Theorem elfzoextl 10301

Description: Membership of an integer in an extended open range of integers, extension added to the left. (Contributed by AV, 31-Aug-2025.) Generalized by replacing the left border of the ranges. (Revised by SN, 18-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoextl	|- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> Z e. ( M..^ ( I + N ) ) )

Proof of Theorem elfzoextl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 10250	. . . . . 6 |- ( Z e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
2		nn0pzuz 9690	. . . . . 6 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( I + N ) e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( I e. NN0 /\ Z e. ( M..^ N ) ) -> ( I + N ) e. ( ZZ>= ` N ) )
4		fzoss2 10277	. . . . 5 |- ( ( I + N ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( M..^ N ) C_ ( M..^ ( I + N ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . 4 |- ( ( I e. NN0 /\ Z e. ( M..^ N ) ) -> ( M..^ N ) C_ ( M..^ ( I + N ) ) )
6	5	sseld 3191	. . 3 |- ( ( I e. NN0 /\ Z e. ( M..^ N ) ) -> ( Z e. ( M..^ N ) -> Z e. ( M..^ ( I + N ) ) ) )
7	6	syldbl2 1304	. 2 |- ( ( I e. NN0 /\ Z e. ( M..^ N ) ) -> Z e. ( M..^ ( I + N ) ) )
8	7	ancoms 268	1 |- ( ( Z e. ( M..^ N ) /\ I e. NN0 ) -> Z e. ( M..^ ( I + N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2175   C_ wss 3165   ` cfv 5268  (class class class)co 5934   + caddc 7910   NN0cn0 9277   ZZcz 9354   ZZ>=cuz 9630  ..^cfzo 10246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-fz 10113  df-fzo 10247

This theorem is referenced by:  elfzoext  10302