Theorem enctlem 12674

Description: Lemma for enct 12675. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
enctlem	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓,𝑔

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑔)

Proof of Theorem enctlem

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6491	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
2	1	enref 6833	. . . 4 ⊢ 1o ≈ 1o
3		djuen 7294	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 1o ≈ 1o) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐵 ⊔ 1o))
4	2, 3	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐵 ⊔ 1o))
5		bren 6815	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o))
6	4, 5	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o))
7		f1ofo 5514	. . . . . 6 ⊢ (ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
8	7	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
9		foco 5494	. . . . . 6 ⊢ ((ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → (ℎ ∘ 𝑓):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
10		vex 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ℎ ∈ V
11		vex 2766	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑓 ∈ V
12	10, 11	coex 5216	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∘ 𝑓) ∈ V
13		foeq1 5479	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (ℎ ∘ 𝑓) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ (ℎ ∘ 𝑓):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
14	12, 13	spcev 2859	. . . . . 6 ⊢ ((ℎ ∘ 𝑓):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
15	9, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
16	8, 15	sylancom 420	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
17	16	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
18	17	exlimdv 1833	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
19	6, 18	exlimddv 1913	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1506   class class class wbr 4034  ωcom 4627   ∘ ccom 4668  –onto→wfo 5257  –1-1-onto→wf1o 5258  1_oc1o 6476   ≈ cen 6806   ⊔ cdju 7112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-1o 6483  df-er 6601  df-en 6809  df-dju 7113  df-inl 7122  df-inr 7123

This theorem is referenced by:  enct  12675