r, z    ph, q, x, y, z    x, r
Allowed substitution hints:    ph( r)    A( x)    B( x)    U( x, y)    L( x, y)

Proof of Theorem dedekindicclemloc
StepHypRef Expression
1 breq2 3993 . . . . 5  |-  ( r  =  y  ->  (
x  <  r  <->  x  <  y ) )
2 eleq1w 2231 . . . . . 6  |-  ( r  =  y  ->  (
r  e.  U  <->  y  e.  U ) )
32orbi2d 785 . . . . 5  |-  ( r  =  y  ->  (
( x  e.  L  \/  r  e.  U
)  <->  ( x  e.  L  \/  y  e.  U ) ) )
41, 3imbi12d 233 . . . 4  |-  ( r  =  y  ->  (
( x  <  r  ->  ( x  e.  L  \/  r  e.  U
) )  <->  ( x  <  y  ->  ( x  e.  L  \/  y  e.  U ) ) ) )
5 breq1 3992 . . . . . . 7  |-  ( q  =  x  ->  (
q  <  r  <->  x  <  r ) )
6 eleq1w 2231 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  x  ->  (
q  e.  L  <->  x  e.  L ) )
76orbi1d 786 . . . . . . 7  |-  ( q  =  x  ->  (
( q  e.  L  \/  r  e.  U
)  <->  ( x  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
85, 7imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( q  =  x  ->  (
( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) )  <->  ( x  <  r  ->  ( x  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )
98ralbidv 2470 . . . . 5  |-  ( q  =  x  ->  ( A. r  e.  ( A [,] B ) ( q  <  r  -> 
( q  e.  L  \/  r  e.  U
) )  <->  A. r  e.  ( A [,] B
) ( x  < 
r  ->  ( x  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )
10 dedekindicc.loc . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) A. r  e.  ( A [,] B ) ( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) ) )
1110adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  A. q  e.  ( A [,] B
) A. r  e.  ( A [,] B
) ( q  < 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
12 simprl 526 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
139, 11, 12rspcdva 2839 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  A. r  e.  ( A [,] B
) ( x  < 
r  ->  ( x  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
14 simprr 527 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
154, 13, 14rspcdva 2839 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  e.  L  \/  y  e.  U )
) )
16 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  e.  L
)  ->  x  e.  L )
175rexbidv 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  x  ->  ( E. r  e.  L  q  <  r  <->  E. r  e.  L  x  <  r ) )
186, 17bibi12d 234 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  x  ->  (
( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r )  <->  ( x  e.  L  <->  E. r  e.  L  x  <  r ) ) )
19 dedekindicc.lr . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
2019ad2antrr 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  e.  L
)  ->  A. q  e.  ( A [,] B
) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
2112adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  e.  L
)  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
2218, 20, 21rspcdva 2839 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  e.  L
)  ->  ( x  e.  L  <->  E. r  e.  L  x  <  r ) )
2316, 22mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  e.  L
)  ->  E. r  e.  L  x  <  r )
24 breq2 3993 . . . . . . 7  |-  ( r  =  z  ->  (
x  <  r  <->  x  <  z ) )
2524cbvrexv 2697 . . . . . 6  |-  ( E. r  e.  L  x  <  r  <->  E. z  e.  L  x  <  z )
2623, 25sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  x  e.  L
)  ->  E. z  e.  L  x  <  z )
2726ex 114 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  e.  L  ->  E. z  e.  L  x  <  z ) )
28 dedekindicc.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2928ad2antrr 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  U
)  ->  A  e.  RR )
30 dedekindicc.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3130ad2antrr 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  U
)  ->  B  e.  RR )
32 dedekindicc.lss . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
3332ad2antrr 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  U
)  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
34 dedekindicc.uss . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
3534ad2antrr 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  U
)  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
36 dedekindicc.lm . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
3736ad2antrr 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  U
)  ->  E. q  e.  ( A [,] B
) q  e.  L
)
38 dedekindicc.um . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
3938ad2antrr 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  U
)  ->  E. r  e.  ( A [,] B
) r  e.  U
)
4019ad2antrr 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  U
)  ->  A. q  e.  ( A [,] B
) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
41 dedekindicc.ur . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
4241ad2antrr 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  U
)  ->  A. r  e.  ( A [,] B
) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
43 dedekindicc.disj . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
4443ad2antrr 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  U
)  ->  ( L  i^i  U )  =  (/) )
4510ad2antrr 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  U
)  ->  A. q  e.  ( A [,] B
) A. r  e.  ( A [,] B
) ( q  < 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
46 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  U
)  ->  y  e.  U )
4729, 31, 33, 35, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 46dedekindicclemuub 13398 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  U
)  ->  A. z  e.  L  z  <  y )
4847ex 114 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
y  e.  U  ->  A. z  e.  L  z  <  y ) )
4927, 48orim12d 781 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( x  e.  L  \/  y  e.  U
)  ->  ( E. z  e.  L  x  <  z  \/  A. z  e.  L  z  <  y ) ) )
5015, 49syld 45 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
x  <  y  ->  ( E. z  e.  L  x  <  z  \/  A. z  e.  L  z  <  y ) ) )
5150ralrimivva 2552 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  ->  ( E. z  e.  L  x  <  z  \/  A. z  e.  L  z  <  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449    i^i cin 3120    C_ wss 3121   (/)c0 3414   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773    < clt 7954   [,]cicc 9848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-icc 9852
This theorem is referenced by:  dedekindicclemlub  13401
  Copyright terms: Public domain W3C validator