Theorem cnrest2 14415

Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnrest2	|- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) )

Proof of Theorem cnrest2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 14380	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top ) )
3		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
4		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- U. K = U. K
5	3, 4	cnf 14383	. . . . . . 7 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
6	5	ffnd 5405	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F Fn U. J )
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F Fn U. J ) )
8		simp2 1000	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ran F C_ B )
9	7, 8	jctird 317	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F Fn U. J /\ ran F C_ B ) ) )
10		df-f 5259	. . . 4 |- ( F : U. J --> B <-> ( F Fn U. J /\ ran F C_ B ) )
11	9, 10	imbitrrdi 162	. . 3 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> B ) )
12	2, 11	jcad 307	. 2 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) )
13		cntop1 14380	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> J e. Top )
14	13	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. Top )
15	3	toptopon 14197	. . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
16	14, 15	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
17		resttopon 14350	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ B C_ Y ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
18	17	3adant2 1018	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
19	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) )
21		cnf2 14384	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> F : U. J --> B )
22	16, 19, 20, 21	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> F : U. J --> B )
23	14, 22	jca 306	. . 3 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) )
24	23	ex 115	. 2 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) )
25		vex 2763	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
26	25	inex1 4164	. . . . . . . 8 |- ( x i^i B ) e. _V
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( x i^i B ) e. _V )
28		simpl1 1002	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
29		toponmax 14204	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> Y e. K )
31		simpl3 1004	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> B C_ Y )
32	30, 31	ssexd 4170	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> B e. _V )
33		elrest 12860	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. _V ) -> ( y e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K y = ( x i^i B ) ) )
34	28, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( y e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K y = ( x i^i B ) ) )
35		imaeq2 5002	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x i^i B ) -> ( `' F " y ) = ( `' F " ( x i^i B ) ) )
36	35	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x i^i B ) -> ( ( `' F " y ) e. J <-> ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J ) )
37	36	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ y = ( x i^i B ) ) -> ( ( `' F " y ) e. J <-> ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J ) )
38	27, 34, 37	ralxfr2d 4496	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. K ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J ) )
39		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> F : U. J --> B )
40		ffun 5407	. . . . . . . . . 10 |- ( F : U. J --> B -> Fun F )
41		inpreima 5685	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( `' F " ( x i^i B ) ) = ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) )
42	39, 40, 41	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " ( x i^i B ) ) = ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) )
43		cnvimass 5029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F " x ) C_ dom F
44		cnvimarndm 5030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F " ran F ) = dom F
45	43, 44	sseqtrri 3215	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' F " x ) C_ ( `' F " ran F )
46		simpll2 1039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ran F C_ B )
47		imass2 5042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran F C_ B -> ( `' F " ran F ) C_ ( `' F " B ) )
48	46, 47	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " ran F ) C_ ( `' F " B ) )
49	45, 48	sstrid 3191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " x ) C_ ( `' F " B ) )
50		df-ss 3167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " x ) C_ ( `' F " B ) <-> ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) = ( `' F " x ) )
51	49, 50	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) = ( `' F " x ) )
52	42, 51	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " ( x i^i B ) ) = ( `' F " x ) )
53	52	eleq1d 2262	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J <-> ( `' F " x ) e. J ) )
54	53	ralbidva 2490	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. x e. K ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J <-> A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) )
55		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> F : U. J --> B )
56	55, 31	fssd 5417	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> F : U. J --> Y )
57	56	biantrurd 305	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. x e. K ( `' F " x ) e. J <-> ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
58	38, 54, 57	3bitrrd 215	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) <-> A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) )
59	55	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
60	58, 59	bitrd 188	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
61		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> J e. Top )
62	61, 15	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
63		iscn 14376	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
64	62, 28, 63	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
65	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
66		iscn 14376	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) ) -> ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
67	62, 65, 66	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
68	60, 64, 67	3bitr4d 220	. . 3 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) )
69	68	ex 115	. 2 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) ) )
70	12, 24, 69	pm5.21ndd 706	1 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   i^i cin 3153   C_ wss 3154   U.cuni 3836   `'ccnv 4659   dom cdm 4660   ran crn 4661   "cima 4663   Fun wfun 5249   Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   ↾_t crest 12853   Topctop 14176  TopOnctopon 14189   Cn ccn 14364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-rest 12855  df-topgen 12874  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222  df-cn 14367

This theorem is referenced by:  cnrest2r  14416  hmeores  14494