ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dedekindicclemloc GIF version

Theorem dedekindicclemloc 14109
Description: Lemma for dedekindicc 14114. The set L is located. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss (𝜑𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss (𝜑𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
dedekindicc.um (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑈)
dedekindicc.lr (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemloc (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑦,𝑧   𝐵,𝑞,𝑟,𝑦,𝑧   𝐿,𝑞,𝑟,𝑧   𝑈,𝑞,𝑟,𝑧   𝜑,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dedekindicclemloc
StepHypRef Expression
1 breq2 4008 . . . . 5 (𝑟 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑟𝑥 < 𝑦))
2 eleq1w 2238 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑦 → (𝑟𝑈𝑦𝑈))
32orbi2d 790 . . . . 5 (𝑟 = 𝑦 → ((𝑥𝐿𝑟𝑈) ↔ (𝑥𝐿𝑦𝑈)))
41, 3imbi12d 234 . . . 4 (𝑟 = 𝑦 → ((𝑥 < 𝑟 → (𝑥𝐿𝑟𝑈)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑥𝐿𝑦𝑈))))
5 breq1 4007 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑥 → (𝑞 < 𝑟𝑥 < 𝑟))
6 eleq1w 2238 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑥 → (𝑞𝐿𝑥𝐿))
76orbi1d 791 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑥 → ((𝑞𝐿𝑟𝑈) ↔ (𝑥𝐿𝑟𝑈)))
85, 7imbi12d 234 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑥 → ((𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) ↔ (𝑥 < 𝑟 → (𝑥𝐿𝑟𝑈))))
98ralbidv 2477 . . . . 5 (𝑞 = 𝑥 → (∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑟 → (𝑥𝐿𝑟𝑈))))
10 dedekindicc.loc . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
1110adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
12 simprl 529 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
139, 11, 12rspcdva 2847 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑟 → (𝑥𝐿𝑟𝑈)))
14 simprr 531 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
154, 13, 14rspcdva 2847 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥𝐿𝑦𝑈)))
16 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥𝐿) → 𝑥𝐿)
175rexbidv 2478 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑥 → (∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑥 < 𝑟))
186, 17bibi12d 235 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑥 → ((𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝑥𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑥 < 𝑟)))
19 dedekindicc.lr . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
2019ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥𝐿) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
2112adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥𝐿) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2218, 20, 21rspcdva 2847 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥𝐿) → (𝑥𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑥 < 𝑟))
2316, 22mpbid 147 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥𝐿) → ∃𝑟𝐿 𝑥 < 𝑟)
24 breq2 4008 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑟𝑥 < 𝑧))
2524cbvrexv 2705 . . . . . 6 (∃𝑟𝐿 𝑥 < 𝑟 ↔ ∃𝑧𝐿 𝑥 < 𝑧)
2623, 25sylib 122 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥𝐿) → ∃𝑧𝐿 𝑥 < 𝑧)
2726ex 115 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥𝐿 → ∃𝑧𝐿 𝑥 < 𝑧))
28 dedekindicc.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2928ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦𝑈) → 𝐴 ∈ ℝ)
30 dedekindicc.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3130ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦𝑈) → 𝐵 ∈ ℝ)
32 dedekindicc.lss . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3332ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦𝑈) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
34 dedekindicc.uss . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3534ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
36 dedekindicc.lm . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
3736ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦𝑈) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
38 dedekindicc.um . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑈)
3938ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦𝑈) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑈)
4019ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦𝑈) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
41 dedekindicc.ur . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
4241ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦𝑈) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
43 dedekindicc.disj . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
4443ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦𝑈) → (𝐿𝑈) = ∅)
4510ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦𝑈) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
46 simpr 110 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦𝑈)
4729, 31, 33, 35, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 46dedekindicclemuub 14107 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑦𝑈) → ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝑦)
4847ex 115 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦𝑈 → ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝑦))
4927, 48orim12d 786 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑥𝐿𝑦𝑈) → (∃𝑧𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝑦)))
5015, 49syld 45 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝑦)))
5150ralrimivva 2559 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧𝐿 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐿 𝑧 < 𝑦)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  cin 3129  wss 3130  c0 3423   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  cr 7810   < clt 7992  [,]cicc 9891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-icc 9895
This theorem is referenced by:  dedekindicclemlub  14110
  Copyright terms: Public domain W3C validator