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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cnptoprest2 | Unicode version |
Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Apr-2023.) |
Ref | Expression |
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cnprest.1 |
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cnprest.2 |
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Ref | Expression |
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cnptoprest2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | cnprest.1 |
. . . . . . . 8
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2 | 1 | toptopon 13183 |
. . . . . . 7
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3 | 2 | biimpi 120 |
. . . . . 6
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4 | 3 | ad2antrr 488 |
. . . . 5
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5 | 4 | adantr 276 |
. . . 4
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6 | simplr 528 |
. . . . 5
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7 | 6 | adantr 276 |
. . . 4
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8 | simpr 110 |
. . . 4
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9 | cnprcl2k 13373 |
. . . 4
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10 | 5, 7, 8, 9 | syl3anc 1238 |
. . 3
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11 | 10 | ex 115 |
. 2
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12 | 4 | adantr 276 |
. . . 4
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13 | cnprest.2 |
. . . . . . . . 9
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14 | uniexg 4436 |
. . . . . . . . 9
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15 | 13, 14 | eqeltrid 2264 |
. . . . . . . 8
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16 | 6, 15 | syl 14 |
. . . . . . 7
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17 | simprr 531 |
. . . . . . 7
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18 | 16, 17 | ssexd 4140 |
. . . . . 6
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19 | resttop 13337 |
. . . . . 6
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20 | 6, 18, 19 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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21 | 20 | adantr 276 |
. . . 4
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22 | simpr 110 |
. . . 4
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23 | cnprcl2k 13373 |
. . . 4
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24 | 12, 21, 22, 23 | syl3anc 1238 |
. . 3
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25 | 24 | ex 115 |
. 2
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26 | simprl 529 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 26 | ffvelcdmda 5647 |
. . . . . . . . 9
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28 | 27 | biantrud 304 |
. . . . . . . 8
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29 | elin 3318 |
. . . . . . . 8
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30 | 28, 29 | bitr4di 198 |
. . . . . . 7
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31 | imassrn 4977 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | simplrl 535 |
. . . . . . . . . . . . 13
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33 | 32 | frnd 5371 |
. . . . . . . . . . . 12
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34 | 31, 33 | sstrid 3166 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | 34 | biantrud 304 |
. . . . . . . . . 10
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36 | ssin 3357 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 35, 36 | bitrdi 196 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | anbi2d 464 |
. . . . . . . 8
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39 | 38 | rexbidv 2478 |
. . . . . . 7
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40 | 30, 39 | imbi12d 234 |
. . . . . 6
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41 | 40 | ralbidv 2477 |
. . . . 5
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42 | vex 2740 |
. . . . . . . 8
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43 | 42 | inex1 4134 |
. . . . . . 7
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44 | 43 | a1i 9 |
. . . . . 6
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45 | 6 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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46 | 18 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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47 | elrest 12643 |
. . . . . . 7
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48 | 45, 46, 47 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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49 | eleq2 2241 |
. . . . . . . 8
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50 | sseq2 3179 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 50 | anbi2d 464 |
. . . . . . . . 9
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52 | 51 | rexbidv 2478 |
. . . . . . . 8
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53 | 49, 52 | imbi12d 234 |
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54 | 53 | adantl 277 |
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55 | 44, 48, 54 | ralxfr2d 4461 |
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56 | 41, 55 | bitr4d 191 |
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57 | 4 | adantr 276 |
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58 | 13 | toptopon 13183 |
. . . . . . 7
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59 | 45, 58 | sylib 122 |
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60 | simpr 110 |
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61 | iscnp 13366 |
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62 | 57, 59, 60, 61 | syl3anc 1238 |
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63 | 17 | adantr 276 |
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64 | 32, 63 | fssd 5374 |
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66 | 62, 65 | bitr4d 191 |
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67 | resttopon 13338 |
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68 | 59, 63, 67 | syl2anc 411 |
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69 | iscnp 13366 |
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70 | 57, 68, 60, 69 | syl3anc 1238 |
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71 | 26 | biantrurd 305 |
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72 | 71 | adantr 276 |
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73 | 70, 72 | bitr4d 191 |
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74 | 56, 66, 73 | 3bitr4d 220 |
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75 | 74 | ex 115 |
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76 | 11, 25, 75 | pm5.21ndd 705 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-id 4290 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-map 6644 df-rest 12638 df-topgen 12657 df-top 13163 df-topon 13176 df-bases 13208 df-cnp 13356 |
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