Theorem ennnfonelemhdmp1 12566

Description: Lemma for ennnfone 12582. Domain at a successor where we need to add an element to the sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemhdmp1.p	|- ( ph -> P e. NN0 )
ennnfonelemhdmp1.nel	|- ( ph -> -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemhdmp1	|- ( ph -> dom ( H ` ( P + 1 ) ) = suc dom ( H ` P ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   P, j, x, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   P( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemhdmp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 |- H = seq 0 ( G , J )
8		ennnfonelemhdmp1.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. NN0 )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemp1 12563	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
10		ennnfonelemhdmp1.nel	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
11	10	iffalsed 3567	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
12	9, 11	eqtrd 2226	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
13	12	dmeqd 4864	. . . 4 |- ( ph -> dom ( H ` ( P + 1 ) ) = dom ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
14		dmun 4869	. . . 4 |- dom ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) = ( dom ( H ` P ) u. dom { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } )
15	13, 14	eqtrdi 2242	. . 3 |- ( ph -> dom ( H ` ( P + 1 ) ) = ( dom ( H ` P ) u. dom { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
16		fof 5476	. . . . . . 7 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
17	2, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om --> A )
18	5	frechashgf1o 10499	. . . . . . . . 9 |- N : om -1-1-onto-> NN0
19		f1ocnv 5513	. . . . . . . . 9 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
20		f1of 5500	. . . . . . . . 9 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
21	18, 19, 20	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- `' N : NN0 --> om
22	21	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> `' N : NN0 --> om )
23	22, 8	ffvelcdmd 5694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' N ` P ) e. om )
24	17, 23	ffvelcdmd 5694	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` ( `' N ` P ) ) e. A )
25		dmsnopg 5137	. . . . 5 |- ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. A -> dom { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } = { dom ( H ` P ) } )
26	24, 25	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } = { dom ( H ` P ) } )
27	26	uneq2d 3313	. . 3 |- ( ph -> ( dom ( H ` P ) u. dom { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) = ( dom ( H ` P ) u. { dom ( H ` P ) } ) )
28	15, 27	eqtrd 2226	. 2 |- ( ph -> dom ( H ` ( P + 1 ) ) = ( dom ( H ` P ) u. { dom ( H ` P ) } ) )
29		df-suc 4402	. 2 |- suc dom ( H ` P ) = ( dom ( H ` P ) u. { dom ( H ` P ) } )
30	28, 29	eqtr4di 2244	1 |- ( ph -> dom ( H ` ( P + 1 ) ) = suc dom ( H ` P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   E.wrex 2473   u. cun 3151   (/)c0 3446   ifcif 3557   {csn 3618   <.cop 3621   |-> cmpt 4090   suc csuc 4396   omcom 4622   `'ccnv 4658   dom cdm 4659   "cima 4662   -->wf 5250   -onto->wfo 5252   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920  freccfrec 6443   ^pm cpm 6703   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   - cmin 8190   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pm 6705  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519

This theorem is referenced by:  ennnfonelemhf1o  12570