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Theorem cnrest2 12186
Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) )

Proof of Theorem cnrest2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 12151 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
21a1i 9 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top ) )
3 eqid 2100 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
4 eqid 2100 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
53, 4cnf 12154 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
65ffnd 5209 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F  Fn  U. J )
76a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F  Fn  U. J ) )
8 simp2 950 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ran  F 
C_  B )
97, 8jctird 313 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F  Fn  U. J  /\  ran  F  C_  B )
) )
10 df-f 5063 . . . 4  |-  ( F : U. J --> B  <->  ( F  Fn  U. J  /\  ran  F 
C_  B ) )
119, 10syl6ibr 161 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> B ) )
122, 11jcad 303 . 2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) ) )
13 cntop1 12151 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  ->  J  e.  Top )
1413adantl 273 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  Top )
153toptopon 11967 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
1614, 15sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
17 resttopon 12122 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  C_  Y )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )
18173adant2 968 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )
1918adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B
) )
20 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )
21 cnf2 12155 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  F : U. J
--> B )
2216, 19, 20, 21syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  F : U. J
--> B )
2314, 22jca 302 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )
2423ex 114 . 2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  -> 
( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) ) )
25 vex 2644 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
2625inex1 4002 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
2726a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  _V )
28 simpl1 952 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
29 toponmax 11974 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
3028, 29syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  Y  e.  K )
31 simpl3 954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  B  C_  Y
)
3230, 31ssexd 4008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  B  e.  _V )
33 elrest 11909 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  e.  _V )  ->  (
y  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  y  =  ( x  i^i  B ) ) )
3428, 32, 33syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( y  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  y  =  ( x  i^i  B ) ) )
35 imaeq2 4813 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  i^i 
B )  ->  ( `' F " y )  =  ( `' F " ( x  i^i  B
) ) )
3635eleq1d 2168 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( `' F "
y )  e.  J  <->  ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J ) )
3736adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  y  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( ( `' F " y )  e.  J  <->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  e.  J ) )
3827, 34, 37ralxfr2d 4323 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. y  e.  ( Kt  B
) ( `' F " y )  e.  J  <->  A. x  e.  K  ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J ) )
39 simplrr 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  F : U. J --> B )
40 ffun 5211 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : U. J --> B  ->  Fun  F )
41 inpreima 5478 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) ) )
4239, 40, 413syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) ) )
43 cnvimass 4838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
44 cnvimarndm 4839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " ran  F
)  =  dom  F
4543, 44sseqtr4i 3082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " ran  F )
46 simpll2 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ran  F  C_  B )
47 imass2 4851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
F  C_  B  ->  ( `' F " ran  F
)  C_  ( `' F " B ) )
4846, 47syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " ran  F ) 
C_  ( `' F " B ) )
4945, 48syl5ss 3058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " x )  C_  ( `' F " B ) )
50 df-ss 3034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " B )  <->  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) )  =  ( `' F "
x ) )
5149, 50sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) )  =  ( `' F "
x ) )
5242, 51eqtrd 2132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  =  ( `' F "
x ) )
5352eleq1d 2168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J  <->  ( `' F " x )  e.  J ) )
5453ralbidva 2392 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J  <->  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
55 simprr 502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  F : U. J --> B )
5655, 31fssd 5221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  F : U. J --> Y )
5756biantrurd 301 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J  <->  ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
5838, 54, 573bitrrd 214 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )  <->  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J ) )
5955biantrurd 301 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. y  e.  ( Kt  B
) ( `' F " y )  e.  J  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J ) ) )
6058, 59bitrd 187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
61 simprl 501 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  J  e.  Top )
6261, 15sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
63 iscn 12147 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
6462, 28, 63syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
6518adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( Kt  B
)  e.  (TopOn `  B ) )
66 iscn 12147 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )  -> 
( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
6762, 65, 66syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
6860, 64, 673bitr4d 219 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) )
6968ex 114 . 2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  (
( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) ) )
7012, 24, 69pm5.21ndd 662 1  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 930    = wceq 1299    e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   _Vcvv 2641    i^i cin 3020    C_ wss 3021   U.cuni 3683   `'ccnv 4476   dom cdm 4477   ran crn 4478   "cima 4480   Fun wfun 5053    Fn wfn 5054   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   ↾t crest 11902   Topctop 11946  TopOnctopon 11959    Cn ccn 12136
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-map 6474  df-rest 11904  df-topgen 11923  df-top 11947  df-topon 11960  df-bases 11992  df-cn 12139
This theorem is referenced by:  cnrest2r  12187
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