Theorem elfzoextl 10342

Description: Membership of an integer in an extended open range of integers, extension added to the left. (Contributed by AV, 31-Aug-2025.) Generalized by replacing the left border of the ranges. (Revised by SN, 18-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoextl	⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝐼 + 𝑁)))

Proof of Theorem elfzoextl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 10288	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		nn0pzuz 9728	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐼 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		fzoss2 10316	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀..^(𝐼 + 𝑁)))
5	3, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀..^(𝐼 + 𝑁)))
6	5	sseld 3196	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝐼 + 𝑁))))
7	6	syldbl2 1305	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝐼 + 𝑁)))
8	7	ancoms 268	1 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝐼 + 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2177   ⊆ wss 3170  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957   + caddc 7948  ℕ₀cn0 9315  ℤcz 9392  ℤ_≥cuz 9668  ..^cfzo 10284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151  df-fzo 10285

This theorem is referenced by:  elfzoext  10343