Theorem elznn 9207

Description: Integer property expressed in terms of positive integers and nonnegative integers. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elznn	|- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )

Proof of Theorem elznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9193	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2		3orrot 974	. . . . 5 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) <-> ( N e. NN \/ -u N e. NN \/ N = 0 ) )
3		3orass 971	. . . . 5 |- ( ( N e. NN \/ -u N e. NN \/ N = 0 ) <-> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
4	2, 3	bitri 183	. . . 4 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) <-> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
5		elnn0 9116	. . . . . 6 |- ( -u N e. NN0 <-> ( -u N e. NN \/ -u N = 0 ) )
6		recn 7886	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> N e. CC )
7	6	negeq0d 8201	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( N = 0 <-> -u N = 0 ) )
8	7	orbi2d 780	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( -u N e. NN \/ N = 0 ) <-> ( -u N e. NN \/ -u N = 0 ) ) )
9	5, 8	bitr4id 198	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( -u N e. NN0 <-> ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
10	9	orbi2d 780	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) <-> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) ) )
11	4, 10	bitr4id 198	. . 3 |- ( N e. RR -> ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) <-> ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )
12	11	pm5.32i 450	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )
13	1, 12	bitri 183	1 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   \/ w3o 967   = wceq 1343   e. wcel 2136   RRcr 7752   0cc0 7753   -ucneg 8070   NNcn 8857   NN0cn0 9114   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sub 8071  df-neg 8072  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  znnen  12331  logbgcd1irraplemexp  13526