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Theorem cnptopresti 12779
Description: One direction of cnptoprest 12780 under the weaker condition that the point is in the subset rather than the interior of the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
cnptopresti |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) )
Proof of Theorem cnptopresti
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
2 toptopon2 12558 . . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
32biimpi 119 . . . . 5 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` U. K ) )
43ad2antlr 481 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
5 simpr3 994 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
6 cnpf2 12748 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> U. K )
71, 4, 5, 6syl3anc 1227 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> F : X --> U. K )
8 simpr1 992 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> A C_ X )
97, 8fssresd 5358 . 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( F |` A ) : A --> U. K )
10 simplr2 1029 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> P e. A )
11 fvres 5504 . . . . . 6 |- ( P e. A -> ( ( F |` A ) ` P ) = ( F ` P ) )
1210, 11syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( F |` A ) ` P ) = ( F ` P ) )
1312eleq1d 2233 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y <-> ( F ` P ) e. y ) )
141ad2antrr 480 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> J e. (TopOn ` X ) )
154ad2antrr 480 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
168ad2antrr 480 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> A C_ X )
17 simpr2 993 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> P e. A )
1817ad2antrr 480 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> P e. A )
1916, 18sseldd 3138 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> P e. X )
205ad2antrr 480 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
21 simplr 520 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> y e. K )
22 simpr 109 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> ( F ` P ) e. y )
23 icnpimaex 12752 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ P e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) )
2414, 15, 19, 20, 21, 22, 23syl33anc 1242 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) )
2524ex 114 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
26 idd 21 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( P e. x -> P e. x ) )
2726, 17jctird 315 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( P e. x -> ( P e. x /\ P e. A ) ) )
28 elin 3300 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( x i^i A ) <-> ( P e. x /\ P e. A ) )
2927, 28syl6ibr 161 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( P e. x -> P e. ( x i^i A ) ) )
30 inss1 3337 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i A ) C_ x
31 imass2 4974 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i A ) C_ x -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ ( F " x ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( F " ( x i^i A ) ) C_ ( F " x )
33 id 19 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " x ) C_ y -> ( F " x ) C_ y )
3432, 33sstrid 3148 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F " x ) C_ y -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y )
3534a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( ( F " x ) C_ y -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
3629, 35anim12d 333 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( P e. ( x i^i A ) /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
3736reximdv 2565 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. x e. J ( P e. ( x i^i A ) /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
38 vex 2724 . . . . . . . . . 10 |- x e. _V
3938inex1 4110 . . . . . . . . 9 |- ( x i^i A ) e. _V
4039a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ x e. J ) -> ( x i^i A ) e. _V )
41 topontop 12553 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
4241ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> J e. Top )
43 uniexg 4411 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> U. J e. _V )
45 toponuni 12554 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
4645sseq2d 3167 . . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A C_ X <-> A C_ U. J ) )
4746ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( A C_ X <-> A C_ U. J ) )
488, 47mpbid 146 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> A C_ U. J )
4944, 48ssexd 4116 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> A e. _V )
50 elrest 12499 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. x e. J z = ( x i^i A ) ) )
5142, 49, 50syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. x e. J z = ( x i^i A ) ) )
52 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> z = ( x i^i A ) )
5352eleq2d 2234 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( P e. z <-> P e. ( x i^i A ) ) )
5452imaeq2d 4940 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( F |` A ) " z ) = ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) )
55 inss2 3338 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i A ) C_ A
56 resima2 4912 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i A ) C_ A -> ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) = ( F " ( x i^i A ) ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) = ( F " ( x i^i A ) )
5854, 57eqtrdi 2213 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( F |` A ) " z ) = ( F " ( x i^i A ) ) )
5958sseq1d 3166 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( ( F |` A ) " z ) C_ y <-> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
6053, 59anbi12d 465 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) <-> ( P e. ( x i^i A ) /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
6140, 51, 60rexxfr2d 4437 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. ( x i^i A ) /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
6237, 61sylibrd 168 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
6362adantr 274 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
6425, 63syld 45 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( F ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
6513, 64sylbid 149 . . 3 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
6665ralrimiva 2537 . 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
67 resttopon 12712 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
681, 8, 67syl2anc 409 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
69 iscnp 12740 . . 3 |- ( ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ P e. A ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> ( ( F |` A ) : A --> U. K /\ A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
7068, 4, 17, 69syl3anc 1227 . 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> ( ( F |` A ) : A --> U. K /\ A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
719, 66, 70mpbir2and 933 1 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 967   = wceq 1342   e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443   _Vcvv 2721   i^i cin 3110   C_ wss 3111   U.cuni 3783   |` cres 4600   "cima 4601   -->wf 5178   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   ↾t crest 12492   Topctop 12536  TopOnctopon 12549   CnP ccnp 12727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-map 6607  df-rest 12494  df-topgen 12513  df-top 12537  df-topon 12550  df-bases 12582  df-cnp 12730
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