Theorem enctlem 12918

Description: Lemma for enct 12919. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
enctlem	|- ( A ~~ B -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f, g

Allowed substitution hint:   A( g)

Proof of Theorem enctlem

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6533	. . . . 5 |- 1o e. _V
2	1	enref 6879	. . . 4 |- 1o ~~ 1o
3		djuen 7354	. . . 4 |- ( ( A ~~ B /\ 1o ~~ 1o ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( B ⊔ 1o ) )
4	2, 3	mpan2 425	. . 3 |- ( A ~~ B -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( B ⊔ 1o ) )
5		bren 6858	. . 3 |- ( ( A ⊔ 1o ) ~~ ( B ⊔ 1o ) <-> E. h h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) )
6	4, 5	sylib 122	. 2 |- ( A ~~ B -> E. h h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) )
7		f1ofo 5551	. . . . . 6 |- ( h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) -> h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
8	7	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
9		foco 5531	. . . . . 6 |- ( ( h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> ( h o. f ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
10		vex 2779	. . . . . . . 8 |- h e. _V
11		vex 2779	. . . . . . . 8 |- f e. _V
12	10, 11	coex 5247	. . . . . . 7 |- ( h o. f ) e. _V
13		foeq1 5516	. . . . . . 7 |- ( g = ( h o. f ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> ( h o. f ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
14	12, 13	spcev 2875	. . . . . 6 |- ( ( h o. f ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
15	9, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
16	8, 15	sylancom 420	. . . 4 |- ( ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
17	16	ex 115	. . 3 |- ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
18	17	exlimdv 1843	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
19	6, 18	exlimddv 1923	1 |- ( A ~~ B -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1516   class class class wbr 4059   omcom 4656   o. ccom 4697   -onto->wfo 5288   -1-1-onto->wf1o 5289   1oc1o 6518   ~~ cen 6848   ⊔ cdju 7165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-dju 7166  df-inl 7175  df-inr 7176

This theorem is referenced by:  enct  12919