Theorem elznn 9063

Description: Integer property expressed in terms of positive integers and nonnegative integers. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elznn	|- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )

Proof of Theorem elznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9049	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2		recn 7746	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> N e. CC )
3	2	negeq0d 8058	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( N = 0 <-> -u N = 0 ) )
4	3	orbi2d 779	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( -u N e. NN \/ N = 0 ) <-> ( -u N e. NN \/ -u N = 0 ) ) )
5		elnn0 8972	. . . . . 6 |- ( -u N e. NN0 <-> ( -u N e. NN \/ -u N = 0 ) )
6	4, 5	syl6rbbr 198	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( -u N e. NN0 <-> ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
7	6	orbi2d 779	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) <-> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) ) )
8		3orrot 968	. . . . 5 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) <-> ( N e. NN \/ -u N e. NN \/ N = 0 ) )
9		3orass 965	. . . . 5 |- ( ( N e. NN \/ -u N e. NN \/ N = 0 ) <-> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
10	8, 9	bitri 183	. . . 4 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) <-> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
11	7, 10	syl6rbbr 198	. . 3 |- ( N e. RR -> ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) <-> ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )
12	11	pm5.32i 449	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )
13	1, 12	bitri 183	1 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ -u N e. NN0 ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   \/ w3o 961   = wceq 1331   e. wcel 1480   RRcr 7612   0cc0 7613   -ucneg 7927   NNcn 8713   NN0cn0 8970   ZZcz 9047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928  df-neg 7929  df-n0 8971  df-z 9048

This theorem is referenced by:  znnen  11900