Theorem enctlem 13046

Description: Lemma for enct 13047. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
enctlem	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓,𝑔

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑔)

Proof of Theorem enctlem

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6585	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
2	1	enref 6933	. . . 4 ⊢ 1o ≈ 1o
3		djuen 7419	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 1o ≈ 1o) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐵 ⊔ 1o))
4	2, 3	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐵 ⊔ 1o))
5		bren 6912	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o))
6	4, 5	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o))
7		f1ofo 5587	. . . . . 6 ⊢ (ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
8	7	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
9		foco 5567	. . . . . 6 ⊢ ((ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → (ℎ ∘ 𝑓):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
10		vex 2803	. . . . . . . 8 ⊢ ℎ ∈ V
11		vex 2803	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑓 ∈ V
12	10, 11	coex 5280	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∘ 𝑓) ∈ V
13		foeq1 5552	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (ℎ ∘ 𝑓) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ (ℎ ∘ 𝑓):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
14	12, 13	spcev 2899	. . . . . 6 ⊢ ((ℎ ∘ 𝑓):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
15	9, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
16	8, 15	sylancom 420	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
17	16	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
18	17	exlimdv 1865	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
19	6, 18	exlimddv 1945	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1538   class class class wbr 4086  ωcom 4686   ∘ ccom 4727  –onto→wfo 5322  –1-1-onto→wf1o 5323  1_oc1o 6570   ≈ cen 6902   ⊔ cdju 7230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-dju 7231  df-inl 7240  df-inr 7241

This theorem is referenced by:  enct  13047