Theorem fzoaddel2 10300

Description: Translate membership in a shifted-down half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoaddel2	|- ( ( A e. ( 0..^ ( B - C ) ) /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A + C ) e. ( C..^ B ) )

Proof of Theorem fzoaddel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzoaddel 10297	. . 3 |- ( ( A e. ( 0..^ ( B - C ) ) /\ C e. ZZ ) -> ( A + C ) e. ( ( 0 + C )..^ ( ( B - C ) + C ) ) )
2	1	3adant2 1018	. 2 |- ( ( A e. ( 0..^ ( B - C ) ) /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A + C ) e. ( ( 0 + C )..^ ( ( B - C ) + C ) ) )
3		zcn 9359	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
4		zcn 9359	. . . 4 |- ( C e. ZZ -> C e. CC )
5		addlid 8193	. . . . . 6 |- ( C e. CC -> ( 0 + C ) = C )
6	5	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( 0 + C ) = C )
7		npcan 8263	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( B - C ) + C ) = B )
8	6, 7	oveq12d 5952	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( 0 + C )..^ ( ( B - C ) + C ) ) = ( C..^ B ) )
9	3, 4, 8	syl2an 289	. . 3 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( 0 + C )..^ ( ( B - C ) + C ) ) = ( C..^ B ) )
10	9	3adant1 1017	. 2 |- ( ( A e. ( 0..^ ( B - C ) ) /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( 0 + C )..^ ( ( B - C ) + C ) ) = ( C..^ B ) )
11	2, 10	eleqtrd 2283	1 |- ( ( A e. ( 0..^ ( B - C ) ) /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A + C ) e. ( C..^ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175  (class class class)co 5934   CCcc 7905   0cc0 7907   + caddc 7910   - cmin 8225   ZZcz 9354  ..^cfzo 10246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-fz 10113  df-fzo 10247

This theorem is referenced by: (None)