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Theorem sin0pilem1 12875
Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
sin0pilem1  |-  E. p  e.  ( 1 (,) 2
) ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. x  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  x ) )
Distinct variable group:    x, p

Proof of Theorem sin0pilem1
StepHypRef Expression
1 cosz12 12874 . 2  |-  E. p  e.  ( 1 (,) 2
) ( cos `  p
)  =  0
2 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p )  =  0 )  -> 
( cos `  p
)  =  0 )
3 2re 8797 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
43a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  2  e.  RR )
5 elioore 9702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  p  e.  RR )
65ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  p  e.  RR )
74, 6remulcld 7803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( 2  x.  p )  e.  RR )
8 elioore 9702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p
) )  ->  x  e.  RR )
98adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  x  e.  RR )
107, 9resubcld 8150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
2  x.  p )  -  x )  e.  RR )
11 eliooord 9718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p
) )  ->  (
p  <  x  /\  x  <  ( 2  x.  p ) ) )
1211simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p
) )  ->  x  <  ( 2  x.  p
) )
1312adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  x  <  ( 2  x.  p ) )
149, 7posdifd 8301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( x  <  ( 2  x.  p
)  <->  0  <  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) )
1513, 14mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  0  <  ( ( 2  x.  p
)  -  x ) )
1611simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p
) )  ->  p  <  x )
1716adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  p  <  x )
186, 9, 7, 17ltsub2dd 8327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
2  x.  p )  -  x )  < 
( ( 2  x.  p )  -  p
) )
196recnd 7801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  p  e.  CC )
2019mulid2d 7791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( 1  x.  p )  =  p )
2120oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
2  x.  p )  -  ( 1  x.  p ) )  =  ( ( 2  x.  p )  -  p
) )
2218, 21breqtrrd 3956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
2  x.  p )  -  x )  < 
( ( 2  x.  p )  -  (
1  x.  p ) ) )
234recnd 7801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  2  e.  CC )
24 1cnd 7789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  1  e.  CC )
2523, 24, 19subdird 8184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
2  -  1 )  x.  p )  =  ( ( 2  x.  p )  -  (
1  x.  p ) ) )
2622, 25breqtrrd 3956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
2  x.  p )  -  x )  < 
( ( 2  -  1 )  x.  p
) )
27 2m1e1 8845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  -  1 )  =  1
2827oveq1i 5784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  -  1 )  x.  p )  =  ( 1  x.  p
)
2928, 20syl5eq 2184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
2  -  1 )  x.  p )  =  p )
3026, 29breqtrd 3954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
2  x.  p )  -  x )  < 
p )
31 eliooord 9718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  (
1  <  p  /\  p  <  2 ) )
3231simprd 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  p  <  2 )
3332ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  p  <  2 )
3410, 6, 4, 30, 33lttrd 7895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
2  x.  p )  -  x )  <  2 )
3510, 4, 34ltled 7888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
2  x.  p )  -  x )  <_ 
2 )
36 0xr 7819 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
37 elioc2 9726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( 2  x.  p )  -  x
)  e.  ( 0 (,] 2 )  <->  ( (
( 2  x.  p
)  -  x )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 2  x.  p )  -  x
)  /\  ( (
2  x.  p )  -  x )  <_ 
2 ) ) )
3836, 3, 37mp2an 422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  p
)  -  x )  e.  ( 0 (,] 2 )  <->  ( (
( 2  x.  p
)  -  x )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 2  x.  p )  -  x
)  /\  ( (
2  x.  p )  -  x )  <_ 
2 ) )
3910, 15, 35, 38syl3anbrc 1165 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
2  x.  p )  -  x )  e.  ( 0 (,] 2
) )
40 sin02gt0 11477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  p
)  -  x )  e.  ( 0 (,] 2 )  ->  0  <  ( sin `  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) )
4139, 40syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  0  <  ( sin `  ( ( 2  x.  p )  -  x ) ) )
427recnd 7801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( 2  x.  p )  e.  CC )
439recnd 7801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  x  e.  CC )
4442, 43subcld 8080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
2  x.  p )  -  x )  e.  CC )
45 sinsub 11454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  p
)  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  p )  -  x
)  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( 2  x.  p
)  -  ( ( 2  x.  p )  -  x ) ) )  =  ( ( ( sin `  (
2  x.  p ) )  x.  ( cos `  ( ( 2  x.  p )  -  x
) ) )  -  ( ( cos `  (
2  x.  p ) )  x.  ( sin `  ( ( 2  x.  p )  -  x
) ) ) ) )
4642, 44, 45syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( sin `  ( ( 2  x.  p )  -  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) )  =  ( ( ( sin `  (
2  x.  p ) )  x.  ( cos `  ( ( 2  x.  p )  -  x
) ) )  -  ( ( cos `  (
2  x.  p ) )  x.  ( sin `  ( ( 2  x.  p )  -  x
) ) ) ) )
4742, 43nncand 8085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
2  x.  p )  -  ( ( 2  x.  p )  -  x ) )  =  x )
4847fveq2d 5425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( sin `  ( ( 2  x.  p )  -  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) )  =  ( sin `  x ) )
49 cos2t 11464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  p ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  p
) ^ 2 ) )  -  1 ) )
5019, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( cos `  ( 2  x.  p
) )  =  ( ( 2  x.  (
( cos `  p
) ^ 2 ) )  -  1 ) )
51 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( cos `  p )  =  0 )
5251sq0id 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( ( cos `  p ) ^
2 )  =  0 )
5352oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( cos `  p ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
54 2t0e0 8886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
5553, 54syl6eq 2188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( cos `  p ) ^ 2 ) )  =  0 )
5655oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
2  x.  ( ( cos `  p ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
57 df-neg 7943 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
5856, 57syl6eqr 2190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
2  x.  ( ( cos `  p ) ^ 2 ) )  -  1 )  = 
-u 1 )
5950, 58eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( cos `  ( 2  x.  p
) )  =  -u
1 )
6059oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( ( cos `  ( 2  x.  p ) )  x.  ( sin `  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) )  =  (
-u 1  x.  ( sin `  ( ( 2  x.  p )  -  x ) ) ) )
6144sincld 11424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( sin `  ( ( 2  x.  p )  -  x
) )  e.  CC )
6261mulm1d 8179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( -u 1  x.  ( sin `  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) )  =  -u ( sin `  ( ( 2  x.  p )  -  x ) ) )
6360, 62eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( ( cos `  ( 2  x.  p ) )  x.  ( sin `  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) )  =  -u ( sin `  ( ( 2  x.  p )  -  x ) ) )
6463oveq2d 5790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
( sin `  (
2  x.  p ) )  x.  ( cos `  ( ( 2  x.  p )  -  x
) ) )  -  ( ( cos `  (
2  x.  p ) )  x.  ( sin `  ( ( 2  x.  p )  -  x
) ) ) )  =  ( ( ( sin `  ( 2  x.  p ) )  x.  ( cos `  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) )  -  -u ( sin `  ( ( 2  x.  p )  -  x ) ) ) )
6546, 48, 643eqtr3d 2180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( sin `  x )  =  ( ( ( sin `  (
2  x.  p ) )  x.  ( cos `  ( ( 2  x.  p )  -  x
) ) )  -  -u ( sin `  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) ) )
6642sincld 11424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( sin `  ( 2  x.  p
) )  e.  CC )
6744coscld 11425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( cos `  ( ( 2  x.  p )  -  x
) )  e.  CC )
6866, 67mulcld 7793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( ( sin `  ( 2  x.  p ) )  x.  ( cos `  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) )  e.  CC )
6968, 61subnegd 8087 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
( sin `  (
2  x.  p ) )  x.  ( cos `  ( ( 2  x.  p )  -  x
) ) )  -  -u ( sin `  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) )  =  ( ( ( sin `  (
2  x.  p ) )  x.  ( cos `  ( ( 2  x.  p )  -  x
) ) )  +  ( sin `  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) ) )
7065, 69eqtrd 2172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( sin `  x )  =  ( ( ( sin `  (
2  x.  p ) )  x.  ( cos `  ( ( 2  x.  p )  -  x
) ) )  +  ( sin `  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) ) )
71 sin2t 11463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  p ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  p
)  x.  ( cos `  p ) ) ) )
7219, 71syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( sin `  ( 2  x.  p
) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  p )  x.  ( cos `  p
) ) ) )
7351oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( ( sin `  p )  x.  ( cos `  p
) )  =  ( ( sin `  p
)  x.  0 ) )
7419sincld 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( sin `  p )  e.  CC )
7574mul01d 8162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( ( sin `  p )  x.  0 )  =  0 )
7673, 75eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( ( sin `  p )  x.  ( cos `  p
) )  =  0 )
7776oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( sin `  p )  x.  ( cos `  p ) ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
7877, 54syl6eq 2188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( sin `  p )  x.  ( cos `  p ) ) )  =  0 )
7972, 78eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( sin `  ( 2  x.  p
) )  =  0 )
8079oveq1d 5789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( ( sin `  ( 2  x.  p ) )  x.  ( cos `  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) )  =  ( 0  x.  ( cos `  ( ( 2  x.  p )  -  x
) ) ) )
8167mul02d 8161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( 0  x.  ( cos `  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) )  =  0 )
8280, 81eqtrd 2172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( ( sin `  ( 2  x.  p ) )  x.  ( cos `  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) )  =  0 )
8382oveq1d 5789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( (
( sin `  (
2  x.  p ) )  x.  ( cos `  ( ( 2  x.  p )  -  x
) ) )  +  ( sin `  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) )  =  ( 0  +  ( sin `  ( ( 2  x.  p )  -  x
) ) ) )
8470, 83eqtrd 2172 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( sin `  x )  =  ( 0  +  ( sin `  ( ( 2  x.  p )  -  x
) ) ) )
8561addid2d 7919 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( 0  +  ( sin `  (
( 2  x.  p
)  -  x ) ) )  =  ( sin `  ( ( 2  x.  p )  -  x ) ) )
8684, 85eqtrd 2172 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  ( ( 2  x.  p )  -  x ) ) )
8741, 86breqtrrd 3956 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p
)  =  0 )  /\  x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) )  ->  0  <  ( sin `  x ) )
8887ralrimiva 2505 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p )  =  0 )  ->  A. x  e.  (
p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  x ) )
892, 88jca 304 . . . 4  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( cos `  p )  =  0 )  -> 
( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  x ) ) )
9089ex 114 . . 3  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  (
( cos `  p
)  =  0  -> 
( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  x ) ) ) )
9190reximia 2527 . 2  |-  ( E. p  e.  ( 1 (,) 2 ) ( cos `  p )  =  0  ->  E. p  e.  ( 1 (,) 2
) ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. x  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  x ) ) )
921, 91ax-mp 5 1  |-  E. p  e.  ( 1 (,) 2
) ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. x  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7625   RRcr 7626   0cc0 7627   1c1 7628    + caddc 7630    x. cmul 7632   RR*cxr 7806    < clt 7807    <_ cle 7808    - cmin 7940   -ucneg 7941   2c2 8778   (,)cioo 9678   (,]cioc 9679   ^cexp 10299   sincsin 11357   cosccos 11358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748  ax-addf 7749  ax-mulf 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-9 8793  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-ioo 9682  df-ioc 9683  df-ico 9684  df-icc 9685  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-bc 10501  df-ihash 10529  df-shft 10594  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363  df-cos 11364  df-rest 12132  df-topgen 12151  df-psmet 12166  df-xmet 12167  df-met 12168  df-bl 12169  df-mopn 12170  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-ntr 12275  df-cn 12367  df-cnp 12368  df-tx 12432  df-cncf 12737  df-limced 12804  df-dvap 12805
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