Theorem cnrest2 14213

Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnrest2	|- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) )

Proof of Theorem cnrest2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 14178	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top ) )
3		eqid 2189	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
4		eqid 2189	. . . . . . . 8 |- U. K = U. K
5	3, 4	cnf 14181	. . . . . . 7 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
6	5	ffnd 5385	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F Fn U. J )
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F Fn U. J ) )
8		simp2 1000	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ran F C_ B )
9	7, 8	jctird 317	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F Fn U. J /\ ran F C_ B ) ) )
10		df-f 5239	. . . 4 |- ( F : U. J --> B <-> ( F Fn U. J /\ ran F C_ B ) )
11	9, 10	imbitrrdi 162	. . 3 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> B ) )
12	2, 11	jcad 307	. 2 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) )
13		cntop1 14178	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> J e. Top )
14	13	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. Top )
15	3	toptopon 13995	. . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
16	14, 15	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
17		resttopon 14148	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ B C_ Y ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
18	17	3adant2 1018	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
19	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) )
21		cnf2 14182	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> F : U. J --> B )
22	16, 19, 20, 21	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> F : U. J --> B )
23	14, 22	jca 306	. . 3 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) )
24	23	ex 115	. 2 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) )
25		vex 2755	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
26	25	inex1 4152	. . . . . . . 8 |- ( x i^i B ) e. _V
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( x i^i B ) e. _V )
28		simpl1 1002	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
29		toponmax 14002	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> Y e. K )
31		simpl3 1004	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> B C_ Y )
32	30, 31	ssexd 4158	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> B e. _V )
33		elrest 12754	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. _V ) -> ( y e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K y = ( x i^i B ) ) )
34	28, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( y e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K y = ( x i^i B ) ) )
35		imaeq2 4984	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x i^i B ) -> ( `' F " y ) = ( `' F " ( x i^i B ) ) )
36	35	eleq1d 2258	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x i^i B ) -> ( ( `' F " y ) e. J <-> ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J ) )
37	36	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ y = ( x i^i B ) ) -> ( ( `' F " y ) e. J <-> ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J ) )
38	27, 34, 37	ralxfr2d 4482	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. K ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J ) )
39		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> F : U. J --> B )
40		ffun 5387	. . . . . . . . . 10 |- ( F : U. J --> B -> Fun F )
41		inpreima 5663	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( `' F " ( x i^i B ) ) = ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) )
42	39, 40, 41	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " ( x i^i B ) ) = ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) )
43		cnvimass 5009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F " x ) C_ dom F
44		cnvimarndm 5010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F " ran F ) = dom F
45	43, 44	sseqtrri 3205	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' F " x ) C_ ( `' F " ran F )
46		simpll2 1039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ran F C_ B )
47		imass2 5022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran F C_ B -> ( `' F " ran F ) C_ ( `' F " B ) )
48	46, 47	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " ran F ) C_ ( `' F " B ) )
49	45, 48	sstrid 3181	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " x ) C_ ( `' F " B ) )
50		df-ss 3157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " x ) C_ ( `' F " B ) <-> ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) = ( `' F " x ) )
51	49, 50	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) = ( `' F " x ) )
52	42, 51	eqtrd 2222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " ( x i^i B ) ) = ( `' F " x ) )
53	52	eleq1d 2258	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J <-> ( `' F " x ) e. J ) )
54	53	ralbidva 2486	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. x e. K ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J <-> A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) )
55		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> F : U. J --> B )
56	55, 31	fssd 5397	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> F : U. J --> Y )
57	56	biantrurd 305	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. x e. K ( `' F " x ) e. J <-> ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
58	38, 54, 57	3bitrrd 215	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) <-> A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) )
59	55	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
60	58, 59	bitrd 188	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
61		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> J e. Top )
62	61, 15	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
63		iscn 14174	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
64	62, 28, 63	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
65	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
66		iscn 14174	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) ) -> ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
67	62, 65, 66	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
68	60, 64, 67	3bitr4d 220	. . 3 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) )
69	68	ex 115	. 2 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) ) )
70	12, 24, 69	pm5.21ndd 706	1 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752   i^i cin 3143   C_ wss 3144   U.cuni 3824   `'ccnv 4643   dom cdm 4644   ran crn 4645   "cima 4647   Fun wfun 5229   Fn wfn 5230   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   ↾_t crest 12747   Topctop 13974  TopOnctopon 13987   Cn ccn 14162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-map 6677  df-rest 12749  df-topgen 12768  df-top 13975  df-topon 13988  df-bases 14020  df-cn 14165

This theorem is referenced by:  cnrest2r  14214  hmeores  14292