Theorem nqprm 7604

Description: A cut produced from a rational is inhabited. Lemma for nqprlu 7609. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprm	|- ( A e. Q. -> ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) )

Distinct variable group:   x, A, r, q

Proof of Theorem nqprm

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsmallnqq 7474	. . 3 |- ( A e. Q. -> E. q e. Q. q <Q A )
2		vex 2763	. . . . 5 |- q e. _V
3		breq1 4033	. . . . 5 |- ( x = q -> ( x <Q A <-> q <Q A ) )
4	2, 3	elab 2905	. . . 4 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> q <Q A )
5	4	rexbii 2501	. . 3 |- ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } <-> E. q e. Q. q <Q A )
6	1, 5	sylibr 134	. 2 |- ( A e. Q. -> E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } )
7		archnqq 7479	. . . . 5 |- ( A e. Q. -> E. n e. N. A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q )
8		df-rex 2478	. . . . 5 |- ( E. n e. N. A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q <-> E. n ( n e. N. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) )
9	7, 8	sylib 122	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. n ( n e. N. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) )
10		1pi 7377	. . . . . . . 8 |- 1o e. N.
11		opelxpi 4692	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. n , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
12		enqex 7422	. . . . . . . . . 10 |- ~Q e. _V
13	12	ecelqsi 6645	. . . . . . . . 9 |- ( <. n , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. n , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
14	11, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. N. /\ 1o e. N. ) -> [ <. n , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
15	10, 14	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( n e. N. -> [ <. n , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
16		df-nqqs 7410	. . . . . . 7 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
17	15, 16	eleqtrrdi 2287	. . . . . 6 |- ( n e. N. -> [ <. n , 1o >. ] ~Q e. Q. )
18		breq2 4034	. . . . . . 7 |- ( r = [ <. n , 1o >. ] ~Q -> ( A <Q r <-> A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) )
19	18	rspcev 2865	. . . . . 6 |- ( ( [ <. n , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) -> E. r e. Q. A <Q r )
20	17, 19	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( n e. N. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) -> E. r e. Q. A <Q r )
21	20	exlimiv 1609	. . . 4 |- ( E. n ( n e. N. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) -> E. r e. Q. A <Q r )
22	9, 21	syl 14	. . 3 |- ( A e. Q. -> E. r e. Q. A <Q r )
23		vex 2763	. . . . 5 |- r e. _V
24		breq2 4034	. . . . 5 |- ( x = r -> ( A <Q x <-> A <Q r ) )
25	23, 24	elab 2905	. . . 4 |- ( r e. { x | A <Q x } <-> A <Q r )
26	25	rexbii 2501	. . 3 |- ( E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } <-> E. r e. Q. A <Q r )
27	22, 26	sylibr 134	. 2 |- ( A e. Q. -> E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } )
28	6, 27	jca 306	1 |- ( A e. Q. -> ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1503   e. wcel 2164   {cab 2179   E.wrex 2473   <.cop 3622   class class class wbr 4030   X. cxp 4658   1oc1o 6464   [cec 6587   /.cqs 6588   N.cnpi 7334   ~Q ceq 7341   Q.cnq 7342   <Q cltq 7347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-pli 7367  df-mi 7368  df-lti 7369  df-plpq 7406  df-mpq 7407  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-plqqs 7411  df-mqqs 7412  df-1nqqs 7413  df-rq 7414  df-ltnqqs 7415

This theorem is referenced by:  nqprxx  7608