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Theorem cnptopresti 13978
Description: One direction of cnptoprest 13979 under the weaker condition that the point is in the subset rather than the interior of the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
cnptopresti |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) )
Proof of Theorem cnptopresti
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
2 toptopon2 13759 . . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
32biimpi 120 . . . . 5 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` U. K ) )
43ad2antlr 489 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
5 simpr3 1006 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
6 cnpf2 13947 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> U. K )
71, 4, 5, 6syl3anc 1248 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> F : X --> U. K )
8 simpr1 1004 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> A C_ X )
97, 8fssresd 5404 . 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( F |` A ) : A --> U. K )
10 simplr2 1041 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> P e. A )
11 fvres 5551 . . . . . 6 |- ( P e. A -> ( ( F |` A ) ` P ) = ( F ` P ) )
1210, 11syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( F |` A ) ` P ) = ( F ` P ) )
1312eleq1d 2256 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y <-> ( F ` P ) e. y ) )
141ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> J e. (TopOn ` X ) )
154ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
168ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> A C_ X )
17 simpr2 1005 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> P e. A )
1817ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> P e. A )
1916, 18sseldd 3168 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> P e. X )
205ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
21 simplr 528 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> y e. K )
22 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> ( F ` P ) e. y )
23 icnpimaex 13951 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ P e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) )
2414, 15, 19, 20, 21, 22, 23syl33anc 1263 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) )
2524ex 115 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
26 idd 21 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( P e. x -> P e. x ) )
2726, 17jctird 317 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( P e. x -> ( P e. x /\ P e. A ) ) )
28 elin 3330 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( x i^i A ) <-> ( P e. x /\ P e. A ) )
2927, 28imbitrrdi 162 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( P e. x -> P e. ( x i^i A ) ) )
30 inss1 3367 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i A ) C_ x
31 imass2 5016 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i A ) C_ x -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ ( F " x ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( F " ( x i^i A ) ) C_ ( F " x )
33 id 19 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " x ) C_ y -> ( F " x ) C_ y )
3432, 33sstrid 3178 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F " x ) C_ y -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y )
3534a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( ( F " x ) C_ y -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
3629, 35anim12d 335 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( P e. ( x i^i A ) /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
3736reximdv 2588 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. x e. J ( P e. ( x i^i A ) /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
38 vex 2752 . . . . . . . . . 10 |- x e. _V
3938inex1 4149 . . . . . . . . 9 |- ( x i^i A ) e. _V
4039a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ x e. J ) -> ( x i^i A ) e. _V )
41 topontop 13754 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
4241ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> J e. Top )
43 uniexg 4451 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> U. J e. _V )
45 toponuni 13755 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
4645sseq2d 3197 . . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A C_ X <-> A C_ U. J ) )
4746ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( A C_ X <-> A C_ U. J ) )
488, 47mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> A C_ U. J )
4944, 48ssexd 4155 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> A e. _V )
50 elrest 12712 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. x e. J z = ( x i^i A ) ) )
5142, 49, 50syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. x e. J z = ( x i^i A ) ) )
52 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> z = ( x i^i A ) )
5352eleq2d 2257 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( P e. z <-> P e. ( x i^i A ) ) )
5452imaeq2d 4982 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( F |` A ) " z ) = ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) )
55 inss2 3368 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i A ) C_ A
56 resima2 4953 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i A ) C_ A -> ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) = ( F " ( x i^i A ) ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) = ( F " ( x i^i A ) )
5854, 57eqtrdi 2236 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( F |` A ) " z ) = ( F " ( x i^i A ) ) )
5958sseq1d 3196 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( ( F |` A ) " z ) C_ y <-> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
6053, 59anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) <-> ( P e. ( x i^i A ) /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
6140, 51, 60rexxfr2d 4477 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. ( x i^i A ) /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
6237, 61sylibrd 169 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
6362adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
6425, 63syld 45 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( F ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
6513, 64sylbid 150 . . 3 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
6665ralrimiva 2560 . 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
67 resttopon 13911 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
681, 8, 67syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
69 iscnp 13939 . . 3 |- ( ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ P e. A ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> ( ( F |` A ) : A --> U. K /\ A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
7068, 4, 17, 69syl3anc 1248 . 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> ( ( F |` A ) : A --> U. K /\ A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
719, 66, 70mpbir2and 945 1 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   A.wral 2465   E.wrex 2466   _Vcvv 2749   i^i cin 3140   C_ wss 3141   U.cuni 3821   |` cres 4640   "cima 4641   -->wf 5224   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   ↾t crest 12705   Topctop 13737  TopOnctopon 13750   CnP ccnp 13926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-map 6663  df-rest 12707  df-topgen 12726  df-top 13738  df-topon 13751  df-bases 13783  df-cnp 13929
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