Theorem enctlem 12774

Description: Lemma for enct 12775. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
enctlem	|- ( A ~~ B -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f, g

Allowed substitution hint:   A( g)

Proof of Theorem enctlem

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6509	. . . . 5 |- 1o e. _V
2	1	enref 6855	. . . 4 |- 1o ~~ 1o
3		djuen 7322	. . . 4 |- ( ( A ~~ B /\ 1o ~~ 1o ) -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( B ⊔ 1o ) )
4	2, 3	mpan2 425	. . 3 |- ( A ~~ B -> ( A ⊔ 1o ) ~~ ( B ⊔ 1o ) )
5		bren 6834	. . 3 |- ( ( A ⊔ 1o ) ~~ ( B ⊔ 1o ) <-> E. h h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) )
6	4, 5	sylib 122	. 2 |- ( A ~~ B -> E. h h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) )
7		f1ofo 5528	. . . . . 6 |- ( h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) -> h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
8	7	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
9		foco 5508	. . . . . 6 |- ( ( h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> ( h o. f ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
10		vex 2774	. . . . . . . 8 |- h e. _V
11		vex 2774	. . . . . . . 8 |- f e. _V
12	10, 11	coex 5227	. . . . . . 7 |- ( h o. f ) e. _V
13		foeq1 5493	. . . . . . 7 |- ( g = ( h o. f ) -> ( g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) <-> ( h o. f ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
14	12, 13	spcev 2867	. . . . . 6 |- ( ( h o. f ) : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
15	9, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( h : ( A ⊔ 1o ) -onto-> ( B ⊔ 1o ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
16	8, 15	sylancom 420	. . . 4 |- ( ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) )
17	16	ex 115	. . 3 |- ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
18	17	exlimdv 1841	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ h : ( A ⊔ 1o ) -1-1-onto-> ( B ⊔ 1o ) ) -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )
19	6, 18	exlimddv 1921	1 |- ( A ~~ B -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( B ⊔ 1o ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1514   class class class wbr 4043   omcom 4637   o. ccom 4678   -onto->wfo 5268   -1-1-onto->wf1o 5269   1oc1o 6494   ~~ cen 6824   ⊔ cdju 7138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-1o 6501  df-er 6619  df-en 6827  df-dju 7139  df-inl 7148  df-inr 7149

This theorem is referenced by:  enct  12775