Theorem nqprm 7915

Description: A cut produced from a rational is inhabited. Lemma for nqprlu 7920. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprm	|- ( A e. Q. -> ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) )

Distinct variable group:   x, A, r, q

Proof of Theorem nqprm

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsmallnqq 7785	. . 3 |- ( A e. Q. -> E. q e. Q. q <Q A )
2		vex 2824	. . . . 5 |- q e. _V
3		breq1 4134	. . . . 5 |- ( x = q -> ( x <Q A <-> q <Q A ) )
4	2, 3	elab 2970	. . . 4 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> q <Q A )
5	4	rexbii 2557	. . 3 |- ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } <-> E. q e. Q. q <Q A )
6	1, 5	sylibr 134	. 2 |- ( A e. Q. -> E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } )
7		archnqq 7790	. . . . 5 |- ( A e. Q. -> E. n e. N. A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q )
8		df-rex 2534	. . . . 5 |- ( E. n e. N. A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q <-> E. n ( n e. N. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) )
9	7, 8	sylib 122	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. n ( n e. N. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) )
10		1pi 7688	. . . . . . . 8 |- 1o e. N.
11		opelxpi 4808	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. n , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
12		enqex 7733	. . . . . . . . . 10 |- ~Q e. _V
13	12	ecelqsi 6867	. . . . . . . . 9 |- ( <. n , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. n , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
14	11, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. N. /\ 1o e. N. ) -> [ <. n , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
15	10, 14	mpan2 429	. . . . . . 7 |- ( n e. N. -> [ <. n , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
16		df-nqqs 7721	. . . . . . 7 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
17	15, 16	eleqtrrdi 2332	. . . . . 6 |- ( n e. N. -> [ <. n , 1o >. ] ~Q e. Q. )
18		breq2 4135	. . . . . . 7 |- ( r = [ <. n , 1o >. ] ~Q -> ( A <Q r <-> A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) )
19	18	rspcev 2929	. . . . . 6 |- ( ( [ <. n , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) -> E. r e. Q. A <Q r )
20	17, 19	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( n e. N. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) -> E. r e. Q. A <Q r )
21	20	exlimiv 1651	. . . 4 |- ( E. n ( n e. N. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) -> E. r e. Q. A <Q r )
22	9, 21	syl 14	. . 3 |- ( A e. Q. -> E. r e. Q. A <Q r )
23		vex 2824	. . . . 5 |- r e. _V
24		breq2 4135	. . . . 5 |- ( x = r -> ( A <Q x <-> A <Q r ) )
25	23, 24	elab 2970	. . . 4 |- ( r e. { x | A <Q x } <-> A <Q r )
26	25	rexbii 2557	. . 3 |- ( E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } <-> E. r e. Q. A <Q r )
27	22, 26	sylibr 134	. 2 |- ( A e. Q. -> E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } )
28	6, 27	jca 306	1 |- ( A e. Q. -> ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   E.wrex 2529   <.cop 3712   class class class wbr 4131   X. cxp 4774   1oc1o 6684   [cec 6809   /.cqs 6810   N.cnpi 7645   ~Q ceq 7652   Q.cnq 7653   <Q cltq 7658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-pli 7678  df-mi 7679  df-lti 7680  df-plpq 7717  df-mpq 7718  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-plqqs 7722  df-mqqs 7723  df-1nqqs 7724  df-rq 7725  df-ltnqqs 7726

This theorem is used by:  nqprxx  7919