Theorem enqeceq 7426

Description: Equivalence class equality of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 29-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enqeceq	|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( A .N D ) = ( B .N C ) ) )

Proof of Theorem enqeceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqer 7425	. . . 4 |- ~Q Er ( N. X. N. )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ~Q Er ( N. X. N. ) )
3		opelxpi 4695	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( N. X. N. ) )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> <. A , B >. e. ( N. X. N. ) )
5	2, 4	erth 6638	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. ~Q <. C , D >. <-> [ <. A , B >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q ) )
6		enqbreq 7423	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. ~Q <. C , D >. <-> ( A .N D ) = ( B .N C ) ) )
7	5, 6	bitr3d 190	1 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( A .N D ) = ( B .N C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   <.cop 3625   class class class wbr 4033   X. cxp 4661  (class class class)co 5922   Er wer 6589   [cec 6590   N.cnpi 7339   .N cmi 7341   ~Q ceq 7346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-ni 7371  df-mi 7373  df-enq 7414

This theorem is referenced by:  ordpipqqs  7441  nqtri3or  7463