Theorem cnrest2 12777

Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnrest2	|- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) )

Proof of Theorem cnrest2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 12742	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top ) )
3		eqid 2164	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
4		eqid 2164	. . . . . . . 8 |- U. K = U. K
5	3, 4	cnf 12745	. . . . . . 7 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
6	5	ffnd 5332	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F Fn U. J )
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F Fn U. J ) )
8		simp2 987	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ran F C_ B )
9	7, 8	jctird 315	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F Fn U. J /\ ran F C_ B ) ) )
10		df-f 5186	. . . 4 |- ( F : U. J --> B <-> ( F Fn U. J /\ ran F C_ B ) )
11	9, 10	syl6ibr 161	. . 3 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> B ) )
12	2, 11	jcad 305	. 2 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) )
13		cntop1 12742	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> J e. Top )
14	13	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. Top )
15	3	toptopon 12557	. . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
16	14, 15	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
17		resttopon 12712	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ B C_ Y ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
18	17	3adant2 1005	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
19	18	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
20		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) )
21		cnf2 12746	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> F : U. J --> B )
22	16, 19, 20, 21	syl3anc 1227	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> F : U. J --> B )
23	14, 22	jca 304	. . 3 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) )
24	23	ex 114	. 2 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) )
25		vex 2724	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
26	25	inex1 4110	. . . . . . . 8 |- ( x i^i B ) e. _V
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( x i^i B ) e. _V )
28		simpl1 989	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
29		toponmax 12564	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> Y e. K )
31		simpl3 991	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> B C_ Y )
32	30, 31	ssexd 4116	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> B e. _V )
33		elrest 12499	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. _V ) -> ( y e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K y = ( x i^i B ) ) )
34	28, 32, 33	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( y e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K y = ( x i^i B ) ) )
35		imaeq2 4936	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x i^i B ) -> ( `' F " y ) = ( `' F " ( x i^i B ) ) )
36	35	eleq1d 2233	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x i^i B ) -> ( ( `' F " y ) e. J <-> ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J ) )
37	36	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ y = ( x i^i B ) ) -> ( ( `' F " y ) e. J <-> ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J ) )
38	27, 34, 37	ralxfr2d 4436	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. K ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J ) )
39		simplrr 526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> F : U. J --> B )
40		ffun 5334	. . . . . . . . . 10 |- ( F : U. J --> B -> Fun F )
41		inpreima 5605	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( `' F " ( x i^i B ) ) = ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) )
42	39, 40, 41	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " ( x i^i B ) ) = ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) )
43		cnvimass 4961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F " x ) C_ dom F
44		cnvimarndm 4962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F " ran F ) = dom F
45	43, 44	sseqtrri 3172	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' F " x ) C_ ( `' F " ran F )
46		simpll2 1026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ran F C_ B )
47		imass2 4974	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran F C_ B -> ( `' F " ran F ) C_ ( `' F " B ) )
48	46, 47	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " ran F ) C_ ( `' F " B ) )
49	45, 48	sstrid 3148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " x ) C_ ( `' F " B ) )
50		df-ss 3124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " x ) C_ ( `' F " B ) <-> ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) = ( `' F " x ) )
51	49, 50	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) = ( `' F " x ) )
52	42, 51	eqtrd 2197	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " ( x i^i B ) ) = ( `' F " x ) )
53	52	eleq1d 2233	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J <-> ( `' F " x ) e. J ) )
54	53	ralbidva 2460	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. x e. K ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J <-> A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) )
55		simprr 522	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> F : U. J --> B )
56	55, 31	fssd 5344	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> F : U. J --> Y )
57	56	biantrurd 303	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. x e. K ( `' F " x ) e. J <-> ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
58	38, 54, 57	3bitrrd 214	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) <-> A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) )
59	55	biantrurd 303	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
60	58, 59	bitrd 187	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
61		simprl 521	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> J e. Top )
62	61, 15	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
63		iscn 12738	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
64	62, 28, 63	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
65	18	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
66		iscn 12738	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) ) -> ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
67	62, 65, 66	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
68	60, 64, 67	3bitr4d 219	. . 3 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) )
69	68	ex 114	. 2 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) ) )
70	12, 24, 69	pm5.21ndd 695	1 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 967   = wceq 1342   e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443   _Vcvv 2721   i^i cin 3110   C_ wss 3111   U.cuni 3783   `'ccnv 4597   dom cdm 4598   ran crn 4599   "cima 4601   Fun wfun 5176   Fn wfn 5177   -->wf 5178   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   ↾_t crest 12492   Topctop 12536  TopOnctopon 12549   Cn ccn 12726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-map 6607  df-rest 12494  df-topgen 12513  df-top 12537  df-topon 12550  df-bases 12582  df-cn 12729

This theorem is referenced by:  cnrest2r  12778  hmeores  12856