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Theorem enctlem 12446
Description: Lemma for enct 12447. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
enctlem (𝐴𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓,𝑔
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑔)

Proof of Theorem enctlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1oex 6438 . . . . 5 1o ∈ V
21enref 6778 . . . 4 1o ≈ 1o
3 djuen 7223 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ 1o ≈ 1o) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐵 ⊔ 1o))
42, 3mpan2 425 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐵 ⊔ 1o))
5 bren 6760 . . 3 ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∃ :(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o))
64, 5sylib 122 . 2 (𝐴𝐵 → ∃ :(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o))
7 f1ofo 5480 . . . . . 6 (:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o) → :(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
87ad2antlr 489 . . . . 5 (((𝐴𝐵:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → :(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
9 foco 5460 . . . . . 6 ((:(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → (𝑓):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
10 vex 2752 . . . . . . . 8 ∈ V
11 vex 2752 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
1210, 11coex 5186 . . . . . . 7 (𝑓) ∈ V
13 foeq1 5446 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑓) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ (𝑓):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
1412, 13spcev 2844 . . . . . 6 ((𝑓):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
159, 14syl 14 . . . . 5 ((:(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
168, 15sylancom 420 . . . 4 (((𝐴𝐵:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
1716ex 115 . . 3 ((𝐴𝐵:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
1817exlimdv 1829 . 2 ((𝐴𝐵:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
196, 18exlimddv 1908 1 (𝐴𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wex 1502   class class class wbr 4015  ωcom 4601  ccom 4642  ontowfo 5226  1-1-ontowf1o 5227  1oc1o 6423  cen 6751  cdju 7049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-1o 6430  df-er 6548  df-en 6754  df-dju 7050  df-inl 7059  df-inr 7060
This theorem is referenced by:  enct  12447
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