Theorem fzoss2 10331

Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoss2	|- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M..^ K ) C_ ( M..^ N ) )

Proof of Theorem fzoss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9688	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ZZ )
2		peano2zm 9445	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
4		1zzd 9434	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> 1 e. ZZ )
5		id 19	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
6	1	zcnd 9531	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. CC )
7		ax-1cn 8053	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
8		npcan 8316	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
10	9	fveq2d 5603	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` K ) )
11	5, 10	eleqtrrd 2287	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> N e. ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) )
12		eluzsub 9713	. . . 4 |- ( ( ( K - 1 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) )
13	3, 4, 11, 12	syl3anc 1250	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) )
14		fzss2 10221	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) -> ( M ... ( K - 1 ) ) C_ ( M ... ( N - 1 ) ) )
15	13, 14	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M ... ( K - 1 ) ) C_ ( M ... ( N - 1 ) ) )
16		fzoval 10305	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( M..^ K ) = ( M ... ( K - 1 ) ) )
17	1, 16	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M..^ K ) = ( M ... ( K - 1 ) ) )
18		eluzelz 9692	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> N e. ZZ )
19		fzoval 10305	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
20	18, 19	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
21	15, 17, 20	3sstr4d 3246	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M..^ K ) C_ ( M..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   C_ wss 3174   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   1c1 7961   + caddc 7963   - cmin 8278   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165  ..^cfzo 10299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300

This theorem is referenced by:  fzossrbm1  10332  fzosplit  10336  elfzoextl  10357  fzossfzop1  10378  ccatass  11102  ccatrn  11103  swrdval2  11142  pfxres  11172  pfxf  11173  pfxccat1  11193  pfxccatin12lem2a  11218