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Theorem cnrest2 12442
Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) )

Proof of Theorem cnrest2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 12407 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
21a1i 9 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top ) )
3 eqid 2140 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
4 eqid 2140 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
53, 4cnf 12410 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
65ffnd 5280 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F  Fn  U. J )
76a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F  Fn  U. J ) )
8 simp2 983 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ran  F 
C_  B )
97, 8jctird 315 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F  Fn  U. J  /\  ran  F  C_  B )
) )
10 df-f 5134 . . . 4  |-  ( F : U. J --> B  <->  ( F  Fn  U. J  /\  ran  F 
C_  B ) )
119, 10syl6ibr 161 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> B ) )
122, 11jcad 305 . 2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) ) )
13 cntop1 12407 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  ->  J  e.  Top )
1413adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  Top )
153toptopon 12222 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
1614, 15sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
17 resttopon 12377 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  C_  Y )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )
18173adant2 1001 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )
1918adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B
) )
20 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )
21 cnf2 12411 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  F : U. J
--> B )
2216, 19, 20, 21syl3anc 1217 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  F : U. J
--> B )
2314, 22jca 304 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) )  ->  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )
2423ex 114 . 2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  -> 
( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) ) )
25 vex 2692 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
2625inex1 4069 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
2726a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  _V )
28 simpl1 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
29 toponmax 12229 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
3028, 29syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  Y  e.  K )
31 simpl3 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  B  C_  Y
)
3230, 31ssexd 4075 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  B  e.  _V )
33 elrest 12164 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  e.  _V )  ->  (
y  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  y  =  ( x  i^i  B ) ) )
3428, 32, 33syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( y  e.  ( Kt  B )  <->  E. x  e.  K  y  =  ( x  i^i  B ) ) )
35 imaeq2 4884 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  i^i 
B )  ->  ( `' F " y )  =  ( `' F " ( x  i^i  B
) ) )
3635eleq1d 2209 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( x  i^i 
B )  ->  (
( `' F "
y )  e.  J  <->  ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J ) )
3736adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  y  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( ( `' F " y )  e.  J  <->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  e.  J ) )
3827, 34, 37ralxfr2d 4392 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. y  e.  ( Kt  B
) ( `' F " y )  e.  J  <->  A. x  e.  K  ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J ) )
39 simplrr 526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  F : U. J --> B )
40 ffun 5282 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : U. J --> B  ->  Fun  F )
41 inpreima 5553 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) ) )
4239, 40, 413syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  =  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) ) )
43 cnvimass 4909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
44 cnvimarndm 4910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " ran  F
)  =  dom  F
4543, 44sseqtrri 3136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " ran  F )
46 simpll2 1022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ran  F  C_  B )
47 imass2 4922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
F  C_  B  ->  ( `' F " ran  F
)  C_  ( `' F " B ) )
4846, 47syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " ran  F ) 
C_  ( `' F " B ) )
4945, 48sstrid 3112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " x )  C_  ( `' F " B ) )
50 df-ss 3088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " B )  <->  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) )  =  ( `' F "
x ) )
5149, 50sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( ( `' F " x )  i^i  ( `' F " B ) )  =  ( `' F "
x ) )
5242, 51eqtrd 2173 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( `' F " ( x  i^i 
B ) )  =  ( `' F "
x ) )
5352eleq1d 2209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F  C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e. 
Top  /\  F : U. J --> B ) )  /\  x  e.  K
)  ->  ( ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J  <->  ( `' F " x )  e.  J ) )
5453ralbidva 2434 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " ( x  i^i  B ) )  e.  J  <->  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
55 simprr 522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  F : U. J --> B )
5655, 31fssd 5292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  F : U. J --> Y )
5756biantrurd 303 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J  <->  ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
5838, 54, 573bitrrd 214 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )  <->  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J ) )
5955biantrurd 303 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( A. y  e.  ( Kt  B
) ( `' F " y )  e.  J  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J ) ) )
6058, 59bitrd 187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
61 simprl 521 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  J  e.  Top )
6261, 15sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
63 iscn 12403 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
6462, 28, 63syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : U. J --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
6518adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( Kt  B
)  e.  (TopOn `  B ) )
66 iscn 12403 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( Kt  B )  e.  (TopOn `  B ) )  -> 
( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
6762, 65, 66syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) )  <->  ( F : U. J --> B  /\  A. y  e.  ( Kt  B ) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
6860, 64, 673bitr4d 219 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  /\  ( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) )
6968ex 114 . 2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  (
( J  e.  Top  /\  F : U. J --> B )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) ) )
7012, 24, 69pm5.21ndd 695 1  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ran  F 
C_  B  /\  B  C_  Y )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  F  e.  ( J  Cn  ( Kt  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   _Vcvv 2689    i^i cin 3074    C_ wss 3075   U.cuni 3743   `'ccnv 4545   dom cdm 4546   ran crn 4547   "cima 4549   Fun wfun 5124    Fn wfn 5125   -->wf 5126   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   ↾t crest 12157   Topctop 12201  TopOnctopon 12214    Cn ccn 12391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-rest 12159  df-topgen 12178  df-top 12202  df-topon 12215  df-bases 12247  df-cn 12394
This theorem is referenced by:  cnrest2r  12443  hmeores  12521
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