ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulassprg Unicode version

Theorem mulassprg 7530
Description: Multiplication of positive reals is associative. Proposition 9-3.7(i) of [Gleason] p. 124. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulassprg  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( A  .P.  B
)  .P.  C )  =  ( A  .P.  ( B  .P.  C ) ) )

Proof of Theorem mulassprg
Dummy variables  f  g  h  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-imp 7418 . 2  |-  .P.  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  <. { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e.  Q.  (
y  e.  ( 1st `  w )  /\  z  e.  ( 1st `  v
)  /\  x  =  ( y  .Q  z
) ) } ,  { x  e.  Q.  |  E. y  e.  Q.  E. z  e.  Q.  (
y  e.  ( 2nd `  w )  /\  z  e.  ( 2nd `  v
)  /\  x  =  ( y  .Q  z
) ) } >. )
2 mulclnq 7325 . 2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  z
)  e.  Q. )
3 dmmp 7490 . 2  |-  dom  .P.  =  ( P.  X.  P. )
4 mulclpr 7521 . 2  |-  ( ( f  e.  P.  /\  g  e.  P. )  ->  ( f  .P.  g
)  e.  P. )
5 mulassnqg 7333 . 2  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
( f  .Q  g
)  .Q  h )  =  ( f  .Q  ( g  .Q  h
) ) )
61, 2, 3, 4, 5genpassg 7475 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  (
( A  .P.  B
)  .P.  C )  =  ( A  .P.  ( B  .P.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141  (class class class)co 5850    .Q cmq 7232   P.cnp 7240    .P. cmp 7243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-eprel 4272  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-1o 6392  df-2o 6393  df-oadd 6396  df-omul 6397  df-er 6509  df-ec 6511  df-qs 6515  df-ni 7253  df-pli 7254  df-mi 7255  df-lti 7256  df-plpq 7293  df-mpq 7294  df-enq 7296  df-nqqs 7297  df-plqqs 7298  df-mqqs 7299  df-1nqqs 7300  df-rq 7301  df-ltnqqs 7302  df-enq0 7373  df-nq0 7374  df-0nq0 7375  df-plq0 7376  df-mq0 7377  df-inp 7415  df-imp 7418
This theorem is referenced by:  ltmprr  7591  mulasssrg  7707
  Copyright terms: Public domain W3C validator