Theorem cnrest2 14741

Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnrest2	|- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) )

Proof of Theorem cnrest2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 14706	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top ) )
3		eqid 2205	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
4		eqid 2205	. . . . . . . 8 |- U. K = U. K
5	3, 4	cnf 14709	. . . . . . 7 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
6	5	ffnd 5428	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F Fn U. J )
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F Fn U. J ) )
8		simp2 1001	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ran F C_ B )
9	7, 8	jctird 317	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F Fn U. J /\ ran F C_ B ) ) )
10		df-f 5276	. . . 4 |- ( F : U. J --> B <-> ( F Fn U. J /\ ran F C_ B ) )
11	9, 10	imbitrrdi 162	. . 3 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> B ) )
12	2, 11	jcad 307	. 2 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) )
13		cntop1 14706	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> J e. Top )
14	13	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. Top )
15	3	toptopon 14523	. . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
16	14, 15	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
17		resttopon 14676	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ B C_ Y ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
18	17	3adant2 1019	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
19	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) )
21		cnf2 14710	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> F : U. J --> B )
22	16, 19, 20, 21	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> F : U. J --> B )
23	14, 22	jca 306	. . 3 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) )
24	23	ex 115	. 2 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) )
25		vex 2775	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
26	25	inex1 4179	. . . . . . . 8 |- ( x i^i B ) e. _V
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( x i^i B ) e. _V )
28		simpl1 1003	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
29		toponmax 14530	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> Y e. K )
31		simpl3 1005	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> B C_ Y )
32	30, 31	ssexd 4185	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> B e. _V )
33		elrest 13111	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. _V ) -> ( y e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K y = ( x i^i B ) ) )
34	28, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( y e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K y = ( x i^i B ) ) )
35		imaeq2 5019	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x i^i B ) -> ( `' F " y ) = ( `' F " ( x i^i B ) ) )
36	35	eleq1d 2274	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x i^i B ) -> ( ( `' F " y ) e. J <-> ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J ) )
37	36	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ y = ( x i^i B ) ) -> ( ( `' F " y ) e. J <-> ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J ) )
38	27, 34, 37	ralxfr2d 4512	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. K ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J ) )
39		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> F : U. J --> B )
40		ffun 5430	. . . . . . . . . 10 |- ( F : U. J --> B -> Fun F )
41		inpreima 5708	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( `' F " ( x i^i B ) ) = ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) )
42	39, 40, 41	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " ( x i^i B ) ) = ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) )
43		cnvimass 5046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F " x ) C_ dom F
44		cnvimarndm 5047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F " ran F ) = dom F
45	43, 44	sseqtrri 3228	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' F " x ) C_ ( `' F " ran F )
46		simpll2 1040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ran F C_ B )
47		imass2 5059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran F C_ B -> ( `' F " ran F ) C_ ( `' F " B ) )
48	46, 47	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " ran F ) C_ ( `' F " B ) )
49	45, 48	sstrid 3204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " x ) C_ ( `' F " B ) )
50		df-ss 3179	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " x ) C_ ( `' F " B ) <-> ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) = ( `' F " x ) )
51	49, 50	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " B ) ) = ( `' F " x ) )
52	42, 51	eqtrd 2238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( `' F " ( x i^i B ) ) = ( `' F " x ) )
53	52	eleq1d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) /\ x e. K ) -> ( ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J <-> ( `' F " x ) e. J ) )
54	53	ralbidva 2502	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. x e. K ( `' F " ( x i^i B ) ) e. J <-> A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) )
55		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> F : U. J --> B )
56	55, 31	fssd 5440	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> F : U. J --> Y )
57	56	biantrurd 305	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. x e. K ( `' F " x ) e. J <-> ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
58	38, 54, 57	3bitrrd 215	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) <-> A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) )
59	55	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
60	58, 59	bitrd 188	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
61		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> J e. Top )
62	61, 15	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
63		iscn 14702	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
64	62, 28, 63	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : U. J --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
65	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
66		iscn 14702	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) ) -> ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
67	62, 65, 66	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) <-> ( F : U. J --> B /\ A. y e. ( K ↾t B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
68	60, 64, 67	3bitr4d 220	. . 3 |- ( ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) )
69	68	ex 115	. 2 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( ( J e. Top /\ F : U. J --> B ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) ) )
70	12, 24, 69	pm5.21ndd 707	1 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ ran F C_ B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   _Vcvv 2772   i^i cin 3165   C_ wss 3166   U.cuni 3850   `'ccnv 4675   dom cdm 4676   ran crn 4677   "cima 4679   Fun wfun 5266   Fn wfn 5267   -->wf 5268   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   ↾_t crest 13104   Topctop 14502  TopOnctopon 14515   Cn ccn 14690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-map 6739  df-rest 13106  df-topgen 13125  df-top 14503  df-topon 14516  df-bases 14548  df-cn 14693

This theorem is referenced by:  cnrest2r  14742  hmeores  14820