ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dedekindicclemlub Unicode version

Theorem dedekindicclemlub 12765
Description: Lemma for dedekindicc 12769. The set L has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
dedekindicc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
dedekindicc.lss  |-  ( ph  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
dedekindicc.uss  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
dedekindicc.lm  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
dedekindicc.um  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
dedekindicc.lr  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
dedekindicc.ur  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
dedekindicc.disj  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
dedekindicc.loc  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) A. r  e.  ( A [,] B ) ( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) ) )
dedekindicc.ab  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemlub  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A [,] B ) ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )
Distinct variable groups:    A, q, r, x, y, z    B, q, r, x, y, z    L, q, r, x, y, z    U, q, r, y, z    ph, q, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( r)    U( x)

Proof of Theorem dedekindicclemlub
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 dedekindicc.b . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 dedekindicc.ab . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
4 dedekindicc.lss . 2  |-  ( ph  ->  L  C_  ( A [,] B ) )
5 dedekindicc.lm . . 3  |-  ( ph  ->  E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L )
6 eleq1w 2198 . . . . 5  |-  ( q  =  x  ->  (
q  e.  L  <->  x  e.  L ) )
76cbvrexv 2653 . . . 4  |-  ( E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L  <->  E. x  e.  ( A [,] B
) x  e.  L
)
8 rexex 2477 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ( A [,] B ) x  e.  L  ->  E. x  x  e.  L )
97, 8sylbi 120 . . 3  |-  ( E. q  e.  ( A [,] B ) q  e.  L  ->  E. x  x  e.  L )
105, 9syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  L )
11 dedekindicc.uss . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ( A [,] B ) )
12 dedekindicc.um . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  ( A [,] B ) r  e.  U )
13 dedekindicc.lr . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) ( q  e.  L  <->  E. r  e.  L  q  <  r ) )
14 dedekindicc.ur . . 3  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( A [,] B ) ( r  e.  U  <->  E. q  e.  U  q  <  r ) )
15 dedekindicc.disj . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  i^i  U
)  =  (/) )
16 dedekindicc.loc . . 3  |-  ( ph  ->  A. q  e.  ( A [,] B ) A. r  e.  ( A [,] B ) ( q  <  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) ) )
171, 2, 4, 11, 5, 12, 13, 14, 15, 16dedekindicclemloc 12764 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( x  <  y  ->  ( E. z  e.  L  x  <  z  \/  A. z  e.  L  z  <  y ) ) )
181, 2, 3, 4, 10, 17suplociccex 12761 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A [,] B ) ( A. y  e.  L  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( y  < 
x  ->  E. z  e.  L  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415    i^i cin 3065    C_ wss 3066   (/)c0 3358   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612    < clt 7793   [,]cicc 9667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733  ax-pre-suploc 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-sup 6864  df-inf 6865  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-icc 9671  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764
This theorem is referenced by:  dedekindicclemlu  12766
  Copyright terms: Public domain W3C validator