Theorem cnrest2 15260

Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnrest2	|- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) )

Proof of Theorem cnrest2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 15225	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top ) )
3		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
4		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- U. K = U. K
5	3, 4	cnf 15228	. . . . . . 7 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
6	5	ffnd 5529	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F Fn U. J )
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F Fn U. J ) )
8		simp2 1029	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ran F C_ B )
9	7, 8	jctird 317	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F Fn U. J /\ ran F C_ B ) ) )
10		df-f 5376	. . . 4 |- ( F : U. J --> B <-> ( F Fn U. J /\ ran F C_ B ) )
11	9, 10	imbitrrdi 162	. . 3 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> B ) )
12	2, 11	jcad 307	. 2 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) )
13		cntop1 15225	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> J e. Top )
14	13	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. Top )
15	3	toptopon 15042	. . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
16	14, 15	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
17		resttopon 15195	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ B C_ Y ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
18	17	3adant2 1047	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
19	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) )
21		cnf2 15229	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> F : U. J --> B )
22	16, 19, 20, 21	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> F : U. J --> B )
23	14, 22	jca 306	. . 3 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) )
24	23	ex 115	. 2 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) )
25		vex 2824	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
26	25	inex1 4262	. . . . . . . 8 |- ( x i^i B ) e. _V
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( x i^i B ) e. _V )
28		simpl1 1031	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
29		toponmax 15049	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> Y e. K )
31		simpl3 1033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> B C_ Y )
32	30, 31	ssexd 4268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> B e. _V )
33		elrest 13577	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. _V ) -> ( y e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K y = ( x i^i B ) ) )
34	28, 32, 33	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( y e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K y = ( x i^i B ) ) )
35		imaeq2 5117	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x i^i B ) -> ( `' F " y ) = ( `' F " ( x i^i B ) ) )
36	35	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x i^i B ) -> ( ( `' F " y ) e. J <-> ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J ) )
37	36	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ y = ( x i^i B ) ) -> ( ( `' F " y ) e. J <-> ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J ) )
38	27, 34, 37	ralxfr2d 4605	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. K ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J ) )
39		simplrr 542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> F : U. J --> B )
40		ffun 5531	. . . . . . . . . 10 |- ( F : U. J --> B -> Fun F )
41		inpreima 5825	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( `' F " ( x i^i B ) ) = ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) )
42	39, 40, 41	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " ( x i^i B ) ) = ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) )
43		cnvimass 5145	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F " x ) C_ dom F
44		cnvimarndm 5146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F " ran F ) = dom F
45	43, 44	sseqtrri 3283	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' F " x ) C_ ( `' F " ran F )
46		simpll2 1068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ran F C_ B )
47		imass2 5158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran F C_ B -> ( `' F " ran F ) C_ ( `' F " B ) )
48	46, 47	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " ran F ) C_ ( `' F " B ) )
49	45, 48	sstrid 3259	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " x ) C_ ( `' F " B ) )
50		df-ss 3233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " x ) C_ ( `' F " B ) <-> ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) = ( `' F " x ) )
51	49, 50	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) = ( `' F " x ) )
52	42, 51	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " ( x i^i B ) ) = ( `' F " x ) )
53	52	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J <-> ( `' F " x ) e. J ) )
54	53	ralbidva 2546	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. x e. K ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J <-> A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) )
55		simprr 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> F : U. J --> B )
56	55, 31	fssd 5542	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> F : U. J --> Y )
57	56	biantrurd 305	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. x e. K ( `' F " x ) e. J <-> ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
58	38, 54, 57	3bitrrd 215	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) <-> A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) )
59	55	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
60	58, 59	bitrd 188	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
61		simprl 535	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> J e. Top )
62	61, 15	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
63		iscn 15221	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
64	62, 28, 63	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
65	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
66		iscn 15221	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) ) -> ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
67	62, 65, 66	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
68	60, 64, 67	3bitr4d 220	. . 3 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) )
69	68	ex 115	. 2 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) ) )
70	12, 24, 69	pm5.21ndd 717	1 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220   U.cuni 3930   `'ccnv 4768   dom cdm 4769   ran crn 4770   "cima 4772   Fun wfun 5366   Fn wfn 5367   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   ↾_t crest 13570   Topctop 15021  TopOnctopon 15034   Cn ccn 15209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-cn 15212

This theorem is referenced by:  cnrest2r  15261  hmeores  15339