ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnptoprest2 Unicode version

Theorem cnptoprest2 13311
Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1  |-  X  = 
U. J
cnprest.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnptoprest2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) ) )

Proof of Theorem cnptoprest2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnprest.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
21toptopon 13087 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
32biimpi 120 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
43ad2antrr 488 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
54adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 simplr 528 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  K  e.  Top )
76adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  K  e.  Top )
8 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
9 cnprcl2k 13277 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  X )
105, 7, 8, 9syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  P  e.  X )
1110ex 115 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  X ) )
124adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
13 cnprest.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. K
14 uniexg 4433 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  _V )
1513, 14eqeltrid 2262 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  ->  Y  e.  _V )
166, 15syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  Y  e.  _V )
17 simprr 531 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  B  C_  Y )
1816, 17ssexd 4138 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  B  e.  _V )
19 resttop 13241 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  e.  _V )  ->  ( Kt  B )  e.  Top )
206, 18, 19syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  ( Kt  B )  e.  Top )
2120adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) )  -> 
( Kt  B )  e.  Top )
22 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) )
23 cnprcl2k 13277 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( Kt  B )  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P
) )  ->  P  e.  X )
2412, 21, 22, 23syl3anc 1238 . . 3  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) )  ->  P  e.  X )
2524ex 115 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  ->  P  e.  X
) )
26 simprl 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  F : X --> B )
2726ffvelcdmda 5643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F `  P )  e.  B
)
2827biantrud 304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( F `  P )  e.  x  <->  ( ( F `
 P )  e.  x  /\  ( F `
 P )  e.  B ) ) )
29 elin 3316 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i 
B )  <->  ( ( F `  P )  e.  x  /\  ( F `  P )  e.  B ) )
3028, 29bitr4di 198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( F `  P )  e.  x  <->  ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B ) ) )
31 imassrn 4974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" y )  C_  ran  F
32 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  F : X
--> B )
3332frnd 5367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ran  F  C_  B )
3431, 33sstrid 3164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F " y )  C_  B
)
3534biantrud 304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( F " y )  C_  x 
<->  ( ( F "
y )  C_  x  /\  ( F " y
)  C_  B )
) )
36 ssin 3355 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F " y
)  C_  x  /\  ( F " y ) 
C_  B )  <->  ( F " y )  C_  (
x  i^i  B )
)
3735, 36bitrdi 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( F " y )  C_  x 
<->  ( F " y
)  C_  ( x  i^i  B ) ) )
3837anbi2d 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( P  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  x )  <->  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) )
3938rexbidv 2476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  x )  <->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) )
4030, 39imbi12d 234 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
4140ralbidv 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B )  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
42 vex 2738 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
4342inex1 4132 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
4443a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  K )  ->  (
x  i^i  B )  e.  _V )
456adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  K  e.  Top )
4618adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  B  e.  _V )
47 elrest 12617 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  z  =  ( x  i^i  B ) ) )
4845, 46, 47syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( z  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  z  =  ( x  i^i  B ) ) )
49 eleq2 2239 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( F `  P
)  e.  z  <->  ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B ) ) )
50 sseq2 3177 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( F " y
)  C_  z  <->  ( F " y )  C_  (
x  i^i  B )
) )
5150anbi2d 464 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( P  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  z
)  <->  ( P  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) )
5251rexbidv 2476 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  ( E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  z )  <->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  ( x  i^i 
B ) ) ) )
5349, 52imbi12d 234 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  z )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
5453adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( (
( F `  P
)  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  z )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
5544, 48, 54ralxfr2d 4458 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) )  <->  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  ( x  i^i  B
)  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  ( x  i^i  B ) ) ) ) )
5641, 55bitr4d 191 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  A. z  e.  ( Kt  B ) ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) )
574adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5813toptopon 13087 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
5945, 58sylib 122 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
60 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  P  e.  X )
61 iscnp 13270 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) ) ) ) )
6257, 59, 60, 61syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) ) ) ) )
6317adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  B  C_  Y
)
6432, 63fssd 5370 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  F : X
--> Y )
6564biantrurd 305 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  K  (
( F `  P
)  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  x ) ) ) ) )
6662, 65bitr4d 191 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  A. x  e.  K  ( ( F `  P )  e.  x  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  x )
) ) )
67 resttopon 13242 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  C_  Y )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )
6859, 63, 67syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( Kt  B
)  e.  (TopOn `  B ) )
69 iscnp 13270 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B )  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  <-> 
( F : X --> B  /\  A. z  e.  ( Kt  B ) ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) ) )
7057, 68, 60, 69syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  <->  ( F : X --> B  /\  A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) ) )
7126biantrurd 305 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  ( A. z  e.  ( Kt  B ) ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) )  <->  ( F : X --> B  /\  A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) ) )
7271adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) )  <->  ( F : X --> B  /\  A. z  e.  ( Kt  B
) ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) ) )
7370, 72bitr4d 191 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P )  <->  A. z  e.  ( Kt  B ) ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. y  e.  J  ( P  e.  y  /\  ( F " y )  C_  z ) ) ) )
7456, 66, 733bitr4d 220 . . 3  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y ) )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P
) ) )
7574ex 115 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  ( P  e.  X  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  <->  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) ) ) )
7611, 25, 75pm5.21ndd 705 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> B  /\  B  C_  Y
) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  F  e.  ( ( J  CnP  ( Kt  B ) ) `  P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   _Vcvv 2735    i^i cin 3126    C_ wss 3127   U.cuni 3805   ran crn 4621   "cima 4623   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   ↾t crest 12610   Topctop 13066  TopOnctopon 13079    CnP ccnp 13257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-map 6640  df-rest 12612  df-topgen 12631  df-top 13067  df-topon 13080  df-bases 13112  df-cnp 13260
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator