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Theorem cnptopresti 12433
Description: One direction of cnptoprest 12434 under the weaker condition that the point is in the subset rather than the interior of the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
cnptopresti  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P ) )

Proof of Theorem cnptopresti
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 518 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2 toptopon2 12212 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
32biimpi 119 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
43ad2antlr 480 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
5 simpr3 989 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
6 cnpf2 12402 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> U. K )
71, 4, 5, 6syl3anc 1216 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  F : X --> U. K )
8 simpr1 987 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  A  C_  X )
97, 8fssresd 5302 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  ( F  |`  A ) : A --> U. K )
10 simplr2 1024 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
) )  /\  y  e.  K )  ->  P  e.  A )
11 fvres 5448 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 P )  =  ( F `  P
) )
1210, 11syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
) )  /\  y  e.  K )  ->  (
( F  |`  A ) `
 P )  =  ( F `  P
) )
1312eleq1d 2208 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
) )  /\  y  e.  K )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  <->  ( F `  P )  e.  y ) )
141ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( F `  P )  e.  y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
154ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( F `  P )  e.  y )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
168ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( F `  P )  e.  y )  ->  A  C_  X )
17 simpr2 988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  P  e.  A )
1817ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( F `  P )  e.  y )  ->  P  e.  A )
1916, 18sseldd 3098 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( F `  P )  e.  y )  ->  P  e.  X )
205ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( F `  P )  e.  y )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
21 simplr 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( F `  P )  e.  y )  ->  y  e.  K )
22 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( F `  P )  e.  y )  ->  ( F `  P )  e.  y )
23 icnpimaex 12406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  P  e.  X
)  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )
2414, 15, 19, 20, 21, 22, 23syl33anc 1231 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( F `  P )  e.  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )
2524ex 114 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
) )  /\  y  e.  K )  ->  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) )
26 idd 21 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  ( P  e.  x  ->  P  e.  x ) )
2726, 17jctird 315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  ( P  e.  x  ->  ( P  e.  x  /\  P  e.  A )
) )
28 elin 3259 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( x  i^i 
A )  <->  ( P  e.  x  /\  P  e.  A ) )
2927, 28syl6ibr 161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  ( P  e.  x  ->  P  e.  ( x  i^i 
A ) ) )
30 inss1 3296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
31 imass2 4918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  x  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  ( F " x ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" ( x  i^i 
A ) )  C_  ( F " x )
33 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( F " x )  C_  y )
3432, 33sstrid 3108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )
3534a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  (
( F " x
)  C_  y  ->  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) )
3629, 35anim12d 333 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  (
( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )  ->  ( P  e.  ( x  i^i  A )  /\  ( F "
( x  i^i  A
) )  C_  y
) ) )
3736reximdv 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  (
x  i^i  A )  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
) )
38 vex 2689 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
3938inex1 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
4039a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
) )  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  A )  e.  _V )
41 topontop 12207 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
4241ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  J  e.  Top )
43 uniexg 4364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  U. J  e.  _V )
45 toponuni 12208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
4645sseq2d 3127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A  C_  X  <->  A  C_  U. J
) )
4746ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  ( A  C_  X  <->  A  C_  U. J
) )
488, 47mpbid 146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  A  C_ 
U. J )
4944, 48ssexd 4071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  A  e.  _V )
50 elrest 12153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
5142, 49, 50syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  (
z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
52 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
) )  /\  z  =  ( x  i^i 
A ) )  -> 
z  =  ( x  i^i  A ) )
5352eleq2d 2209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
) )  /\  z  =  ( x  i^i 
A ) )  -> 
( P  e.  z  <-> 
P  e.  ( x  i^i  A ) ) )
5452imaeq2d 4884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
) )  /\  z  =  ( x  i^i 
A ) )  -> 
( ( F  |`  A ) " z
)  =  ( ( F  |`  A ) " ( x  i^i 
A ) ) )
55 inss2 3297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
56 resima2 4856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  A  ->  (
( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  A ) " ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
)
5854, 57eqtrdi 2188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
) )  /\  z  =  ( x  i^i 
A ) )  -> 
( ( F  |`  A ) " z
)  =  ( F
" ( x  i^i 
A ) ) )
5958sseq1d 3126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
) )  /\  z  =  ( x  i^i 
A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) " z
)  C_  y  <->  ( F " ( x  i^i  A
) )  C_  y
) )
6053, 59anbi12d 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
) )  /\  z  =  ( x  i^i 
A ) )  -> 
( ( P  e.  z  /\  ( ( F  |`  A ) " z )  C_  y )  <->  ( P  e.  ( x  i^i  A
)  /\  ( F " ( x  i^i  A
) )  C_  y
) ) )
6140, 51, 60rexxfr2d 4389 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  ( x  i^i  A
)  /\  ( F " ( x  i^i  A
) )  C_  y
) ) )
6237, 61sylibrd 168 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
6362adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
) )  /\  y  e.  K )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
6425, 63syld 45 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
) )  /\  y  e.  K )  ->  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
6513, 64sylbid 149 . . 3  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
) )  /\  y  e.  K )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
6665ralrimiva 2505 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
67 resttopon 12366 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
681, 8, 67syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
69 iscnp 12394 . . 3  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  P  e.  A
)  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> U. K  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
7068, 4, 17, 69syl3anc 1216 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  (
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> U. K  /\  A. y  e.  K  ( ( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
719, 66, 70mpbir2and 928 1  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  X  /\  P  e.  A  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )  ->  ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686    i^i cin 3070    C_ wss 3071   U.cuni 3739    |` cres 4544   "cima 4545   -->wf 5122   ` cfv 5126  (class class class)co 5777   ↾t crest 12146   Topctop 12190  TopOnctopon 12203    CnP ccnp 12381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-map 6547  df-rest 12148  df-topgen 12167  df-top 12191  df-topon 12204  df-bases 12236  df-cnp 12384
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