Theorem ennnfonelemhdmp1 12980

Description: Lemma for ennnfone 12996. Domain at a successor where we need to add an element to the sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemhdmp1.p	|- ( ph -> P e. NN0 )
ennnfonelemhdmp1.nel	|- ( ph -> -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemhdmp1	|- ( ph -> dom ( H ` ( P + 1 ) ) = suc dom ( H ` P ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   P, j, x, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   P( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemhdmp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 |- H = seq 0 ( G , J )
8		ennnfonelemhdmp1.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. NN0 )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemp1 12977	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
10		ennnfonelemhdmp1.nel	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
11	10	iffalsed 3612	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
12	9, 11	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
13	12	dmeqd 4925	. . . 4 |- ( ph -> dom ( H ` ( P + 1 ) ) = dom ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
14		dmun 4930	. . . 4 |- dom ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) = ( dom ( H ` P ) u. dom { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } )
15	13, 14	eqtrdi 2278	. . 3 |- ( ph -> dom ( H ` ( P + 1 ) ) = ( dom ( H ` P ) u. dom { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
16		fof 5548	. . . . . . 7 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
17	2, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om --> A )
18	5	frechashgf1o 10650	. . . . . . . . 9 |- N : om -1-1-onto-> NN0
19		f1ocnv 5585	. . . . . . . . 9 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
20		f1of 5572	. . . . . . . . 9 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
21	18, 19, 20	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- `' N : NN0 --> om
22	21	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> `' N : NN0 --> om )
23	22, 8	ffvelcdmd 5771	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' N ` P ) e. om )
24	17, 23	ffvelcdmd 5771	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` ( `' N ` P ) ) e. A )
25		dmsnopg 5200	. . . . 5 |- ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. A -> dom { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } = { dom ( H ` P ) } )
26	24, 25	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } = { dom ( H ` P ) } )
27	26	uneq2d 3358	. . 3 |- ( ph -> ( dom ( H ` P ) u. dom { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) = ( dom ( H ` P ) u. { dom ( H ` P ) } ) )
28	15, 27	eqtrd 2262	. 2 |- ( ph -> dom ( H ` ( P + 1 ) ) = ( dom ( H ` P ) u. { dom ( H ` P ) } ) )
29		df-suc 4462	. 2 |- suc dom ( H ` P ) = ( dom ( H ` P ) u. { dom ( H ` P ) } )
30	28, 29	eqtr4di 2280	1 |- ( ph -> dom ( H ` ( P + 1 ) ) = suc dom ( H ` P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   E.wrex 2509   u. cun 3195   (/)c0 3491   ifcif 3602   {csn 3666   <.cop 3669   |-> cmpt 4145   suc csuc 4456   omcom 4682   `'ccnv 4718   dom cdm 4719   "cima 4722   -->wf 5314   -onto->wfo 5316   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   e. cmpo 6003  freccfrec 6536   ^pm cpm 6796   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   - cmin 8317   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   seqcseq 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pm 6798  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-seqfrec 10670

This theorem is referenced by:  ennnfonelemhf1o  12984