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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cnptoprest2 | Unicode version |
Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Apr-2023.) |
Ref | Expression |
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cnprest.1 |
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cnprest.2 |
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Ref | Expression |
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cnptoprest2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | cnprest.1 |
. . . . . . . 8
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2 | 1 | toptopon 11967 |
. . . . . . 7
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3 | 2 | biimpi 119 |
. . . . . 6
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4 | 3 | ad2antrr 475 |
. . . . 5
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5 | 4 | adantr 272 |
. . . 4
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6 | simplr 500 |
. . . . 5
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7 | 6 | adantr 272 |
. . . 4
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8 | simpr 109 |
. . . 4
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9 | cnprcl2k 12156 |
. . . 4
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10 | 5, 7, 8, 9 | syl3anc 1184 |
. . 3
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11 | 10 | ex 114 |
. 2
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12 | 4 | adantr 272 |
. . . 4
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13 | cnprest.2 |
. . . . . . . . 9
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14 | uniexg 4299 |
. . . . . . . . 9
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15 | 13, 14 | syl5eqel 2186 |
. . . . . . . 8
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16 | 6, 15 | syl 14 |
. . . . . . 7
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17 | simprr 502 |
. . . . . . 7
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18 | 16, 17 | ssexd 4008 |
. . . . . 6
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19 | resttop 12121 |
. . . . . 6
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20 | 6, 18, 19 | syl2anc 406 |
. . . . 5
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21 | 20 | adantr 272 |
. . . 4
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22 | simpr 109 |
. . . 4
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23 | cnprcl2k 12156 |
. . . 4
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24 | 12, 21, 22, 23 | syl3anc 1184 |
. . 3
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25 | 24 | ex 114 |
. 2
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26 | simprl 501 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 26 | ffvelrnda 5487 |
. . . . . . . . 9
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28 | 27 | biantrud 300 |
. . . . . . . 8
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29 | elin 3206 |
. . . . . . . 8
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30 | 28, 29 | syl6bbr 197 |
. . . . . . 7
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31 | imassrn 4828 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | simplrl 505 |
. . . . . . . . . . . . 13
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33 | 32 | frnd 5218 |
. . . . . . . . . . . 12
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34 | 31, 33 | syl5ss 3058 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | 34 | biantrud 300 |
. . . . . . . . . 10
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36 | ssin 3245 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 35, 36 | syl6bb 195 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | anbi2d 455 |
. . . . . . . 8
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39 | 38 | rexbidv 2397 |
. . . . . . 7
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40 | 30, 39 | imbi12d 233 |
. . . . . 6
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41 | 40 | ralbidv 2396 |
. . . . 5
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42 | vex 2644 |
. . . . . . . 8
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43 | 42 | inex1 4002 |
. . . . . . 7
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44 | 43 | a1i 9 |
. . . . . 6
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45 | 6 | adantr 272 |
. . . . . . 7
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46 | 18 | adantr 272 |
. . . . . . 7
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47 | elrest 11909 |
. . . . . . 7
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48 | 45, 46, 47 | syl2anc 406 |
. . . . . 6
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49 | eleq2 2163 |
. . . . . . . 8
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50 | sseq2 3071 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 50 | anbi2d 455 |
. . . . . . . . 9
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52 | 51 | rexbidv 2397 |
. . . . . . . 8
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53 | 49, 52 | imbi12d 233 |
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54 | 53 | adantl 273 |
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55 | 44, 48, 54 | ralxfr2d 4323 |
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56 | 41, 55 | bitr4d 190 |
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57 | 4 | adantr 272 |
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58 | 13 | toptopon 11967 |
. . . . . . 7
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59 | 45, 58 | sylib 121 |
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60 | simpr 109 |
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61 | iscnp 12149 |
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62 | 57, 59, 60, 61 | syl3anc 1184 |
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63 | 17 | adantr 272 |
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64 | 32, 63 | fssd 5221 |
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67 | resttopon 12122 |
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68 | 59, 63, 67 | syl2anc 406 |
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69 | iscnp 12149 |
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70 | 57, 68, 60, 69 | syl3anc 1184 |
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71 | 26 | biantrurd 301 |
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72 | 71 | adantr 272 |
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73 | 70, 72 | bitr4d 190 |
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74 | 56, 66, 73 | 3bitr4d 219 |
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75 | 74 | ex 114 |
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76 | 11, 25, 75 | pm5.21ndd 662 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-coll 3983 ax-sep 3986 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-ral 2380 df-rex 2381 df-reu 2382 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-id 4153 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-f1 5064 df-fo 5065 df-f1o 5066 df-fv 5067 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-map 6474 df-rest 11904 df-topgen 11923 df-top 11947 df-topon 11960 df-bases 11992 df-cnp 12140 |
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