Theorem dedekindicclemlub 15620

Description: Lemma for dedekindicc 15624. The set L has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	|- ( ph -> A e. RR )
dedekindicc.b	|- ( ph -> B e. RR )
dedekindicc.lss	|- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss	|- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm	|- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
dedekindicc.um	|- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
dedekindicc.lr	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
dedekindicc.ur	|- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
dedekindicc.disj	|- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
dedekindicc.loc	|- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
dedekindicc.ab	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemlub	|- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )

Distinct variable groups:   A, q, r, x, y, z   B, q, r, x, y, z   L, q, r, x, y, z   U, q, r, y, z   ph, q, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( r)   U( x)

Proof of Theorem dedekindicclemlub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicc.a	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		dedekindicc.b	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		dedekindicc.ab	. 2 |- ( ph -> A < B )
4		dedekindicc.lss	. 2 |- ( ph -> L C_ ( A [,] B ) )
5		dedekindicc.lm	. . 3 |- ( ph -> E. q e. ( A [,] B ) q e. L )
6		eleq1w 2295	. . . . 5 |- ( q = x -> ( q e. L <-> x e. L ) )
7	6	cbvrexv 2781	. . . 4 |- ( E. q e. ( A [,] B ) q e. L <-> E. x e. ( A [,] B ) x e. L )
8		rexex 2590	. . . 4 |- ( E. x e. ( A [,] B ) x e. L -> E. x x e. L )
9	7, 8	sylbi 121	. . 3 |- ( E. q e. ( A [,] B ) q e. L -> E. x x e. L )
10	5, 9	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. x x e. L )
11		dedekindicc.uss	. . 3 |- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) )
12		dedekindicc.um	. . 3 |- ( ph -> E. r e. ( A [,] B ) r e. U )
13		dedekindicc.lr	. . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) ( q e. L <-> E. r e. L q < r ) )
14		dedekindicc.ur	. . 3 |- ( ph -> A. r e. ( A [,] B ) ( r e. U <-> E. q e. U q < r ) )
15		dedekindicc.disj	. . 3 |- ( ph -> ( L i^i U ) = (/) )
16		dedekindicc.loc	. . 3 |- ( ph -> A. q e. ( A [,] B ) A. r e. ( A [,] B ) ( q < r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
17	1, 2, 4, 11, 5, 12, 13, 14, 15, 16	dedekindicclemloc 15619	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( x < y -> ( E. z e. L x < z \/ A. z e. L z < y ) ) )
18	1, 2, 3, 4, 10, 17	suplociccex 15616	1 |- ( ph -> E. x e. ( A [,] B ) ( A. y e. L -. x < y /\ A. y e. ( A [,] B ) ( y < x -> E. z e. L y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   i^i cin 3213   C_ wss 3214   (/)c0 3512   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   RRcr 8142   < clt 8324   [,]cicc 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-pre-suploc 8264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-icc 10247  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709

This theorem is referenced by:  dedekindicclemlu  15621