ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordpipqqs Unicode version

Theorem ordpipqqs 7351
Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ordpipqqs  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ]  ~Q  <Q  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  <->  ( A  .N  D )  <N  ( B  .N  C ) ) )

Proof of Theorem ordpipqqs
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enqex 7337 . 2  |-  ~Q  e.  _V
2 enqer 7335 . 2  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
3 df-nqqs 7325 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
4 df-ltnqqs 7330 . 2  |-  <Q  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  y  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  /\  ( z  .N  u
)  <N  ( w  .N  v ) ) ) }
5 enqeceq 7336 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  B )  =  ( w  .N  A ) ) )
6 enqeceq 7336 . . . . . 6  |-  ( ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  =  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  <->  ( v  .N  D )  =  ( u  .N  C ) ) )
7 eqcom 2179 . . . . . 6  |-  ( ( v  .N  D )  =  ( u  .N  C )  <->  ( u  .N  C )  =  ( v  .N  D ) )
86, 7bitrdi 196 . . . . 5  |-  ( ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  =  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  <->  ( u  .N  C )  =  ( v  .N  D ) ) )
95, 8bi2anan9 606 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  /\ 
[ <. v ,  u >. ]  ~Q  =  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  )  <->  ( (
z  .N  B )  =  ( w  .N  A )  /\  (
u  .N  C )  =  ( v  .N  D ) ) ) )
10 oveq12 5877 . . . . 5  |-  ( ( ( z  .N  B
)  =  ( w  .N  A )  /\  ( u  .N  C
)  =  ( v  .N  D ) )  ->  ( ( z  .N  B )  .N  ( u  .N  C
) )  =  ( ( w  .N  A
)  .N  ( v  .N  D ) ) )
11 simplll 533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  z  e.  N. )
12 simprlr 538 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  u  e.  N. )
13 simplrr 536 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  B  e.  N. )
14 mulcompig 7308 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
1514adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  y )  =  ( y  .N  x ) )
16 mulasspig 7309 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  f  e.  N. )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  f )  =  ( x  .N  ( y  .N  f
) ) )
1716adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N.  /\  f  e.  N. ) )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  f )  =  ( x  .N  ( y  .N  f
) ) )
18 simprrl 539 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  C  e.  N. )
19 mulclpi 7305 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  e.  N. )
2019adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  y )  e.  N. )
2111, 12, 13, 15, 17, 18, 20caov4d 6052 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( z  .N  u )  .N  ( B  .N  C
) )  =  ( ( z  .N  B
)  .N  ( u  .N  C ) ) )
22 simpllr 534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  w  e.  N. )
23 simprll 537 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  v  e.  N. )
24 simplrl 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  A  e.  N. )
25 simprrr 540 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  D  e.  N. )
2622, 23, 24, 15, 17, 25, 20caov4d 6052 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( w  .N  v )  .N  ( A  .N  D
) )  =  ( ( w  .N  A
)  .N  ( v  .N  D ) ) )
2721, 26eqeq12d 2192 . . . . 5  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( z  .N  u )  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( ( w  .N  v )  .N  ( A  .N  D ) )  <-> 
( ( z  .N  B )  .N  (
u  .N  C ) )  =  ( ( w  .N  A )  .N  ( v  .N  D ) ) ) )
2810, 27syl5ibr 156 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( z  .N  B )  =  ( w  .N  A )  /\  (
u  .N  C )  =  ( v  .N  D ) )  -> 
( ( z  .N  u )  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( ( w  .N  v )  .N  ( A  .N  D
) ) ) )
299, 28sylbid 150 . . 3  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  /\ 
[ <. v ,  u >. ]  ~Q  =  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  )  ->  (
( z  .N  u
)  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( ( w  .N  v )  .N  ( A  .N  D
) ) ) )
30 ltmpig 7316 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  f  e.  N. )  ->  (
x  <N  y  <->  ( f  .N  x )  <N  (
f  .N  y ) ) )
3130adantl 277 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N.  /\  f  e.  N. ) )  ->  (
x  <N  y  <->  ( f  .N  x )  <N  (
f  .N  y ) ) )
3220, 11, 12caovcld 6021 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( z  .N  u )  e.  N. )
3320, 13, 18caovcld 6021 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( B  .N  C )  e.  N. )
3420, 22, 23caovcld 6021 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( w  .N  v )  e.  N. )
3520, 24, 25caovcld 6021 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( A  .N  D )  e.  N. )
3631, 32, 33, 34, 15, 35caovord3d 6038 . . 3  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( z  .N  u )  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( ( w  .N  v )  .N  ( A  .N  D ) )  ->  ( ( z  .N  u )  <N 
( w  .N  v
)  <->  ( A  .N  D )  <N  ( B  .N  C ) ) ) )
3729, 36syld 45 . 2  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  /\ 
[ <. v ,  u >. ]  ~Q  =  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  )  ->  (
( z  .N  u
)  <N  ( w  .N  v )  <->  ( A  .N  D )  <N  ( B  .N  C ) ) ) )
381, 2, 3, 4, 37brecop 6618 1  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ]  ~Q  <Q  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  <->  ( A  .N  D )  <N  ( B  .N  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   <.cop 3594   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868   [cec 6526   N.cnpi 7249    .N cmi 7251    <N clti 7252    ~Q ceq 7256   Q.cnq 7257    <Q cltq 7262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4285  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-oadd 6414  df-omul 6415  df-er 6528  df-ec 6530  df-qs 6534  df-ni 7281  df-mi 7283  df-lti 7284  df-enq 7324  df-nqqs 7325  df-ltnqqs 7330
This theorem is referenced by:  nqtri3or  7373  ltdcnq  7374  ltsonq  7375  ltanqg  7377  ltmnqg  7378  1lt2nq  7383  ltexnqq  7385  archnqq  7394  prarloclemarch2  7396  ltnnnq  7400  prarloclemlt  7470
  Copyright terms: Public domain W3C validator