Theorem elznn 9423

Description: Integer property expressed in terms of positive integers and nonnegative integers. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elznn	|- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )

Proof of Theorem elznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9409	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2		3orrot 987	. . . . 5 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) <-> ( N e. NN \/ -u N e. NN \/ N = 0 ) )
3		3orass 984	. . . . 5 |- ( ( N e. NN \/ -u N e. NN \/ N = 0 ) <-> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
4	2, 3	bitri 184	. . . 4 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) <-> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
5		elnn0 9332	. . . . . 6 |- ( -u N e. NN0 <-> ( -u N e. NN \/ -u N = 0 ) )
6		recn 8093	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> N e. CC )
7	6	negeq0d 8410	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( N = 0 <-> -u N = 0 ) )
8	7	orbi2d 792	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( -u N e. NN \/ N = 0 ) <-> ( -u N e. NN \/ -u N = 0 ) ) )
9	5, 8	bitr4id 199	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( -u N e. NN0 <-> ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
10	9	orbi2d 792	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) <-> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) ) )
11	4, 10	bitr4id 199	. . 3 |- ( N e. RR -> ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) <-> ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )
12	11	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )
13	1, 12	bitri 184	1 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2178   RRcr 7959   0cc0 7960   -ucneg 8279   NNcn 9071   NN0cn0 9330   ZZcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280  df-neg 8281  df-n0 9331  df-z 9408

This theorem is referenced by:  zzlesq  10890  znnen  12884  logbgcd1irraplemexp  15555