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Theorem cnptoprest2 15264
Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1 |- X = U. J
cnprest.2 |- Y = U. K
Assertion
Ref Expression
cnptoprest2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) )
Proof of Theorem cnptoprest2
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnprest.1 . . . . . . . 8 |- X = U. J
21toptopon 15042 . . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
32biimpi 120 . . . . . 6 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` X ) )
43ad2antrr 492 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
54adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
6 simplr 533 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> K e. Top )
76adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> K e. Top )
8 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
9 cnprcl2k 15230 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
105, 7, 8, 9syl3anc 1278 . . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
1110ex 115 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> P e. X ) )
124adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
13 cnprest.2 . . . . . . . . 9 |- Y = U. K
14 uniexg 4580 . . . . . . . . 9 |- ( K e. Top -> U. K e. _V )
1513, 14eqeltrid 2325 . . . . . . . 8 |- ( K e. Top -> Y e. _V )
166, 15syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> Y e. _V )
17 simprr 537 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> B C_ Y )
1816, 17ssexd 4268 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> B e. _V )
19 resttop 15194 . . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ B e. _V ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
206, 18, 19syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
2120adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
22 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) )
23 cnprcl2k 15230 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( K ↾t B ) e. Top /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> P e. X )
2412, 21, 22, 23syl3anc 1278 . . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> P e. X )
2524ex 115 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) -> P e. X ) )
26 simprl 535 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> F : X --> B )
2726ffvelcdmda 5834 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F ` P ) e. B )
2827biantrud 304 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( F ` P ) e. x <-> ( ( F ` P ) e. x /\ ( F ` P ) e. B ) ) )
29 elin 3412 . . . . . . . 8 |- ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) <-> ( ( F ` P ) e. x /\ ( F ` P ) e. B ) )
3028, 29bitr4di 198 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( F ` P ) e. x <-> ( F ` P ) e. ( x i^i B ) ) )
31 imassrn 5132 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F " y ) C_ ran F
32 simplrl 541 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> F : X --> B )
3332frnd 5538 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ran F C_ B )
3431, 33sstrid 3259 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F " y ) C_ B )
3534biantrud 304 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( F " y ) C_ x <-> ( ( F " y ) C_ x /\ ( F " y ) C_ B ) ) )
36 ssin 3453 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F " y ) C_ x /\ ( F " y ) C_ B ) <-> ( F " y ) C_ ( x i^i B ) )
3735, 36bitrdi 196 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( F " y ) C_ x <-> ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) )
3837anbi2d 468 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) <-> ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
3938rexbidv 2551 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) <-> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
4030, 39imbi12d 234 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
4140ralbidv 2550 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> A. x e. K ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
42 vex 2824 . . . . . . . 8 |- x e. _V
4342inex1 4262 . . . . . . 7 |- ( x i^i B ) e. _V
4443a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) /\ x e. K ) -> ( x i^i B ) e. _V )
456adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> K e. Top )
4618adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> B e. _V )
47 elrest 13577 . . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ B e. _V ) -> ( z e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K z = ( x i^i B ) ) )
4845, 46, 47syl2anc 415 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( z e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K z = ( x i^i B ) ) )
49 eleq2 2302 . . . . . . . 8 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( F ` P ) e. z <-> ( F ` P ) e. ( x i^i B ) ) )
50 sseq2 3272 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( F " y ) C_ z <-> ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) )
5150anbi2d 468 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) <-> ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
5251rexbidv 2551 . . . . . . . 8 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) <-> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
5349, 52imbi12d 234 . . . . . . 7 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
5453adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) /\ z = ( x i^i B ) ) -> ( ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
5544, 48, 54ralxfr2d 4605 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> A. x e. K ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
5641, 55bitr4d 191 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) )
574adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5813toptopon 15042 . . . . . . 7 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
5945, 58sylib 122 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
60 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> P e. X )
61 iscnp 15223 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) ) )
6257, 59, 60, 61syl3anc 1278 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) ) )
6317adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> B C_ Y )
6432, 63fssd 5542 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> F : X --> Y )
6564biantrurd 305 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) ) )
6662, 65bitr4d 191 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) )
67 resttopon 15195 . . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ B C_ Y ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
6859, 63, 67syl2anc 415 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
69 iscnp 15223 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
7057, 68, 60, 69syl3anc 1278 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
7126biantrurd 305 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
7271adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
7370, 72bitr4d 191 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) <-> A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) )
7456, 66, 733bitr4d 220 . . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) )
7574ex 115 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( P e. X -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) ) )
7611, 25, 75pm5.21ndd 717 1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220   U.cuni 3930   ran crn 4770   "cima 4772   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   ↾t crest 13570   Topctop 15021  TopOnctopon 15034   CnP ccnp 15210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-cnp 15213
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