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Theorem cnptoprest2 13407
Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1 |- X = U. J
cnprest.2 |- Y = U. K
Assertion
Ref Expression
cnptoprest2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) )
Proof of Theorem cnptoprest2
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnprest.1 . . . . . . . 8 |- X = U. J
21toptopon 13183 . . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
32biimpi 120 . . . . . 6 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` X ) )
43ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
54adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
6 simplr 528 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> K e. Top )
76adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> K e. Top )
8 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
9 cnprcl2k 13373 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
105, 7, 8, 9syl3anc 1238 . . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )
1110ex 115 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> P e. X ) )
124adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
13 cnprest.2 . . . . . . . . 9 |- Y = U. K
14 uniexg 4436 . . . . . . . . 9 |- ( K e. Top -> U. K e. _V )
1513, 14eqeltrid 2264 . . . . . . . 8 |- ( K e. Top -> Y e. _V )
166, 15syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> Y e. _V )
17 simprr 531 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> B C_ Y )
1816, 17ssexd 4140 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> B e. _V )
19 resttop 13337 . . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ B e. _V ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
206, 18, 19syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
2120adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
22 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) )
23 cnprcl2k 13373 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( K ↾t B ) e. Top /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> P e. X )
2412, 21, 22, 23syl3anc 1238 . . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) -> P e. X )
2524ex 115 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) -> P e. X ) )
26 simprl 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> F : X --> B )
2726ffvelcdmda 5647 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F ` P ) e. B )
2827biantrud 304 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( F ` P ) e. x <-> ( ( F ` P ) e. x /\ ( F ` P ) e. B ) ) )
29 elin 3318 . . . . . . . 8 |- ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) <-> ( ( F ` P ) e. x /\ ( F ` P ) e. B ) )
3028, 29bitr4di 198 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( F ` P ) e. x <-> ( F ` P ) e. ( x i^i B ) ) )
31 imassrn 4977 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F " y ) C_ ran F
32 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> F : X --> B )
3332frnd 5371 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ran F C_ B )
3431, 33sstrid 3166 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F " y ) C_ B )
3534biantrud 304 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( F " y ) C_ x <-> ( ( F " y ) C_ x /\ ( F " y ) C_ B ) ) )
36 ssin 3357 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F " y ) C_ x /\ ( F " y ) C_ B ) <-> ( F " y ) C_ ( x i^i B ) )
3735, 36bitrdi 196 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( F " y ) C_ x <-> ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) )
3837anbi2d 464 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) <-> ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
3938rexbidv 2478 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) <-> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
4030, 39imbi12d 234 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
4140ralbidv 2477 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> A. x e. K ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
42 vex 2740 . . . . . . . 8 |- x e. _V
4342inex1 4134 . . . . . . 7 |- ( x i^i B ) e. _V
4443a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) /\ x e. K ) -> ( x i^i B ) e. _V )
456adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> K e. Top )
4618adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> B e. _V )
47 elrest 12643 . . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ B e. _V ) -> ( z e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K z = ( x i^i B ) ) )
4845, 46, 47syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( z e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K z = ( x i^i B ) ) )
49 eleq2 2241 . . . . . . . 8 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( F ` P ) e. z <-> ( F ` P ) e. ( x i^i B ) ) )
50 sseq2 3179 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( F " y ) C_ z <-> ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) )
5150anbi2d 464 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) <-> ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
5251rexbidv 2478 . . . . . . . 8 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) <-> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
5349, 52imbi12d 234 . . . . . . 7 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
5453adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) /\ z = ( x i^i B ) ) -> ( ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
5544, 48, 54ralxfr2d 4461 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> A. x e. K ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
5641, 55bitr4d 191 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) )
574adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5813toptopon 13183 . . . . . . 7 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
5945, 58sylib 122 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
60 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> P e. X )
61 iscnp 13366 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) ) )
6257, 59, 60, 61syl3anc 1238 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) ) )
6317adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> B C_ Y )
6432, 63fssd 5374 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> F : X --> Y )
6564biantrurd 305 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) ) )
6662, 65bitr4d 191 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) )
67 resttopon 13338 . . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ B C_ Y ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
6859, 63, 67syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
69 iscnp 13366 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
7057, 68, 60, 69syl3anc 1238 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
7126biantrurd 305 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
7271adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
7370, 72bitr4d 191 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) <-> A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) )
7456, 66, 733bitr4d 220 . . 3 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) )
7574ex 115 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( P e. X -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) ) )
7611, 25, 75pm5.21ndd 705 1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : X --> B /\ B C_ Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   i^i cin 3128   C_ wss 3129   U.cuni 3807   ran crn 4624   "cima 4626   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   ↾t crest 12636   Topctop 13162  TopOnctopon 13175   CnP ccnp 13353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-map 6644  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-cnp 13356
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