Theorem dedekindicclemloc 13048

Description: Lemma for dedekindicc 13053. The set L is located. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	|- ( ph -> A e. RR )
dedekindicc.b	|- ( ph -> B e. RR )
dedekindicc.lss	|- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss	|- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm	|- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
dedekindicc.um	|- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
dedekindicc.lr	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindicc.ur	|- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindicc.disj	|- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindicc.loc	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemloc	|- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )

Distinct variable groups:   A, q, r, y, z   B, q, r, y, z   L, q, r, z   U, q, r, z   ph, q, x, y, z   x, r

Allowed substitution hints:   ph( r)   A( x)   B( x)   U( x, y)   L( x, y)

Proof of Theorem dedekindicclemloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3970	. . . . 5 |- ( r = y -> ( x < r <-> x < y ) )
2		eleq1w 2218	. . . . . 6 |- ( r = y -> ( r e. U <-> y e. U ) )
3	2	orbi2d 780	. . . . 5 |- ( r = y -> ( ( x e. L \/ r e. U ) <-> ( x e. L \/ y e. U ) ) )
4	1, 3	imbi12d 233	. . . 4 |- ( r = y -> ( ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) <-> ( x < y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) )
5		breq1 3969	. . . . . . 7 |- ( q = x -> ( q < r <-> x < r ) )
6		eleq1w 2218	. . . . . . . 8 |- ( q = x -> ( q e. L <-> x e. L ) )
7	6	orbi1d 781	. . . . . . 7 |- ( q = x -> ( ( q e. L \/ r e. U ) <-> ( x e. L \/ r e. U ) ) )
8	5, 7	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( q = x -> ( ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) ) )
9	8	ralbidv 2457	. . . . 5 |- ( q = x -> ( A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> A. r e. ( A [,] B ) ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) ) )
10		dedekindicc.loc	. . . . . 6 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
11	10	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
12		simprl 521	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
13	9, 11, 12	rspcdva 2821	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> A. r e. ( A [,] B ) ( x < r -> ( x e. L \/ r e. U ) ) )
14		simprr 522	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
15	4, 13, 14	rspcdva 2821	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x < y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) )
16		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> x e. L )
17	5	rexbidv 2458	. . . . . . . . 9 |- ( q = x -> ( E. r e. L q < r <-> E. r e. L x < r ) )
18	6, 17	bibi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( q = x -> ( ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) <-> ( x e. L <-> E. r e. L x < r ) ) )
19		dedekindicc.lr	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
20	19	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
21	12	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> x e. ( A [,] B ) )
22	18, 20, 21	rspcdva 2821	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> ( x e. L <-> E. r e. L x < r ) )
23	16, 22	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> E. r e. L x < r )
24		breq2 3970	. . . . . . 7 |- ( r = z -> ( x < r <-> x < z ) )
25	24	cbvrexv 2681	. . . . . 6 |- ( E. r e. L x < r <-> E. z e. L x < z )
26	23, 25	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ x e. L ) -> E. z e. L x < z )
27	26	ex 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x e. L -> E. z e. L x < z ) )
28		dedekindicc.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
29	28	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> A e. RR )
30		dedekindicc.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
31	30	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> B e. RR )
32		dedekindicc.lss	. . . . . . 7 |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
33	32	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> L C_ ( A [,] B ) )
34		dedekindicc.uss	. . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
35	34	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> U C_ ( A [,] B ) )
36		dedekindicc.lm	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
37	36	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
38		dedekindicc.um	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
39	38	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
40	19	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
41		dedekindicc.ur	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
42	41	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
43		dedekindicc.disj	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
44	43	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> ( L i^i U ) = (/) )
45	10	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
46		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> y e. U )
47	29, 31, 33, 35, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 46	dedekindicclemuub 13046	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) /\ y e. U ) -> A. z e. L z < y )
48	47	ex 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( y e. U -> A. z e. L z < y ) )
49	27, 48	orim12d 776	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( ( x e. L \/ y e. U ) -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
50	15, 49	syld 45	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( A [,] B ) /\ y e. ( A [,] B ) ) ) -> ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
51	50	ralrimivva 2539	1 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   i^i cin 3101   C_ wss 3102   (/)c0 3394   class class class wbr 3966  (class class class)co 5825   RRcr 7732   < clt 7913   [,]cicc 9796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-icc 9800

This theorem is referenced by:  dedekindicclemlub  13049