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Theorem sin0pilem1 15286
Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
sin0pilem1 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
Distinct variable group:   x, p
Proof of Theorem sin0pilem1
StepHypRef Expression
1 cosz12 15285 . 2 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( cos ` p ) = 0
2 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) -> ( cos ` p ) = 0 )
3 2re 9108 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
43a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 2 e. RR )
5 elioore 10036 . . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p e. RR )
65ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p e. RR )
74, 6remulcld 8105 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. RR )
8 elioore 10036 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> x e. RR )
98adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x e. RR )
107, 9resubcld 8455 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) e. RR )
11 eliooord 10052 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> ( p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
1211simprd 114 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> x < ( 2 x. p ) )
1312adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x < ( 2 x. p ) )
149, 7posdifd 8607 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( x < ( 2 x. p ) <-> 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
1513, 14mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) )
1611simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> p < x )
1716adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p < x )
186, 9, 7, 17ltsub2dd 8633 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < ( ( 2 x. p ) - p ) )
196recnd 8103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p e. CC )
2019mulid2d 8093 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 1 x. p ) = p )
2120oveq2d 5962 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - ( 1 x. p ) ) = ( ( 2 x. p ) - p ) )
2218, 21breqtrrd 4073 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < ( ( 2 x. p ) - ( 1 x. p ) ) )
234recnd 8103 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 2 e. CC )
24 1cnd 8090 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 1 e. CC )
2523, 24, 19subdird 8489 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 - 1 ) x. p ) = ( ( 2 x. p ) - ( 1 x. p ) ) )
2622, 25breqtrrd 4073 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < ( ( 2 - 1 ) x. p ) )
27 2m1e1 9156 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 - 1 ) = 1
2827oveq1i 5956 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 - 1 ) x. p ) = ( 1 x. p )
2928, 20eqtrid 2250 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 - 1 ) x. p ) = p )
3026, 29breqtrd 4071 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < p )
31 eliooord 10052 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 1 < p /\ p < 2 ) )
3231simprd 114 . . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p < 2 )
3332ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p < 2 )
3410, 6, 4, 30, 33lttrd 8200 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < 2 )
3510, 4, 34ltled 8193 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) <_ 2 )
36 0xr 8121 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
37 elioc2 10060 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) /\ ( ( 2 x. p ) - x ) <_ 2 ) ) )
3836, 3, 37mp2an 426 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) /\ ( ( 2 x. p ) - x ) <_ 2 ) )
3910, 15, 35, 38syl3anbrc 1184 . . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) )
40 sin02gt0 12108 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
4139, 40syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
427recnd 8103 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. CC )
439recnd 8103 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x e. CC )
4442, 43subcld 8385 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) e. CC )
45 sinsub 12084 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. p ) e. CC /\ ( ( 2 x. p ) - x ) e. CC ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) ) )
4642, 44, 45syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) ) )
4742, 43nncand 8390 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) = x )
4847fveq2d 5582 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( sin ` x ) )
49 cos2t 12094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. CC -> ( cos ` ( 2 x. p ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
5019, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` ( 2 x. p ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
51 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` p ) = 0 )
5251sq0id 10779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( cos ` p ) ^ 2 ) = 0 )
5352oveq2d 5962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 0 ) )
54 2t0e0 9198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 x. 0 ) = 0
5553, 54eqtrdi 2254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) = 0 )
5655oveq1d 5961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
57 df-neg 8248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
5856, 57eqtr4di 2256 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) = -u 1 )
5950, 58eqtrd 2238 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` ( 2 x. p ) ) = -u 1 )
6059oveq1d 5961 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( -u 1 x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
6144sincld 12054 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) e. CC )
6261mulm1d 8484 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( -u 1 x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
6360, 62eqtrd 2238 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
6463oveq2d 5962 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
6546, 48, 643eqtr3d 2246 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
6642sincld 12054 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) e. CC )
6744coscld 12055 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) e. CC )
6866, 67mulcld 8095 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) e. CC )
6968, 61subnegd 8392 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
7065, 69eqtrd 2238 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
71 sin2t 12093 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. CC -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
7219, 71syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
7351oveq2d 5962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = ( ( sin ` p ) x. 0 ) )
7419sincld 12054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` p ) e. CC )
7574mul01d 8467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. 0 ) = 0 )
7673, 75eqtrd 2238 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = 0 )
7776oveq2d 5962 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
7877, 54eqtrdi 2254 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = 0 )
7972, 78eqtrd 2238 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 )
8079oveq1d 5961 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( 0 x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
8167mul02d 8466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 0 x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = 0 )
8280, 81eqtrd 2238 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = 0 )
8382oveq1d 5961 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( 0 + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
8470, 83eqtrd 2238 . . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( 0 + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
8561addlidd 8224 . . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 0 + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
8684, 85eqtrd 2238 . . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
8741, 86breqtrrd 4073 . . . . . 6 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( sin ` x ) )
8887ralrimiva 2579 . . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) -> A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
892, 88jca 306 . . . 4 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) -> ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) )
9089ex 115 . . 3 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( ( cos ` p ) = 0 -> ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) ) )
9190reximia 2601 . 2 |- ( E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( cos ` p ) = 0 -> E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) )
921, 91ax-mp 5 1 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   CCcc 7925   RRcr 7926   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   x. cmul 7932   RR*cxr 8108   < clt 8109   <_ cle 8110   - cmin 8245   -ucneg 8246   2c2 9089   (,)cioo 10012   (,]cioc 10013   ^cexp 10685   sincsin 11988   cosccos 11989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047  ax-pre-suploc 8048  ax-addf 8049  ax-mulf 8050
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-disj 4022  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-of 6160  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-frec 6479  df-1o 6504  df-oadd 6508  df-er 6622  df-map 6739  df-pm 6740  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-sup 7088  df-inf 7089  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-5 9100  df-6 9101  df-7 9102  df-8 9103  df-9 9104  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-xneg 9896  df-xadd 9897  df-ioo 10016  df-ioc 10017  df-ico 10018  df-icc 10019  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-fac 10873  df-bc 10895  df-ihash 10923  df-shft 11159  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-clim 11623  df-sumdc 11698  df-ef 11992  df-sin 11994  df-cos 11995  df-rest 13106  df-topgen 13125  df-psmet 14338  df-xmet 14339  df-met 14340  df-bl 14341  df-mopn 14342  df-top 14503  df-topon 14516  df-bases 14548  df-ntr 14601  df-cn 14693  df-cnp 14694  df-tx 14758  df-cncf 15076  df-limced 15161  df-dvap 15162
This theorem is referenced by:  sin0pilem2  15287
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