Theorem elznn 9494

Description: Integer property expressed in terms of positive integers and nonnegative integers. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elznn	|- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )

Proof of Theorem elznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9480	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2		3orrot 1010	. . . . 5 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) <-> ( N e. NN \/ -u N e. NN \/ N = 0 ) )
3		3orass 1007	. . . . 5 |- ( ( N e. NN \/ -u N e. NN \/ N = 0 ) <-> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
4	2, 3	bitri 184	. . . 4 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) <-> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
5		elnn0 9403	. . . . . 6 |- ( -u N e. NN0 <-> ( -u N e. NN \/ -u N = 0 ) )
6		recn 8164	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> N e. CC )
7	6	negeq0d 8481	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( N = 0 <-> -u N = 0 ) )
8	7	orbi2d 797	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( -u N e. NN \/ N = 0 ) <-> ( -u N e. NN \/ -u N = 0 ) ) )
9	5, 8	bitr4id 199	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( -u N e. NN0 <-> ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
10	9	orbi2d 797	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) <-> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) ) )
11	4, 10	bitr4id 199	. . 3 |- ( N e. RR -> ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) <-> ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )
12	11	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )
13	1, 12	bitri 184	1 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   \/ w3o 1003   = wceq 1397   e. wcel 2202   RRcr 8030   0cc0 8031   -ucneg 8350   NNcn 9142   NN0cn0 9401   ZZcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351  df-neg 8352  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by:  zzlesq  10969  znnen  13018  logbgcd1irraplemexp  15691