ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sin0pilem1 Unicode version
Theorem sin0pilem1 16008
Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
sin0pilem1 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
Distinct variable group:   x, p
Proof of Theorem sin0pilem1
StepHypRef Expression
1 cosz12 16007 . 2 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( cos ` p ) = 0
2 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) -> ( cos ` p ) = 0 )
3 2re 9383 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
43a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 2 e. RR )
5 elioore 10331 . . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p e. RR )
65ad2antrr 492 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p e. RR )
74, 6remulcld 8362 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. RR )
8 elioore 10331 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> x e. RR )
98adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x e. RR )
107, 9resubcld 8715 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) e. RR )
11 eliooord 10347 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> ( p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
1211simprd 114 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> x < ( 2 x. p ) )
1312adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x < ( 2 x. p ) )
149, 7posdifd 8867 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( x < ( 2 x. p ) <-> 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
1513, 14mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) )
1611simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> p < x )
1716adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p < x )
186, 9, 7, 17ltsub2dd 8893 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < ( ( 2 x. p ) - p ) )
196recnd 8360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p e. CC )
2019mullidd 8350 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 1 x. p ) = p )
2120oveq2d 6104 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - ( 1 x. p ) ) = ( ( 2 x. p ) - p ) )
2218, 21breqtrrd 4159 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < ( ( 2 x. p ) - ( 1 x. p ) ) )
234recnd 8360 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 2 e. CC )
24 1cnd 8348 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 1 e. CC )
2523, 24, 19subdird 8749 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 - 1 ) x. p ) = ( ( 2 x. p ) - ( 1 x. p ) ) )
2622, 25breqtrrd 4159 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < ( ( 2 - 1 ) x. p ) )
27 2m1e1 9431 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 - 1 ) = 1
2827oveq1i 6098 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 - 1 ) x. p ) = ( 1 x. p )
2928, 20eqtrid 2283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 - 1 ) x. p ) = p )
3026, 29breqtrd 4157 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < p )
31 eliooord 10347 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 1 < p /\ p < 2 ) )
3231simprd 114 . . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p < 2 )
3332ad2antrr 492 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p < 2 )
3410, 6, 4, 30, 33lttrd 8459 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < 2 )
3510, 4, 34ltled 8452 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) <_ 2 )
36 0xr 8378 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
37 elioc2 10355 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) /\ ( ( 2 x. p ) - x ) <_ 2 ) ) )
3836, 3, 37mp2an 430 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) /\ ( ( 2 x. p ) - x ) <_ 2 ) )
3910, 15, 35, 38syl3anbrc 1212 . . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) )
40 sin02gt0 12556 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
4139, 40syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
427recnd 8360 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. CC )
439recnd 8360 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x e. CC )
4442, 43subcld 8644 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) e. CC )
45 sinsub 12532 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. p ) e. CC /\ ( ( 2 x. p ) - x ) e. CC ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) ) )
4642, 44, 45syl2anc 415 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) ) )
4742, 43nncand 8649 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) = x )
4847fveq2d 5702 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( sin ` x ) )
49 cos2t 12542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. CC -> ( cos ` ( 2 x. p ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
5019, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` ( 2 x. p ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
51 simplr 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` p ) = 0 )
5251sq0id 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( cos ` p ) ^ 2 ) = 0 )
5352oveq2d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 0 ) )
54 2t0e0 9475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 x. 0 ) = 0
5553, 54eqtrdi 2287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) = 0 )
5655oveq1d 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
57 df-neg 8507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
5856, 57eqtr4di 2289 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) = -u 1 )
5950, 58eqtrd 2271 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` ( 2 x. p ) ) = -u 1 )
6059oveq1d 6103 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( -u 1 x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
6144sincld 12502 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) e. CC )
6261mulm1d 8744 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( -u 1 x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
6360, 62eqtrd 2271 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
6463oveq2d 6104 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
6546, 48, 643eqtr3d 2279 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
6642sincld 12502 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) e. CC )
6744coscld 12503 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) e. CC )
6866, 67mulcld 8352 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) e. CC )
6968, 61subnegd 8651 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
7065, 69eqtrd 2271 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
71 sin2t 12541 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. CC -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
7219, 71syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
7351oveq2d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = ( ( sin ` p ) x. 0 ) )
7419sincld 12502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` p ) e. CC )
7574mul01d 8727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. 0 ) = 0 )
7673, 75eqtrd 2271 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = 0 )
7776oveq2d 6104 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
7877, 54eqtrdi 2287 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = 0 )
7972, 78eqtrd 2271 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 )
8079oveq1d 6103 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( 0 x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
8167mul02d 8726 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 0 x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = 0 )
8280, 81eqtrd 2271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = 0 )
8382oveq1d 6103 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( 0 + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
8470, 83eqtrd 2271 . . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( 0 + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
8561addlidd 8483 . . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 0 + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
8684, 85eqtrd 2271 . . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
8741, 86breqtrrd 4159 . . . . . 6 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( sin ` x ) )
8887ralrimiva 2623 . . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) -> A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
892, 88jca 306 . . . 4 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) -> ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) )
9089ex 115 . . 3 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( ( cos ` p ) = 0 -> ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) ) )
9190reximia 2645 . 2 |- ( E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( cos ` p ) = 0 -> E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) )
921, 91ax-mp 5 1 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   RR*cxr 8365   < clt 8366   <_ cle 8367   - cmin 8504   -ucneg 8505   2c2 9364   (,)cioo 10307   (,]cioc 10308   ^cexp 10996   sincsin 12436   cosccos 12437
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305  ax-pre-suploc 8306  ax-addf 8307  ax-mulf 8308
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-pm 6929  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-xneg 10191  df-xadd 10192  df-ioo 10311  df-ioc 10312  df-ico 10313  df-icc 10314  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-fac 11186  df-bc 11208  df-ihash 11237  df-shft 11602  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145  df-ef 12440  df-sin 12442  df-cos 12443  df-rest 13654  df-topgen 13673  df-psmet 14989  df-xmet 14990  df-met 14991  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-top 15224  df-topon 15237  df-bases 15269  df-ntr 15322  df-cn 15414  df-cnp 15415  df-tx 15479  df-cncf 15797  df-limced 15882  df-dvap 15883
This theorem is used by:  sin0pilem2  16009
  Copyright terms: Public domain W3C validator