Theorem enctlem 13267

Description: Lemma for enct 13268. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
enctlem	|- ( A ~~ B -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f, g

Allowed substitution hint:   A( g)

Proof of Theorem enctlem

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6668	. . . . 5 |- 1o e. _V
2	1	enref 7017	. . . 4 |- 1o ~~ 1o
3		djuen 7531	. . . 4 |- ( ( A ~~ B /\ 1o ~~ 1o ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( B ⊔ 1o ) )
4	2, 3	mpan2 425	. . 3 |- ( A ~~ B -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( B ⊔ 1o ) )
5		bren 6996	. . 3 |- ( ( A ⊔ 1o ) ~~ ( B ⊔ 1o ) <-> E. h h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) )
6	4, 5	sylib 122	. 2 |- ( A ~~ B -> E. h h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) )
7		f1ofo 5626	. . . . . 6 |- ( h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) -> h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
8	7	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
9		foco 5606	. . . . . 6 |- ( ( h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> ( h o. f ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
10		vex 2818	. . . . . . . 8 |- h e. _V
11		vex 2818	. . . . . . . 8 |- f e. _V
12	10, 11	coex 5313	. . . . . . 7 |- ( h o. f ) e. _V
13		foeq1 5591	. . . . . . 7 |- ( g = ( h o. f ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> ( h o. f ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
14	12, 13	spcev 2914	. . . . . 6 |- ( ( h o. f ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
15	9, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
16	8, 15	sylancom 420	. . . 4 |- ( ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
17	16	ex 115	. . 3 |- ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
18	17	exlimdv 1868	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
19	6, 18	exlimddv 1950	1 |- ( A ~~ B -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1541   class class class wbr 4114   omcom 4717   o. ccom 4758   -onto->wfo 5355   -1-1-onto->wf1o 5356   1oc1o 6653   ~~ cen 6986   ⊔ cdju 7341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dju 7342  df-inl 7351  df-inr 7352

This theorem is referenced by:  enct  13268