Theorem enctlem 12803

Description: Lemma for enct 12804. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
enctlem	|- ( A ~~ B -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f, g

Allowed substitution hint:   A( g)

Proof of Theorem enctlem

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6510	. . . . 5 |- 1o e. _V
2	1	enref 6856	. . . 4 |- 1o ~~ 1o
3		djuen 7323	. . . 4 |- ( ( A ~~ B /\ 1o ~~ 1o ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( B ⊔ 1o ) )
4	2, 3	mpan2 425	. . 3 |- ( A ~~ B -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( B ⊔ 1o ) )
5		bren 6835	. . 3 |- ( ( A ⊔ 1o ) ~~ ( B ⊔ 1o ) <-> E. h h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) )
6	4, 5	sylib 122	. 2 |- ( A ~~ B -> E. h h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) )
7		f1ofo 5529	. . . . . 6 |- ( h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) -> h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
8	7	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
9		foco 5509	. . . . . 6 |- ( ( h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> ( h o. f ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
10		vex 2775	. . . . . . . 8 |- h e. _V
11		vex 2775	. . . . . . . 8 |- f e. _V
12	10, 11	coex 5228	. . . . . . 7 |- ( h o. f ) e. _V
13		foeq1 5494	. . . . . . 7 |- ( g = ( h o. f ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> ( h o. f ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
14	12, 13	spcev 2868	. . . . . 6 |- ( ( h o. f ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
15	9, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
16	8, 15	sylancom 420	. . . 4 |- ( ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
17	16	ex 115	. . 3 |- ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
18	17	exlimdv 1842	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
19	6, 18	exlimddv 1922	1 |- ( A ~~ B -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1515   class class class wbr 4044   omcom 4638   o. ccom 4679   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   1oc1o 6495   ~~ cen 6825   ⊔ cdju 7139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-1o 6502  df-er 6620  df-en 6828  df-dju 7140  df-inl 7149  df-inr 7150

This theorem is referenced by:  enct  12804