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Theorem cnrest2 13307
Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) )

Proof of Theorem cnrest2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 13272 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
21a1i 9 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top ) )
3 eqid 2175 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
4 eqid 2175 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
53, 4cnf 13275 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
65ffnd 5358 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F  Fn  U. J )
76a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F  Fn  U. J ) )
8 simp2 998 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ran  F 
C_  B )
97, 8jctird 317 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F  Fn  U. J  /\  ran  F  C_  B )
) )
10 df-f 5212 . . . 4  |-  ( F : U. J --> B  <->  ( F  Fn  U. J  /\  ran  F 
C_  B ) )
119, 10syl6ibr 162 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> B ) )
122, 11jcad 307 . 2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) ) )
13 cntop1 13272 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  ->  J  e.  Top )
1413adantl 277 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  Top )
153toptopon 13087 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
1614, 15sylib 122 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
17 resttopon 13242 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  C_  Y )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )
18173adant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )
1918adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B
) )
20 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )
21 cnf2 13276 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  F : U. J
--> B )
2216, 19, 20, 21syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  F : U. J
--> B )
2314, 22jca 306 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )
2423ex 115 . 2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  -> 
( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) ) )
25 vex 2738 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
2625inex1 4132 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
2726a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  _V )
28 simpl1 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
29 toponmax 13094 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
3028, 29syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  Y  e.  K )
31 simpl3 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  B  C_  Y
)
3230, 31ssexd 4138 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  B  e.  _V )
33 elrest 12617 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  e.  _V )  ->  (
y  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  y  =  ( x  i^i  B ) ) )
3428, 32, 33syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( y  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  y  =  ( x  i^i  B ) ) )
35 imaeq2 4959 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  i^i 
B )  ->  ( `' F " y )  =  ( `' F " ( x  i^i  B
) ) )
3635eleq1d 2244 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( `' F "
y )  e.  J  <->  ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J ) )
3736adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  y  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( ( `' F " y )  e.  J  <->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  e.  J ) )
3827, 34, 37ralxfr2d 4458 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. y  e.  ( Kt  B
) ( `' F " y )  e.  J  <->  A. x  e.  K  ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J ) )
39 simplrr 536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  F : U. J --> B )
40 ffun 5360 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : U. J --> B  ->  Fun  F )
41 inpreima 5634 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) ) )
4239, 40, 413syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) ) )
43 cnvimass 4984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
44 cnvimarndm 4985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " ran  F
)  =  dom  F
4543, 44sseqtrri 3188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " ran  F )
46 simpll2 1037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ran  F  C_  B )
47 imass2 4997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
F  C_  B  ->  ( `' F " ran  F
)  C_  ( `' F " B ) )
4846, 47syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " ran  F ) 
C_  ( `' F " B ) )
4945, 48sstrid 3164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " x )  C_  ( `' F " B ) )
50 df-ss 3140 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " B )  <->  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) )  =  ( `' F "
x ) )
5149, 50sylib 122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) )  =  ( `' F "
x ) )
5242, 51eqtrd 2208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  =  ( `' F "
x ) )
5352eleq1d 2244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J  <->  ( `' F " x )  e.  J ) )
5453ralbidva 2471 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J  <->  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
55 simprr 531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  F : U. J --> B )
5655, 31fssd 5370 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  F : U. J --> Y )
5756biantrurd 305 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J  <->  ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
5838, 54, 573bitrrd 215 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )  <->  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J ) )
5955biantrurd 305 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. y  e.  ( Kt  B
) ( `' F " y )  e.  J  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J ) ) )
6058, 59bitrd 188 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
61 simprl 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  J  e.  Top )
6261, 15sylib 122 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
63 iscn 13268 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
6462, 28, 63syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
6518adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( Kt  B
)  e.  (TopOn `  B ) )
66 iscn 13268 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )  -> 
( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
6762, 65, 66syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
6860, 64, 673bitr4d 220 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) )
6968ex 115 . 2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  (
( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) ) )
7012, 24, 69pm5.21ndd 705 1  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   _Vcvv 2735    i^i cin 3126    C_ wss 3127   U.cuni 3805   `'ccnv 4619   dom cdm 4620   ran crn 4621   "cima 4623   Fun wfun 5202    Fn wfn 5203   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   ↾t crest 12610   Topctop 13066  TopOnctopon 13079    Cn ccn 13256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-map 6640  df-rest 12612  df-topgen 12631  df-top 13067  df-topon 13080  df-bases 13112  df-cn 13259
This theorem is referenced by:  cnrest2r  13308  hmeores  13386
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