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Theorem sin0pilem1 13342
Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
sin0pilem1 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
Distinct variable group:   x, p
Proof of Theorem sin0pilem1
StepHypRef Expression
1 cosz12 13341 . 2 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( cos ` p ) = 0
2 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) -> ( cos ` p ) = 0 )
3 2re 8927 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
43a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 2 e. RR )
5 elioore 9848 . . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p e. RR )
65ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p e. RR )
74, 6remulcld 7929 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. RR )
8 elioore 9848 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> x e. RR )
98adantl 275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x e. RR )
107, 9resubcld 8279 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) e. RR )
11 eliooord 9864 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> ( p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
1211simprd 113 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> x < ( 2 x. p ) )
1312adantl 275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x < ( 2 x. p ) )
149, 7posdifd 8430 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( x < ( 2 x. p ) <-> 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
1513, 14mpbid 146 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) )
1611simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) -> p < x )
1716adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p < x )
186, 9, 7, 17ltsub2dd 8456 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < ( ( 2 x. p ) - p ) )
196recnd 7927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p e. CC )
2019mulid2d 7917 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 1 x. p ) = p )
2120oveq2d 5858 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - ( 1 x. p ) ) = ( ( 2 x. p ) - p ) )
2218, 21breqtrrd 4010 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < ( ( 2 x. p ) - ( 1 x. p ) ) )
234recnd 7927 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 2 e. CC )
24 1cnd 7915 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 1 e. CC )
2523, 24, 19subdird 8313 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 - 1 ) x. p ) = ( ( 2 x. p ) - ( 1 x. p ) ) )
2622, 25breqtrrd 4010 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < ( ( 2 - 1 ) x. p ) )
27 2m1e1 8975 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 - 1 ) = 1
2827oveq1i 5852 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 - 1 ) x. p ) = ( 1 x. p )
2928, 20syl5eq 2211 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 - 1 ) x. p ) = p )
3026, 29breqtrd 4008 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < p )
31 eliooord 9864 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 1 < p /\ p < 2 ) )
3231simprd 113 . . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p < 2 )
3332ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p < 2 )
3410, 6, 4, 30, 33lttrd 8024 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) < 2 )
3510, 4, 34ltled 8017 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) <_ 2 )
36 0xr 7945 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
37 elioc2 9872 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) /\ ( ( 2 x. p ) - x ) <_ 2 ) ) )
3836, 3, 37mp2an 423 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 x. p ) - x ) /\ ( ( 2 x. p ) - x ) <_ 2 ) )
3910, 15, 35, 38syl3anbrc 1171 . . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) )
40 sin02gt0 11704 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. p ) - x ) e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
4139, 40syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
427recnd 7927 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. CC )
439recnd 7927 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x e. CC )
4442, 43subcld 8209 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - x ) e. CC )
45 sinsub 11681 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. p ) e. CC /\ ( ( 2 x. p ) - x ) e. CC ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) ) )
4642, 44, 45syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) ) )
4742, 43nncand 8214 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) = x )
4847fveq2d 5490 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( sin ` x ) )
49 cos2t 11691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. CC -> ( cos ` ( 2 x. p ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
5019, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` ( 2 x. p ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
51 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` p ) = 0 )
5251sq0id 10547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( cos ` p ) ^ 2 ) = 0 )
5352oveq2d 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. 0 ) )
54 2t0e0 9016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 x. 0 ) = 0
5553, 54eqtrdi 2215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) = 0 )
5655oveq1d 5857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
57 df-neg 8072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
5856, 57eqtr4di 2217 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( 2 x. ( ( cos ` p ) ^ 2 ) ) - 1 ) = -u 1 )
5950, 58eqtrd 2198 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` ( 2 x. p ) ) = -u 1 )
6059oveq1d 5857 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( -u 1 x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
6144sincld 11651 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) e. CC )
6261mulm1d 8308 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( -u 1 x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
6360, 62eqtrd 2198 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
6463oveq2d 5858 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - ( ( cos ` ( 2 x. p ) ) x. ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
6546, 48, 643eqtr3d 2206 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
6642sincld 11651 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) e. CC )
6744coscld 11652 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) e. CC )
6866, 67mulcld 7919 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) e. CC )
6968, 61subnegd 8216 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) - -u ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
7065, 69eqtrd 2198 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
71 sin2t 11690 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. CC -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
7219, 71syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
7351oveq2d 5858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = ( ( sin ` p ) x. 0 ) )
7419sincld 11651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` p ) e. CC )
7574mul01d 8291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. 0 ) = 0 )
7673, 75eqtrd 2198 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = 0 )
7776oveq2d 5858 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
7877, 54eqtrdi 2215 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = 0 )
7972, 78eqtrd 2198 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 )
8079oveq1d 5857 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( 0 x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
8167mul02d 8290 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 0 x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = 0 )
8280, 81eqtrd 2198 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = 0 )
8382oveq1d 5857 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) x. ( cos ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( 0 + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
8470, 83eqtrd 2198 . . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( 0 + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) )
8561addid2d 8048 . . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 0 + ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) ) = ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
8684, 85eqtrd 2198 . . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( sin ` x ) = ( sin ` ( ( 2 x. p ) - x ) ) )
8741, 86breqtrrd 4010 . . . . . 6 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) /\ x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( sin ` x ) )
8887ralrimiva 2539 . . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) -> A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
892, 88jca 304 . . . 4 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( cos ` p ) = 0 ) -> ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) )
9089ex 114 . . 3 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( ( cos ` p ) = 0 -> ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) ) )
9190reximia 2561 . 2 |- ( E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( cos ` p ) = 0 -> E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) )
921, 91ax-mp 5 1 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   RR*cxr 7932   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   -ucneg 8070   2c2 8908   (,)cioo 9824   (,]cioc 9825   ^cexp 10454   sincsin 11585   cosccos 11586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873  ax-pre-suploc 7874  ax-addf 7875  ax-mulf 7876
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-disj 3960  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-of 6050  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-map 6616  df-pm 6617  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-9 8923  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-ioo 9828  df-ioc 9829  df-ico 9830  df-icc 9831  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-bc 10661  df-ihash 10689  df-shft 10757  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295  df-ef 11589  df-sin 11591  df-cos 11592  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-ntr 12736  df-cn 12828  df-cnp 12829  df-tx 12893  df-cncf 13198  df-limced 13265  df-dvap 13266
This theorem is referenced by:  sin0pilem2  13343
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