Theorem dedekindicclemloc 12775

Description: Lemma for dedekindicc 12780. The set L is located. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemloc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑦,𝑧   𝐵,𝑞,𝑟,𝑦,𝑧   𝐿,𝑞,𝑟,𝑧   𝑈,𝑞,𝑟,𝑧   𝜑,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dedekindicclemloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3933	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑟 ↔ 𝑥 < 𝑦))
2		eleq1w 2200	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ 𝑈))
3	2	orbi2d 779	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
4	1, 3	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → ((𝑥 < 𝑟 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
5		breq1 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝑥 < 𝑟))
6		eleq1w 2200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥 ∈ 𝐿))
7	6	orbi1d 780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
8	5, 7	imbi12d 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ((𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝑥 < 𝑟 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
9	8	ralbidv 2437	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑟 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
10		dedekindicc.loc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
11	10	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
12		simprl 520	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
13	9, 11, 12	rspcdva 2794	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑟 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
14		simprr 521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
15	4, 13, 14	rspcdva 2794	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
16		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑥 ∈ 𝐿)
17	5	rexbidv 2438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → (∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑟))
18	6, 17	bibi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑟)))
19		dedekindicc.lr	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
20	19	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
21	12	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
22	18, 20, 21	rspcdva 2794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑟))
23	16, 22	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑟)
24		breq2 3933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑟 ↔ 𝑥 < 𝑧))
25	24	cbvrexv 2655	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑟 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧)
26	23, 25	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧)
27	26	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ 𝐿 → ∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧))
28		dedekindicc.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
29	28	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ ℝ)
30		dedekindicc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
31	30	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ ℝ)
32		dedekindicc.lss	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
33	32	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
34		dedekindicc.uss	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
35	34	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
36		dedekindicc.lm	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
37	36	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
38		dedekindicc.um	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
39	38	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
40	19	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
41		dedekindicc.ur	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
42	41	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
43		dedekindicc.disj	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
44	43	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
45	10	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
46		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
47	29, 31, 33, 35, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 46	dedekindicclemuub 12773	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)
48	47	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 ∈ 𝑈 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦))
49	27, 48	orim12d 775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈) → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)))
50	15, 49	syld 45	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)))
51	50	ralrimivva 2514	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7619   < clt 7800  [,]cicc 9674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-icc 9678

This theorem is referenced by:  dedekindicclemlub  12776