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Theorem sin0pilem1 15646
Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
sin0pilem1 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
Distinct variable group:   x, p
Proof of Theorem sin0pilem1
StepHypRef Expression
1 cosz12 15645 . 2 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( cos ` p ) = 0
2 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) -> ( cos ` p ) = 0 )
3 2re 9307 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
43a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 2 e. RR )
5 elioore 10245 . . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p e. RR )
65ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p e. RR )
74, 6remulcld 8304 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. RR )
8 elioore 10245 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> x e. RR )
98adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x e. RR )
107, 9resubcld 8654 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) e. RR )
11 eliooord 10261 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> ( p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
1211simprd 114 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> x < ( 2 x. p ) )
1312adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x < ( 2 x. p ) )
149, 7posdifd 8806 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( x < ( 2 x. p ) <-> 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
1513, 14mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) )
1611simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> p < x )
1716adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p < x )
186, 9, 7, 17ltsub2dd 8832 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < ( ( 2 x. p ) - p ) )
196recnd 8302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p e. CC )
2019mullidd 8292 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 1 x. p ) = p )
2120oveq2d 6066 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - ( 1 x. p ) ) = ( ( 2 x. p ) - p ) )
2218, 21breqtrrd 4137 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < ( ( 2 x. p ) - ( 1 x. p ) ) )
234recnd 8302 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 2 e. CC )
24 1cnd 8290 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 1 e. CC )
2523, 24, 19subdird 8688 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 - 1 ) x. p ) = ( ( 2 x. p ) - ( 1 x. p ) ) )
2622, 25breqtrrd 4137 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < ( ( 2 - 1 ) x. p ) )
27 2m1e1 9355 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 - 1 ) = 1
2827oveq1i 6060 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 - 1 ) x. p ) = ( 1 x. p )
2928, 20eqtrid 2277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 - 1 ) x. p ) = p )
3026, 29breqtrd 4135 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < p )
31 eliooord 10261 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 1 < p /\ p < 2 ) )
3231simprd 114 . . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p < 2 )
3332ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p < 2 )
3410, 6, 4, 30, 33lttrd 8399 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < 2 )
3510, 4, 34ltled 8392 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) <_ 2 )
36 0xr 8320 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
37 elioc2 10269 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) /\ ( ( 2 x. p ) - x ) <_ 2 ) ) )
3836, 3, 37mp2an 426 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) /\ ( ( 2 x. p ) - x ) <_ 2 ) )
3910, 15, 35, 38syl3anbrc 1208 . . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) )
40 sin02gt0 12450 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
4139, 40syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
427recnd 8302 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. CC )
439recnd 8302 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x e. CC )
4442, 43subcld 8584 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) e. CC )
45 sinsub 12426 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. p ) e. CC /\ ( ( 2 x. p ) - x ) e. CC ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) ) )
4642, 44, 45syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) ) )
4742, 43nncand 8589 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) = x )
4847fveq2d 5674 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( sin ` x ) )
49 cos2t 12436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. CC -> ( cos ` ( 2 x. p ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
5019, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` ( 2 x. p ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
51 simplr 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` p ) = 0 )
5251sq0id 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( cos ` p ) ^ 2 ) = 0 )
5352oveq2d 6066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 0 ) )
54 2t0e0 9397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 x. 0 ) = 0
5553, 54eqtrdi 2281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) = 0 )
5655oveq1d 6065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
57 df-neg 8447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
5856, 57eqtr4di 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) = -u 1 )
5950, 58eqtrd 2265 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` ( 2 x. p ) ) = -u 1 )
6059oveq1d 6065 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( -u 1 x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
6144sincld 12396 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) e. CC )
6261mulm1d 8683 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( -u 1 x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
6360, 62eqtrd 2265 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
6463oveq2d 6066 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
6546, 48, 643eqtr3d 2273 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
6642sincld 12396 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) e. CC )
6744coscld 12397 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) e. CC )
6866, 67mulcld 8294 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) e. CC )
6968, 61subnegd 8591 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
7065, 69eqtrd 2265 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
71 sin2t 12435 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. CC -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
7219, 71syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
7351oveq2d 6066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = ( ( sin ` p ) x. 0 ) )
7419sincld 12396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` p ) e. CC )
7574mul01d 8666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. 0 ) = 0 )
7673, 75eqtrd 2265 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = 0 )
7776oveq2d 6066 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
7877, 54eqtrdi 2281 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = 0 )
7972, 78eqtrd 2265 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 )
8079oveq1d 6065 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( 0 x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
8167mul02d 8665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 0 x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = 0 )
8280, 81eqtrd 2265 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = 0 )
8382oveq1d 6065 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( 0 + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
8470, 83eqtrd 2265 . . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( 0 + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
8561addlidd 8423 . . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 0 + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
8684, 85eqtrd 2265 . . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
8741, 86breqtrrd 4137 . . . . . 6 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( sin ` x ) )
8887ralrimiva 2615 . . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) -> A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
892, 88jca 306 . . . 4 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) -> ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) )
9089ex 115 . . 3 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( ( cos ` p ) = 0 -> ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) ) )
9190reximia 2637 . 2 |- ( E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( cos ` p ) = 0 -> E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) )
921, 91ax-mp 5 1 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   RRcr 8126   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   x. cmul 8132   RR*cxr 8307   < clt 8308   <_ cle 8309   - cmin 8444   -ucneg 8445   2c2 9288   (,)cioo 10221   (,]cioc 10222   ^cexp 10900   sincsin 12330   cosccos 12331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247  ax-pre-suploc 8248  ax-addf 8249  ax-mulf 8250
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-disj 4086  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-of 6266  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-er 6767  df-map 6884  df-pm 6885  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xneg 10105  df-xadd 10106  df-ioo 10225  df-ioc 10226  df-ico 10227  df-icc 10228  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-fac 11088  df-bc 11110  df-ihash 11139  df-shft 11500  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-sumdc 12039  df-ef 12334  df-sin 12336  df-cos 12337  df-rest 13454  df-topgen 13473  df-psmet 14691  df-xmet 14692  df-met 14693  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-ntr 14961  df-cn 15053  df-cnp 15054  df-tx 15118  df-cncf 15436  df-limced 15521  df-dvap 15522
This theorem is referenced by:  sin0pilem2  15647
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