Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnrest2 Unicode version

Theorem cnrest2 12442
 Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2 TopOn t

Proof of Theorem cnrest2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 12407 . . . 4
21a1i 9 . . 3 TopOn
3 eqid 2140 . . . . . . . 8
4 eqid 2140 . . . . . . . 8
53, 4cnf 12410 . . . . . . 7
65ffnd 5280 . . . . . 6
76a1i 9 . . . . 5 TopOn
8 simp2 983 . . . . 5 TopOn
97, 8jctird 315 . . . 4 TopOn
10 df-f 5134 . . . 4
119, 10syl6ibr 161 . . 3 TopOn
122, 11jcad 305 . 2 TopOn
13 cntop1 12407 . . . . 5 t
1413adantl 275 . . . 4 TopOn t
153toptopon 12222 . . . . . 6 TopOn
1614, 15sylib 121 . . . . 5 TopOn t TopOn
17 resttopon 12377 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
18173adant2 1001 . . . . . 6 TopOn t TopOn
1918adantr 274 . . . . 5 TopOn t t TopOn
20 simpr 109 . . . . 5 TopOn t t
21 cnf2 12411 . . . . 5 TopOn t TopOn t
2216, 19, 20, 21syl3anc 1217 . . . 4 TopOn t
2314, 22jca 304 . . 3 TopOn t
2423ex 114 . 2 TopOn t
25 vex 2692 . . . . . . . . 9
2625inex1 4069 . . . . . . . 8
2726a1i 9 . . . . . . 7 TopOn
28 simpl1 985 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
29 toponmax 12229 . . . . . . . . . 10 TopOn
3028, 29syl 14 . . . . . . . . 9 TopOn
31 simpl3 987 . . . . . . . . 9 TopOn
3230, 31ssexd 4075 . . . . . . . 8 TopOn
33 elrest 12164 . . . . . . . 8 TopOn t
3428, 32, 33syl2anc 409 . . . . . . 7 TopOn t
35 imaeq2 4884 . . . . . . . . 9
3635eleq1d 2209 . . . . . . . 8
3736adantl 275 . . . . . . 7 TopOn
3827, 34, 37ralxfr2d 4392 . . . . . 6 TopOn t
39 simplrr 526 . . . . . . . . . 10 TopOn
40 ffun 5282 . . . . . . . . . 10
41 inpreima 5553 . . . . . . . . . 10
4239, 40, 413syl 17 . . . . . . . . 9 TopOn
43 cnvimass 4909 . . . . . . . . . . . 12
44 cnvimarndm 4910 . . . . . . . . . . . 12
4543, 44sseqtrri 3136 . . . . . . . . . . 11
46 simpll2 1022 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
47 imass2 4922 . . . . . . . . . . . 12
4846, 47syl 14 . . . . . . . . . . 11 TopOn
4945, 48sstrid 3112 . . . . . . . . . 10 TopOn
50 df-ss 3088 . . . . . . . . . 10
5149, 50sylib 121 . . . . . . . . 9 TopOn
5242, 51eqtrd 2173 . . . . . . . 8 TopOn
5352eleq1d 2209 . . . . . . 7 TopOn
5453ralbidva 2434 . . . . . 6 TopOn
55 simprr 522 . . . . . . . 8 TopOn
5655, 31fssd 5292 . . . . . . 7 TopOn
5756biantrurd 303 . . . . . 6 TopOn
5838, 54, 573bitrrd 214 . . . . 5 TopOn t
5955biantrurd 303 . . . . 5 TopOn t t
6058, 59bitrd 187 . . . 4 TopOn t
61 simprl 521 . . . . . 6 TopOn
6261, 15sylib 121 . . . . 5 TopOn TopOn
63 iscn 12403 . . . . 5 TopOn TopOn
6462, 28, 63syl2anc 409 . . . 4 TopOn
6518adantr 274 . . . . 5 TopOn t TopOn
66 iscn 12403 . . . . 5 TopOn t TopOn t t
6762, 65, 66syl2anc 409 . . . 4 TopOn t t
6860, 64, 673bitr4d 219 . . 3 TopOn t
6968ex 114 . 2 TopOn t
7012, 24, 69pm5.21ndd 695 1 TopOn t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 963   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  cvv 2689   cin 3074   wss 3075  cuni 3743  ccnv 4545   cdm 4546   crn 4547  cima 4549   wfun 5124   wfn 5125  wf 5126  cfv 5130  (class class class)co 5781   ↾t crest 12157  ctop 12201  TopOnctopon 12214   ccn 12391 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-rest 12159  df-topgen 12178  df-top 12202  df-topon 12215  df-bases 12247  df-cn 12394 This theorem is referenced by:  cnrest2r  12443  hmeores  12521
 Copyright terms: Public domain W3C validator