Theorem elznn 9388

Description: Integer property expressed in terms of positive integers and nonnegative integers. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elznn	|- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )

Proof of Theorem elznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9374	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2		3orrot 987	. . . . 5 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) <-> ( N e. NN \/ -u N e. NN \/ N = 0 ) )
3		3orass 984	. . . . 5 |- ( ( N e. NN \/ -u N e. NN \/ N = 0 ) <-> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
4	2, 3	bitri 184	. . . 4 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) <-> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
5		elnn0 9297	. . . . . 6 |- ( -u N e. NN0 <-> ( -u N e. NN \/ -u N = 0 ) )
6		recn 8058	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> N e. CC )
7	6	negeq0d 8375	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( N = 0 <-> -u N = 0 ) )
8	7	orbi2d 792	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( -u N e. NN \/ N = 0 ) <-> ( -u N e. NN \/ -u N = 0 ) ) )
9	5, 8	bitr4id 199	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( -u N e. NN0 <-> ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
10	9	orbi2d 792	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) <-> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) ) )
11	4, 10	bitr4id 199	. . 3 |- ( N e. RR -> ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) <-> ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )
12	11	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )
13	1, 12	bitri 184	1 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2176   RRcr 7924   0cc0 7925   -ucneg 8244   NNcn 9036   NN0cn0 9295   ZZcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245  df-neg 8246  df-n0 9296  df-z 9373

This theorem is referenced by:  zzlesq  10853  znnen  12769  logbgcd1irraplemexp  15440