Theorem fzoss2 10265

Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoss2	|- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M..^ K ) C_ ( M..^ N ) )

Proof of Theorem fzoss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9623	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ZZ )
2		peano2zm 9381	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
4		1zzd 9370	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> 1 e. ZZ )
5		id 19	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
6	1	zcnd 9466	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. CC )
7		ax-1cn 7989	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
8		npcan 8252	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
10	9	fveq2d 5565	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` K ) )
11	5, 10	eleqtrrd 2276	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> N e. ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) )
12		eluzsub 9648	. . . 4 |- ( ( ( K - 1 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) )
13	3, 4, 11, 12	syl3anc 1249	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) )
14		fzss2 10156	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) -> ( M ... ( K - 1 ) ) C_ ( M ... ( N - 1 ) ) )
15	13, 14	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M ... ( K - 1 ) ) C_ ( M ... ( N - 1 ) ) )
16		fzoval 10240	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( M..^ K ) = ( M ... ( K - 1 ) ) )
17	1, 16	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M..^ K ) = ( M ... ( K - 1 ) ) )
18		eluzelz 9627	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> N e. ZZ )
19		fzoval 10240	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
20	18, 19	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
21	15, 17, 20	3sstr4d 3229	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M..^ K ) C_ ( M..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   1c1 7897   + caddc 7899   - cmin 8214   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100  ..^cfzo 10234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-fzo 10235

This theorem is referenced by:  fzossrbm1  10266  fzosplit  10270  fzossfzop1  10305