ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprm Unicode version

Theorem nqprm 7362
Description: A cut produced from a rational is inhabited. Lemma for nqprlu 7367. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprm  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  q  e.  { x  |  x  <Q  A }  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  { x  |  A  <Q  x }
) )
Distinct variable group:    x, A, r, q

Proof of Theorem nqprm
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnqq 7232 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. q  e.  Q.  q  <Q  A )
2 vex 2689 . . . . 5  |-  q  e. 
_V
3 breq1 3932 . . . . 5  |-  ( x  =  q  ->  (
x  <Q  A  <->  q  <Q  A ) )
42, 3elab 2828 . . . 4  |-  ( q  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  q 
<Q  A )
54rexbii 2442 . . 3  |-  ( E. q  e.  Q.  q  e.  { x  |  x 
<Q  A }  <->  E. q  e.  Q.  q  <Q  A )
61, 5sylibr 133 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. q  e.  Q.  q  e.  {
x  |  x  <Q  A } )
7 archnqq 7237 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. n  e.  N.  A  <Q  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )
8 df-rex 2422 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  N.  A  <Q  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  <->  E. n
( n  e.  N.  /\  A  <Q  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )
)
97, 8sylib 121 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. n
( n  e.  N.  /\  A  <Q  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )
)
10 1pi 7135 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  N.
11 opelxpi 4571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. n ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
12 enqex 7180 . . . . . . . . . 10  |-  ~Q  e.  _V
1312ecelqsi 6483 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
n ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
1411, 13syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
1510, 14mpan2 421 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  N.  ->  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
16 df-nqqs 7168 . . . . . . 7  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
1715, 16eleqtrrdi 2233 . . . . . 6  |-  ( n  e.  N.  ->  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
18 breq2 3933 . . . . . . 7  |-  ( r  =  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ->  ( A  <Q  r  <->  A  <Q  [
<. n ,  1o >. ]  ~Q  ) )
1918rspcev 2789 . . . . . 6  |-  ( ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  A  <Q  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  ->  E. r  e.  Q.  A  <Q  r )
2017, 19sylan 281 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  N.  /\  A  <Q  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  ->  E. r  e.  Q.  A  <Q  r )
2120exlimiv 1577 . . . 4  |-  ( E. n ( n  e. 
N.  /\  A  <Q  [
<. n ,  1o >. ]  ~Q  )  ->  E. r  e.  Q.  A  <Q  r
)
229, 21syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. r  e.  Q.  A  <Q  r
)
23 vex 2689 . . . . 5  |-  r  e. 
_V
24 breq2 3933 . . . . 5  |-  ( x  =  r  ->  ( A  <Q  x  <->  A  <Q  r ) )
2523, 24elab 2828 . . . 4  |-  ( r  e.  { x  |  A  <Q  x }  <->  A 
<Q  r )
2625rexbii 2442 . . 3  |-  ( E. r  e.  Q.  r  e.  { x  |  A  <Q  x }  <->  E. r  e.  Q.  A  <Q  r
)
2722, 26sylibr 133 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  {
x  |  A  <Q  x } )
286, 27jca 304 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  q  e.  { x  |  x  <Q  A }  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  { x  |  A  <Q  x }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   E.wex 1468    e. wcel 1480   {cab 2125   E.wrex 2417   <.cop 3530   class class class wbr 3929    X. cxp 4537   1oc1o 6306   [cec 6427   /.cqs 6428   N.cnpi 7092    ~Q ceq 7099   Q.cnq 7100    <Q cltq 7105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-plpq 7164  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-mqqs 7170  df-1nqqs 7171  df-rq 7172  df-ltnqqs 7173
This theorem is referenced by:  nqprxx  7366
  Copyright terms: Public domain W3C validator