Theorem enctlem 12374

Description: Lemma for enct 12375. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
enctlem	|- ( A ~~ B -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f, g

Allowed substitution hint:   A( g)

Proof of Theorem enctlem

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6400	. . . . 5 |- 1o e. _V
2	1	enref 6739	. . . 4 |- 1o ~~ 1o
3		djuen 7175	. . . 4 |- ( ( A ~~ B /\ 1o ~~ 1o ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( B ⊔ 1o ) )
4	2, 3	mpan2 423	. . 3 |- ( A ~~ B -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( B ⊔ 1o ) )
5		bren 6721	. . 3 |- ( ( A ⊔ 1o ) ~~ ( B ⊔ 1o ) <-> E. h h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) )
6	4, 5	sylib 121	. 2 |- ( A ~~ B -> E. h h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) )
7		f1ofo 5447	. . . . . 6 |- ( h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) -> h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
8	7	ad2antlr 486	. . . . 5 |- ( ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
9		foco 5428	. . . . . 6 |- ( ( h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> ( h o. f ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
10		vex 2733	. . . . . . . 8 |- h e. _V
11		vex 2733	. . . . . . . 8 |- f e. _V
12	10, 11	coex 5154	. . . . . . 7 |- ( h o. f ) e. _V
13		foeq1 5414	. . . . . . 7 |- ( g = ( h o. f ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> ( h o. f ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
14	12, 13	spcev 2825	. . . . . 6 |- ( ( h o. f ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
15	9, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
16	8, 15	sylancom 418	. . . 4 |- ( ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
17	16	ex 114	. . 3 |- ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
18	17	exlimdv 1812	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
19	6, 18	exlimddv 1891	1 |- ( A ~~ B -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   E.wex 1485   class class class wbr 3987   omcom 4572   o. ccom 4613   -onto->wfo 5194   -1-1-onto->wf1o 5195   1oc1o 6385   ~~ cen 6712   ⊔ cdju 7010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-1o 6392  df-er 6509  df-en 6715  df-dju 7011  df-inl 7020  df-inr 7021

This theorem is referenced by:  enct  12375