ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enctlem Unicode version

Theorem enctlem 11951
Description: Lemma for enct 11952. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
enctlem  |-  ( A 
~~  B  ->  ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  ->  E. g  g : om -onto-> ( B 1o ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f, g
Allowed substitution hint:    A( g)

Proof of Theorem enctlem
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1oex 6321 . . . . 5  |-  1o  e.  _V
21enref 6659 . . . 4  |-  1o  ~~  1o
3 djuen 7067 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  B  /\  1o  ~~  1o )  -> 
( A 1o )  ~~  ( B 1o )
)
42, 3mpan2 421 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A 1o )  ~~  ( B 1o ) )
5 bren 6641 . . 3  |-  ( ( A 1o )  ~~  ( B 1o )  <->  E. h  h : ( A 1o ) -1-1-onto-> ( B 1o ) )
64, 5sylib 121 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  E. h  h : ( A 1o ) -1-1-onto-> ( B 1o ) )
7 f1ofo 5374 . . . . . 6  |-  ( h : ( A 1o ) -1-1-onto-> ( B 1o )  ->  h : ( A 1o )
-onto-> ( B 1o )
)
87ad2antlr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  h : ( A 1o ) -1-1-onto-> ( B 1o )
)  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  h :
( A 1o ) -onto->
( B 1o )
)
9 foco 5355 . . . . . 6  |-  ( ( h : ( A 1o ) -onto-> ( B 1o )  /\  f : om -onto->
( A 1o )
)  ->  ( h  o.  f ) : om -onto->
( B 1o )
)
10 vex 2689 . . . . . . . 8  |-  h  e. 
_V
11 vex 2689 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
1210, 11coex 5084 . . . . . . 7  |-  ( h  o.  f )  e. 
_V
13 foeq1 5341 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( h  o.  f )  ->  (
g : om -onto-> ( B 1o )  <->  ( h  o.  f ) : om -onto->
( B 1o )
) )
1412, 13spcev 2780 . . . . . 6  |-  ( ( h  o.  f ) : om -onto-> ( B 1o )  ->  E. g 
g : om -onto-> ( B 1o ) )
159, 14syl 14 . . . . 5  |-  ( ( h : ( A 1o ) -onto-> ( B 1o )  /\  f : om -onto->
( A 1o )
)  ->  E. g 
g : om -onto-> ( B 1o ) )
168, 15sylancom 416 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  h : ( A 1o ) -1-1-onto-> ( B 1o )
)  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  E. g 
g : om -onto-> ( B 1o ) )
1716ex 114 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  h : ( A 1o ) -1-1-onto-> ( B 1o ) )  -> 
( f : om -onto->
( A 1o )  ->  E. g  g : om -onto-> ( B 1o ) ) )
1817exlimdv 1791 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  h : ( A 1o ) -1-1-onto-> ( B 1o ) )  -> 
( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  ->  E. g 
g : om -onto-> ( B 1o ) ) )
196, 18exlimddv 1870 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  ->  E. g  g : om -onto-> ( B 1o ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   E.wex 1468   class class class wbr 3929   omcom 4504    o. ccom 4543   -onto->wfo 5121   -1-1-onto->wf1o 5122   1oc1o 6306    ~~ cen 6632   ⊔ cdju 6922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933
This theorem is referenced by:  enct  11952
  Copyright terms: Public domain W3C validator