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Theorem cnptoprest2 12190
Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1  |-  X  = 
U. J
cnprest.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnptoprest2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) ) )

Proof of Theorem cnptoprest2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnprest.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
21toptopon 11967 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
32biimpi 119 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
43ad2antrr 475 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
54adantr 272 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 simplr 500 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  K  e.  Top )
76adantr 272 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  K  e.  Top )
8 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
9 cnprcl2k 12156 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  X )
105, 7, 8, 9syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  P  e.  X )
1110ex 114 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  X ) )
124adantr 272 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
13 cnprest.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. K
14 uniexg 4299 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  _V )
1513, 14syl5eqel 2186 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  ->  Y  e.  _V )
166, 15syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  Y  e.  _V )
17 simprr 502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  B  C_  Y )
1816, 17ssexd 4008 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  B  e.  _V )
19 resttop 12121 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  e.  _V )  ->  ( Kt  B )  e.  Top )
206, 18, 19syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  ( Kt  B )  e.  Top )
2120adantr 272 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) )  -> 
( Kt  B )  e.  Top )
22 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) )
23 cnprcl2k 12156 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( Kt  B )  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P
) )  ->  P  e.  X )
2412, 21, 22, 23syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) )  ->  P  e.  X )
2524ex 114 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  ->  P  e.  X
) )
26 simprl 501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  F : X --> B )
2726ffvelrnda 5487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F `  P )  e.  B
)
2827biantrud 300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( F `  P )  e.  x  <->  ( ( F `
 P )  e.  x  /\  ( F `
 P )  e.  B ) ) )
29 elin 3206 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i 
B )  <->  ( ( F `  P )  e.  x  /\  ( F `  P )  e.  B ) )
3028, 29syl6bbr 197 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( F `  P )  e.  x  <->  ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B ) ) )
31 imassrn 4828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" y )  C_  ran  F
32 simplrl 505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  F : X
--> B )
3332frnd 5218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ran  F  C_  B )
3431, 33syl5ss 3058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F " y )  C_  B
)
3534biantrud 300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( F " y )  C_  x 
<->  ( ( F "
y )  C_  x  /\  ( F " y
)  C_  B )
) )
36 ssin 3245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F " y
)  C_  x  /\  ( F " y ) 
C_  B )  <->  ( F " y )  C_  (
x  i^i  B )
)
3735, 36syl6bb 195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( F " y )  C_  x 
<->  ( F " y
)  C_  ( x  i^i  B ) ) )
3837anbi2d 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( P  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  x )  <->  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) )
3938rexbidv 2397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  x )  <->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) )
4030, 39imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
4140ralbidv 2396 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B )  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
42 vex 2644 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
4342inex1 4002 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
4443a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  K )  ->  (
x  i^i  B )  e.  _V )
456adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  K  e.  Top )
4618adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  B  e.  _V )
47 elrest 11909 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  z  =  ( x  i^i  B ) ) )
4845, 46, 47syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( z  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  z  =  ( x  i^i  B ) ) )
49 eleq2 2163 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( F `  P
)  e.  z  <->  ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B ) ) )
50 sseq2 3071 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( F " y
)  C_  z  <->  ( F " y )  C_  (
x  i^i  B )
) )
5150anbi2d 455 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( P  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  z
)  <->  ( P  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) )
5251rexbidv 2397 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  ( E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  z )  <->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  ( x  i^i 
B ) ) ) )
5349, 52imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  z )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
5453adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( (
( F `  P
)  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  z )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
5544, 48, 54ralxfr2d 4323 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) )  <->  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
5641, 55bitr4d 190 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  A. z  e.  ( Kt  B ) ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) )
574adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5813toptopon 11967 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
5945, 58sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
60 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  P  e.  X )
61 iscnp 12149 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) ) ) ) )
6257, 59, 60, 61syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) ) ) ) )
6317adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  B  C_  Y
)
6432, 63fssd 5221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  F : X
--> Y )
6564biantrurd 301 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) ) ) ) )
6662, 65bitr4d 190 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
) ) )
67 resttopon 12122 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  C_  Y )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )
6859, 63, 67syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( Kt  B
)  e.  (TopOn `  B ) )
69 iscnp 12149 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B )  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  <-> 
( F : X --> B  /\  A. z  e.  ( Kt  B ) ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) ) )
7057, 68, 60, 69syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  <->  ( F : X --> B  /\  A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) ) )
7126biantrurd 301 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  ( A. z  e.  ( Kt  B ) ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) )  <->  ( F : X --> B  /\  A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) ) )
7271adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) )  <->  ( F : X --> B  /\  A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) ) )
7370, 72bitr4d 190 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  <->  A. z  e.  ( Kt  B ) ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) )
7456, 66, 733bitr4d 219 . . 3  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P
) ) )
7574ex 114 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  ( P  e.  X  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  <->  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) ) ) )
7611, 25, 75pm5.21ndd 662 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1299    e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   _Vcvv 2641    i^i cin 3020    C_ wss 3021   U.cuni 3683   ran crn 4478   "cima 4480   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   ↾t crest 11902   Topctop 11946  TopOnctopon 11959    CnP ccnp 12137
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-map 6474  df-rest 11904  df-topgen 11923  df-top 11947  df-topon 11960  df-bases 11992  df-cnp 12140
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