Theorem nqprm 7483

Description: A cut produced from a rational is inhabited. Lemma for nqprlu 7488. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprm	|- ( A e. Q. -> ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) )

Distinct variable group:   x, A, r, q

Proof of Theorem nqprm

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsmallnqq 7353	. . 3 |- ( A e. Q. -> E. q e. Q. q <Q A )
2		vex 2729	. . . . 5 |- q e. _V
3		breq1 3985	. . . . 5 |- ( x = q -> ( x <Q A <-> q <Q A ) )
4	2, 3	elab 2870	. . . 4 |- ( q e. { x | x <Q A } <-> q <Q A )
5	4	rexbii 2473	. . 3 |- ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } <-> E. q e. Q. q <Q A )
6	1, 5	sylibr 133	. 2 |- ( A e. Q. -> E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } )
7		archnqq 7358	. . . . 5 |- ( A e. Q. -> E. n e. N. A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q )
8		df-rex 2450	. . . . 5 |- ( E. n e. N. A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q <-> E. n ( n e. N. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) )
9	7, 8	sylib 121	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. n ( n e. N. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) )
10		1pi 7256	. . . . . . . 8 |- 1o e. N.
11		opelxpi 4636	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. n , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
12		enqex 7301	. . . . . . . . . 10 |- ~Q e. _V
13	12	ecelqsi 6555	. . . . . . . . 9 |- ( <. n , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. n , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
14	11, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. N. /\ 1o e. N. ) -> [ <. n , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
15	10, 14	mpan2 422	. . . . . . 7 |- ( n e. N. -> [ <. n , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
16		df-nqqs 7289	. . . . . . 7 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
17	15, 16	eleqtrrdi 2260	. . . . . 6 |- ( n e. N. -> [ <. n , 1o >. ] ~Q e. Q. )
18		breq2 3986	. . . . . . 7 |- ( r = [ <. n , 1o >. ] ~Q -> ( A <Q r <-> A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) )
19	18	rspcev 2830	. . . . . 6 |- ( ( [ <. n , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) -> E. r e. Q. A <Q r )
20	17, 19	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( n e. N. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) -> E. r e. Q. A <Q r )
21	20	exlimiv 1586	. . . 4 |- ( E. n ( n e. N. /\ A <Q [ <. n , 1o >. ] ~Q ) -> E. r e. Q. A <Q r )
22	9, 21	syl 14	. . 3 |- ( A e. Q. -> E. r e. Q. A <Q r )
23		vex 2729	. . . . 5 |- r e. _V
24		breq2 3986	. . . . 5 |- ( x = r -> ( A <Q x <-> A <Q r ) )
25	23, 24	elab 2870	. . . 4 |- ( r e. { x | A <Q x } <-> A <Q r )
26	25	rexbii 2473	. . 3 |- ( E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } <-> E. r e. Q. A <Q r )
27	22, 26	sylibr 133	. 2 |- ( A e. Q. -> E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } )
28	6, 27	jca 304	1 |- ( A e. Q. -> ( E. q e. Q. q e. { x | x <Q A } /\ E. r e. Q. r e. { x | A <Q x } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   E.wex 1480   e. wcel 2136   {cab 2151   E.wrex 2445   <.cop 3579   class class class wbr 3982   X. cxp 4602   1oc1o 6377   [cec 6499   /.cqs 6500   N.cnpi 7213   ~Q ceq 7220   Q.cnq 7221   <Q cltq 7226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294

This theorem is referenced by:  nqprxx  7487