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Theorem sin0pilem1 13869
Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
sin0pilem1 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
Distinct variable group:   x, p
Proof of Theorem sin0pilem1
StepHypRef Expression
1 cosz12 13868 . 2 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( cos ` p ) = 0
2 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) -> ( cos ` p ) = 0 )
3 2re 8978 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
43a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 2 e. RR )
5 elioore 9899 . . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p e. RR )
65ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p e. RR )
74, 6remulcld 7978 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. RR )
8 elioore 9899 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> x e. RR )
98adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x e. RR )
107, 9resubcld 8328 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) e. RR )
11 eliooord 9915 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> ( p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
1211simprd 114 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> x < ( 2 x. p ) )
1312adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x < ( 2 x. p ) )
149, 7posdifd 8479 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( x < ( 2 x. p ) <-> 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
1513, 14mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) )
1611simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> p < x )
1716adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p < x )
186, 9, 7, 17ltsub2dd 8505 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < ( ( 2 x. p ) - p ) )
196recnd 7976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p e. CC )
2019mulid2d 7966 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 1 x. p ) = p )
2120oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - ( 1 x. p ) ) = ( ( 2 x. p ) - p ) )
2218, 21breqtrrd 4028 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < ( ( 2 x. p ) - ( 1 x. p ) ) )
234recnd 7976 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 2 e. CC )
24 1cnd 7964 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 1 e. CC )
2523, 24, 19subdird 8362 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 - 1 ) x. p ) = ( ( 2 x. p ) - ( 1 x. p ) ) )
2622, 25breqtrrd 4028 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < ( ( 2 - 1 ) x. p ) )
27 2m1e1 9026 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 - 1 ) = 1
2827oveq1i 5879 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 - 1 ) x. p ) = ( 1 x. p )
2928, 20eqtrid 2222 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 - 1 ) x. p ) = p )
3026, 29breqtrd 4026 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < p )
31 eliooord 9915 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 1 < p /\ p < 2 ) )
3231simprd 114 . . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p < 2 )
3332ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p < 2 )
3410, 6, 4, 30, 33lttrd 8073 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < 2 )
3510, 4, 34ltled 8066 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) <_ 2 )
36 0xr 7994 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
37 elioc2 9923 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) /\ ( ( 2 x. p ) - x ) <_ 2 ) ) )
3836, 3, 37mp2an 426 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) /\ ( ( 2 x. p ) - x ) <_ 2 ) )
3910, 15, 35, 38syl3anbrc 1181 . . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) )
40 sin02gt0 11755 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
4139, 40syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
427recnd 7976 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. CC )
439recnd 7976 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x e. CC )
4442, 43subcld 8258 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) e. CC )
45 sinsub 11732 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. p ) e. CC /\ ( ( 2 x. p ) - x ) e. CC ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) ) )
4642, 44, 45syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) ) )
4742, 43nncand 8263 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) = x )
4847fveq2d 5515 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( sin ` x ) )
49 cos2t 11742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. CC -> ( cos ` ( 2 x. p ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
5019, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` ( 2 x. p ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
51 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` p ) = 0 )
5251sq0id 10598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( cos ` p ) ^ 2 ) = 0 )
5352oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 0 ) )
54 2t0e0 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 x. 0 ) = 0
5553, 54eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) = 0 )
5655oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
57 df-neg 8121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
5856, 57eqtr4di 2228 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) = -u 1 )
5950, 58eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` ( 2 x. p ) ) = -u 1 )
6059oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( -u 1 x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
6144sincld 11702 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) e. CC )
6261mulm1d 8357 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( -u 1 x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
6360, 62eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
6463oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
6546, 48, 643eqtr3d 2218 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
6642sincld 11702 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) e. CC )
6744coscld 11703 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) e. CC )
6866, 67mulcld 7968 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) e. CC )
6968, 61subnegd 8265 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
7065, 69eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
71 sin2t 11741 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. CC -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
7219, 71syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
7351oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = ( ( sin ` p ) x. 0 ) )
7419sincld 11702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` p ) e. CC )
7574mul01d 8340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. 0 ) = 0 )
7673, 75eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = 0 )
7776oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
7877, 54eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = 0 )
7972, 78eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 )
8079oveq1d 5884 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( 0 x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
8167mul02d 8339 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 0 x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = 0 )
8280, 81eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = 0 )
8382oveq1d 5884 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( 0 + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
8470, 83eqtrd 2210 . . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( 0 + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
8561addid2d 8097 . . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 0 + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
8684, 85eqtrd 2210 . . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
8741, 86breqtrrd 4028 . . . . . 6 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( sin ` x ) )
8887ralrimiva 2550 . . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) -> A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
892, 88jca 306 . . . 4 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) -> ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) )
9089ex 115 . . 3 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( ( cos ` p ) = 0 -> ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) ) )
9190reximia 2572 . 2 |- ( E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( cos ` p ) = 0 -> E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) )
921, 91ax-mp 5 1 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   x. cmul 7807   RR*cxr 7981   < clt 7982   <_ cle 7983   - cmin 8118   -ucneg 8119   2c2 8959   (,)cioo 9875   (,]cioc 9876   ^cexp 10505   sincsin 11636   cosccos 11637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-pre-suploc 7923  ax-addf 7924  ax-mulf 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-of 6077  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-map 6644  df-pm 6645  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-5 8970  df-6 8971  df-7 8972  df-8 8973  df-9 8974  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-ioo 9879  df-ioc 9880  df-ico 9881  df-icc 9882  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-bc 10712  df-ihash 10740  df-shft 10808  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346  df-ef 11640  df-sin 11642  df-cos 11643  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-ntr 13263  df-cn 13355  df-cnp 13356  df-tx 13420  df-cncf 13725  df-limced 13792  df-dvap 13793
This theorem is referenced by:  sin0pilem2  13870
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