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Theorem cnptoprest2 12409
Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1 |- X = U. J
cnprest.2 |- Y = U. K
Assertion
Ref Expression
cnptoprest2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) )
Proof of Theorem cnptoprest2
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnprest.1 . . . . . . . 8 |- X = U. J
21toptopon 12185 . . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
32biimpi 119 . . . . . 6 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` X ) )
43ad2antrr 479 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
54adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
6 simplr 519 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> K e. Top )
76adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> K e. Top )
8 simpr 109 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
9 cnprcl2k 12375 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
105, 7, 8, 9syl3anc 1216 . . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
1110ex 114 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> P e. X ) )
124adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
13 cnprest.2 . . . . . . . . 9 |- Y = U. K
14 uniexg 4361 . . . . . . . . 9 |- ( K e. Top -> U. K e. _V )
1513, 14eqeltrid 2226 . . . . . . . 8 |- ( K e. Top -> Y e. _V )
166, 15syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> Y e. _V )
17 simprr 521 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> B C_ Y )
1816, 17ssexd 4068 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> B e. _V )
19 resttop 12339 . . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ B e. _V ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
206, 18, 19syl2anc 408 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
2120adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
22 simpr 109 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) )
23 cnprcl2k 12375 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( K ↾t B ) e. Top /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> P e. X )
2412, 21, 22, 23syl3anc 1216 . . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> P e. X )
2524ex 114 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) -> P e. X ) )
26 simprl 520 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> F : X --> B )
2726ffvelrnda 5555 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F ` P ) e. B )
2827biantrud 302 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( F ` P ) e. x <-> ( ( F ` P ) e. x /\ ( F ` P ) e. B ) ) )
29 elin 3259 . . . . . . . 8 |- ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) <-> ( ( F ` P ) e. x /\ ( F ` P ) e. B ) )
3028, 29syl6bbr 197 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( F ` P ) e. x <-> ( F ` P ) e. ( x i^i B ) ) )
31 imassrn 4892 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F " y ) C_ ran F
32 simplrl 524 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> F : X --> B )
3332frnd 5282 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ran F C_ B )
3431, 33sstrid 3108 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F " y ) C_ B )
3534biantrud 302 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( F " y ) C_ x <-> ( ( F " y ) C_ x /\ ( F " y ) C_ B ) ) )
36 ssin 3298 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F " y ) C_ x /\ ( F " y ) C_ B ) <-> ( F " y ) C_ ( x i^i B ) )
3735, 36syl6bb 195 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( F " y ) C_ x <-> ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) )
3837anbi2d 459 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) <-> ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
3938rexbidv 2438 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) <-> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
4030, 39imbi12d 233 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
4140ralbidv 2437 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> A. x e. K ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
42 vex 2689 . . . . . . . 8 |- x e. _V
4342inex1 4062 . . . . . . 7 |- ( x i^i B ) e. _V
4443a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) /\ x e. K ) -> ( x i^i B ) e. _V )
456adantr 274 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> K e. Top )
4618adantr 274 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> B e. _V )
47 elrest 12127 . . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ B e. _V ) -> ( z e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K z = ( x i^i B ) ) )
4845, 46, 47syl2anc 408 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( z e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K z = ( x i^i B ) ) )
49 eleq2 2203 . . . . . . . 8 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( F ` P ) e. z <-> ( F ` P ) e. ( x i^i B ) ) )
50 sseq2 3121 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( F " y ) C_ z <-> ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) )
5150anbi2d 459 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) <-> ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
5251rexbidv 2438 . . . . . . . 8 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) <-> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
5349, 52imbi12d 233 . . . . . . 7 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
5453adantl 275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) /\ z = ( x i^i B ) ) -> ( ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
5544, 48, 54ralxfr2d 4385 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> A. x e. K ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
5641, 55bitr4d 190 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) )
574adantr 274 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5813toptopon 12185 . . . . . . 7 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
5945, 58sylib 121 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
60 simpr 109 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> P e. X )
61 iscnp 12368 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) ) )
6257, 59, 60, 61syl3anc 1216 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) ) )
6317adantr 274 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> B C_ Y )
6432, 63fssd 5285 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> F : X --> Y )
6564biantrurd 303 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) ) )
6662, 65bitr4d 190 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) )
67 resttopon 12340 . . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ B C_ Y ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
6859, 63, 67syl2anc 408 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
69 iscnp 12368 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
7057, 68, 60, 69syl3anc 1216 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
7126biantrurd 303 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
7271adantr 274 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
7370, 72bitr4d 190 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) <-> A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) )
7456, 66, 733bitr4d 219 . . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) )
7574ex 114 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( P e. X -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) ) )
7611, 25, 75pm5.21ndd 694 1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   i^i cin 3070   C_ wss 3071   U.cuni 3736   ran crn 4540   "cima 4542   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ↾t crest 12120   Topctop 12164  TopOnctopon 12177   CnP ccnp 12355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-cnp 12358
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