Theorem dmmp 7856

Description: Domain of multiplication on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmmp	⊢ dom ·P = (P × P)

Proof of Theorem dmmp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-imp 7784	. 2 ⊢ ·P = (𝑥 ∈ P, 𝑦 ∈ P ↦ ⟨{𝑣 ∈ Q ∣ ∃𝑤 ∈ Q ∃𝑧 ∈ Q (𝑤 ∈ (1st ‘𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (1st ‘𝑦) ∧ 𝑣 = (𝑤 ·Q 𝑧))}, {𝑣 ∈ Q ∣ ∃𝑤 ∈ Q ∃𝑧 ∈ Q (𝑤 ∈ (2nd ‘𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (2nd ‘𝑦) ∧ 𝑣 = (𝑤 ·Q 𝑧))}⟩)
2		mulclnq 7691	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑤 ·Q 𝑧) ∈ Q)
3	1, 2	genipdm 7831	1 ⊢ dom ·P = (P × P)

Syntax hints:   = wceq 1398   × cxp 4747  dom cdm 4749   ·_Q cmq 7598  Pcnp 7606   ·_P cmp 7609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-mi 7621  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-mqqs 7665  df-imp 7784

This theorem is referenced by:  mulassprg  7896