Theorem enq0eceq 7453

Description: Equivalence class equality of nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0eceq	⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q0 ↔ (𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶)))

Proof of Theorem enq0eceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enq0er 7451	. . . 4 ⊢ ~Q0 Er (ω × N)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) → ~Q0 Er (ω × N))
3		opelxpi 4672	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ω × N))
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ω × N))
5	2, 4	erth 6596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ~Q0 ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q0 ))
6		enq0breq 7452	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ~Q0 ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶)))
7	5, 6	bitr3d 190	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q0 ↔ (𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2159  ⟨cop 3609   class class class wbr 4017  ωcom 4603   × cxp 4638  (class class class)co 5890   ·_o comu 6432   Er wer 6549  [cec 6550  Ncnpi 7288   ~_Q0 ceq0 7302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-iord 4380  df-on 4382  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-irdg 6388  df-oadd 6438  df-omul 6439  df-er 6552  df-ec 6554  df-ni 7320  df-enq0 7440

This theorem is referenced by:  nq0m0r  7472