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Theorem enctlem 11956
Description: Lemma for enct 11957. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
enctlem (𝐴𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓,𝑔
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑔)

Proof of Theorem enctlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1oex 6321 . . . . 5 1o ∈ V
21enref 6659 . . . 4 1o ≈ 1o
3 djuen 7072 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ 1o ≈ 1o) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐵 ⊔ 1o))
42, 3mpan2 421 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐵 ⊔ 1o))
5 bren 6641 . . 3 ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∃ :(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o))
64, 5sylib 121 . 2 (𝐴𝐵 → ∃ :(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o))
7 f1ofo 5374 . . . . . 6 (:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o) → :(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
87ad2antlr 480 . . . . 5 (((𝐴𝐵:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → :(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
9 foco 5355 . . . . . 6 ((:(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → (𝑓):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
10 vex 2689 . . . . . . . 8 ∈ V
11 vex 2689 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
1210, 11coex 5084 . . . . . . 7 (𝑓) ∈ V
13 foeq1 5341 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑓) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ (𝑓):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
1412, 13spcev 2780 . . . . . 6 ((𝑓):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
159, 14syl 14 . . . . 5 ((:(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
168, 15sylancom 416 . . . 4 (((𝐴𝐵:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
1716ex 114 . . 3 ((𝐴𝐵:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
1817exlimdv 1791 . 2 ((𝐴𝐵:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
196, 18exlimddv 1870 1 (𝐴𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wex 1468   class class class wbr 3929  ωcom 4504  ccom 4543  ontowfo 5121  1-1-ontowf1o 5122  1oc1o 6306  cen 6632  cdju 6922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933
This theorem is referenced by:  enct  11957
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