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Theorem cnptoprest2 15105
Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1 |- X = U. J
cnprest.2 |- Y = U. K
Assertion
Ref Expression
cnptoprest2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) )
Proof of Theorem cnptoprest2
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnprest.1 . . . . . . . 8 |- X = U. J
21toptopon 14883 . . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
32biimpi 120 . . . . . 6 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` X ) )
43ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
54adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
6 simplr 529 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> K e. Top )
76adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> K e. Top )
8 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
9 cnprcl2k 15071 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
105, 7, 8, 9syl3anc 1274 . . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
1110ex 115 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> P e. X ) )
124adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
13 cnprest.2 . . . . . . . . 9 |- Y = U. K
14 uniexg 4560 . . . . . . . . 9 |- ( K e. Top -> U. K e. _V )
1513, 14eqeltrid 2319 . . . . . . . 8 |- ( K e. Top -> Y e. _V )
166, 15syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> Y e. _V )
17 simprr 533 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> B C_ Y )
1816, 17ssexd 4250 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> B e. _V )
19 resttop 15035 . . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ B e. _V ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
206, 18, 19syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
2120adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
22 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) )
23 cnprcl2k 15071 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( K ↾t B ) e. Top /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> P e. X )
2412, 21, 22, 23syl3anc 1274 . . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> P e. X )
2524ex 115 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) -> P e. X ) )
26 simprl 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> F : X --> B )
2726ffvelcdmda 5812 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F ` P ) e. B )
2827biantrud 304 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( F ` P ) e. x <-> ( ( F ` P ) e. x /\ ( F ` P ) e. B ) ) )
29 elin 3402 . . . . . . . 8 |- ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) <-> ( ( F ` P ) e. x /\ ( F ` P ) e. B ) )
3028, 29bitr4di 198 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( F ` P ) e. x <-> ( F ` P ) e. ( x i^i B ) ) )
31 imassrn 5112 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F " y ) C_ ran F
32 simplrl 537 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> F : X --> B )
3332frnd 5518 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ran F C_ B )
3431, 33sstrid 3249 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F " y ) C_ B )
3534biantrud 304 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( F " y ) C_ x <-> ( ( F " y ) C_ x /\ ( F " y ) C_ B ) ) )
36 ssin 3443 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F " y ) C_ x /\ ( F " y ) C_ B ) <-> ( F " y ) C_ ( x i^i B ) )
3735, 36bitrdi 196 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( F " y ) C_ x <-> ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) )
3837anbi2d 464 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) <-> ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
3938rexbidv 2543 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) <-> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
4030, 39imbi12d 234 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
4140ralbidv 2542 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> A. x e. K ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
42 vex 2816 . . . . . . . 8 |- x e. _V
4342inex1 4244 . . . . . . 7 |- ( x i^i B ) e. _V
4443a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) /\ x e. K ) -> ( x i^i B ) e. _V )
456adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> K e. Top )
4618adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> B e. _V )
47 elrest 13459 . . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ B e. _V ) -> ( z e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K z = ( x i^i B ) ) )
4845, 46, 47syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( z e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K z = ( x i^i B ) ) )
49 eleq2 2296 . . . . . . . 8 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( F ` P ) e. z <-> ( F ` P ) e. ( x i^i B ) ) )
50 sseq2 3262 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( F " y ) C_ z <-> ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) )
5150anbi2d 464 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) <-> ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
5251rexbidv 2543 . . . . . . . 8 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) <-> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
5349, 52imbi12d 234 . . . . . . 7 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
5453adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) /\ z = ( x i^i B ) ) -> ( ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
5544, 48, 54ralxfr2d 4585 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> A. x e. K ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
5641, 55bitr4d 191 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) )
574adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5813toptopon 14883 . . . . . . 7 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
5945, 58sylib 122 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
60 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> P e. X )
61 iscnp 15064 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) ) )
6257, 59, 60, 61syl3anc 1274 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) ) )
6317adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> B C_ Y )
6432, 63fssd 5522 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> F : X --> Y )
6564biantrurd 305 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) ) )
6662, 65bitr4d 191 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) )
67 resttopon 15036 . . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ B C_ Y ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
6859, 63, 67syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
69 iscnp 15064 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
7057, 68, 60, 69syl3anc 1274 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
7126biantrurd 305 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
7271adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
7370, 72bitr4d 191 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) <-> A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) )
7456, 66, 733bitr4d 220 . . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) )
7574ex 115 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( P e. X -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) ) )
7611, 25, 75pm5.21ndd 713 1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   i^i cin 3210   C_ wss 3211   U.cuni 3914   ran crn 4750   "cima 4752   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   ↾t crest 13452   Topctop 14862  TopOnctopon 14875   CnP ccnp 15051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-rest 13454  df-topgen 13473  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-cnp 15054
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