Theorem enctlem 12387

Description: Lemma for enct 12388. One direction of the biconditional. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
enctlem	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓,𝑔

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑔)

Proof of Theorem enctlem

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6403	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
2	1	enref 6743	. . . 4 ⊢ 1o ≈ 1o
3		djuen 7188	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 1o ≈ 1o) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐵 ⊔ 1o))
4	2, 3	mpan2 423	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐵 ⊔ 1o))
5		bren 6725	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ (𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o))
6	4, 5	sylib 121	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o))
7		f1ofo 5449	. . . . . 6 ⊢ (ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
8	7	ad2antlr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
9		foco 5430	. . . . . 6 ⊢ ((ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → (ℎ ∘ 𝑓):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
10		vex 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ℎ ∈ V
11		vex 2733	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑓 ∈ V
12	10, 11	coex 5156	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∘ 𝑓) ∈ V
13		foeq1 5416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (ℎ ∘ 𝑓) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ (ℎ ∘ 𝑓):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
14	12, 13	spcev 2825	. . . . . 6 ⊢ ((ℎ ∘ 𝑓):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
15	9, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
16	8, 15	sylancom 418	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
17	16	ex 114	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
18	17	exlimdv 1812	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ℎ:(𝐴 ⊔ 1o)–1-1-onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
19	6, 18	exlimddv 1891	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∃wex 1485   class class class wbr 3989  ωcom 4574   ∘ ccom 4615  –onto→wfo 5196  –1-1-onto→wf1o 5197  1_oc1o 6388   ≈ cen 6716   ⊔ cdju 7014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025

This theorem is referenced by:  enct  12388