Theorem dedekindicclemloc 15215

Description: Lemma for dedekindicc 15220. The set L is located. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	|- ( ph -> A e. RR )
dedekindicc.b	|- ( ph -> B e. RR )
dedekindicc.lss	|- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss	|- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm	|- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
dedekindicc.um	|- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
dedekindicc.lr	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindicc.ur	|- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindicc.disj	|- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindicc.loc	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemloc	|- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )

Distinct variable groups:   A, q, r, y, z   B, q, r, y, z   L, q, r, z   U, q, r, z   ph, q, x, y, z   x, r

Allowed substitution hints:   ph( r)   A( x)   B( x)   U( x, y)   L( x, y)

Proof of Theorem dedekindicclemloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4063	. . . . 5 |- ( r = y -> ( x < r <-> x < y ) )
2		eleq1w 2268	. . . . . 6 |- ( r = y -> ( r e. U <-> y e. U ) )
3	2	orbi2d 792	. . . . 5 |- ( r = y -> ( ( x e. L \/ r e. U ) <-> ( x e. L \/ y e. U ) ) )
4	1, 3	imbi12d 234	. . . 4 |- ( r = y -> ( ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) <-> ( x < y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) )
5		breq1 4062	. . . . . . 7 |- ( q = x -> ( q < r <-> x < r ) )
6		eleq1w 2268	. . . . . . . 8 |- ( q = x -> ( q e. L <-> x e. L ) )
7	6	orbi1d 793	. . . . . . 7 |- ( q = x -> ( ( q e. L \/ r e. U ) <-> ( x e. L \/ r e. U ) ) )
8	5, 7	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( q = x -> ( ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) ) )
9	8	ralbidv 2508	. . . . 5 |- ( q = x -> ( A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> A. r e. ( A [,] B ) ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) ) )
10		dedekindicc.loc	. . . . . 6 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
11	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
12		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
13	9, 11, 12	rspcdva 2889	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> A. r e. ( A [,] B ) ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) )
14		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
15	4, 13, 14	rspcdva 2889	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x < y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) )
16		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> x e. L )
17	5	rexbidv 2509	. . . . . . . . 9 |- ( q = x -> ( E. r e. L q < r <-> E. r e. L x < r ) )
18	6, 17	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( q = x -> ( ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) <-> ( x e. L <-> E. r e. L x < r ) ) )
19		dedekindicc.lr	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
21	12	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> x e. ( A [,] B ) )
22	18, 20, 21	rspcdva 2889	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> ( x e. L <-> E. r e. L x < r ) )
23	16, 22	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> E. r e. L x < r )
24		breq2 4063	. . . . . . 7 |- ( r = z -> ( x < r <-> x < z ) )
25	24	cbvrexv 2743	. . . . . 6 |- ( E. r e. L x < r <-> E. z e. L x < z )
26	23, 25	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> E. z e. L x < z )
27	26	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x e. L -> E. z e. L x < z ) )
28		dedekindicc.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> A e. RR )
30		dedekindicc.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
31	30	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> B e. RR )
32		dedekindicc.lss	. . . . . . 7 |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
33	32	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> L C_ ( A [,] B ) )
34		dedekindicc.uss	. . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> U C_ ( A [,] B ) )
36		dedekindicc.lm	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
37	36	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
38		dedekindicc.um	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
39	38	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
40	19	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
41		dedekindicc.ur	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
42	41	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
43		dedekindicc.disj	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
44	43	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> ( L i^i U ) = (/) )
45	10	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
46		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> y e. U )
47	29, 31, 33, 35, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 46	dedekindicclemuub 15213	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> A. z e. L z < y )
48	47	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( y e. U -> A. z e. L z < y ) )
49	27, 48	orim12d 788	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( x e. L \/ y e. U ) -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
50	15, 49	syld 45	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
51	50	ralrimivva 2590	1 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   i^i cin 3173   C_ wss 3174   (/)c0 3468   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   RRcr 7959   < clt 8142   [,]cicc 10048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-icc 10052

This theorem is referenced by:  dedekindicclemlub  15216