Theorem ordpipqqs 7336

Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordpipqqs	|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q <Q [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) )

Proof of Theorem ordpipqqs

Dummy variables x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqex 7322	. 2 |- ~Q e. _V
2		enqer 7320	. 2 |- ~Q Er ( N. X. N. )
3		df-nqqs 7310	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
4		df-ltnqqs 7315	. 2 |- <Q = { <. x , y >. | ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] ~Q /\ y = [ <. v , u >. ] ~Q ) /\ ( z .N u ) <N ( w .N v ) ) ) }
5		enqeceq 7321	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q <-> ( z .N B ) = ( w .N A ) ) )
6		enqeceq 7321	. . . . . 6 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( v .N D ) = ( u .N C ) ) )
7		eqcom 2172	. . . . . 6 |- ( ( v .N D ) = ( u .N C ) <-> ( u .N C ) = ( v .N D ) )
8	6, 7	bitrdi 195	. . . . 5 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( u .N C ) = ( v .N D ) ) )
9	5, 8	bi2anan9 601	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q /\ [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q ) <-> ( ( z .N B ) = ( w .N A ) /\ ( u .N C ) = ( v .N D ) ) ) )
10		oveq12 5862	. . . . 5 |- ( ( ( z .N B ) = ( w .N A ) /\ ( u .N C ) = ( v .N D ) ) -> ( ( z .N B ) .N ( u .N C ) ) = ( ( w .N A ) .N ( v .N D ) ) )
11		simplll 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> z e. N. )
12		simprlr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> u e. N. )
13		simplrr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> B e. N. )
14		mulcompig 7293	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
15	14	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
16		mulasspig 7294	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N f ) = ( x .N ( y .N f ) ) )
17	16	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N f ) = ( x .N ( y .N f ) ) )
18		simprrl 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> C e. N. )
19		mulclpi 7290	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
20	19	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) e. N. )
21	11, 12, 13, 15, 17, 18, 20	caov4d 6037	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( z .N B ) .N ( u .N C ) ) )
22		simpllr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> w e. N. )
23		simprll 532	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> v e. N. )
24		simplrl 530	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> A e. N. )
25		simprrr 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> D e. N. )
26	22, 23, 24, 15, 17, 25, 20	caov4d 6037	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) = ( ( w .N A ) .N ( v .N D ) ) )
27	21, 26	eqeq12d 2185	. . . . 5 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) <-> ( ( z .N B ) .N ( u .N C ) ) = ( ( w .N A ) .N ( v .N D ) ) ) )
28	10, 27	syl5ibr 155	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( ( z .N B ) = ( w .N A ) /\ ( u .N C ) = ( v .N D ) ) -> ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) ) )
29	9, 28	sylbid 149	. . 3 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q /\ [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q ) -> ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) ) )
30		ltmpig 7301	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) -> ( x <N y <-> ( f .N x ) <N ( f .N y ) ) )
31	30	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( x <N y <-> ( f .N x ) <N ( f .N y ) ) )
32	20, 11, 12	caovcld 6006	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
33	20, 13, 18	caovcld 6006	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( B .N C ) e. N. )
34	20, 22, 23	caovcld 6006	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
35	20, 24, 25	caovcld 6006	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( A .N D ) e. N. )
36	31, 32, 33, 34, 15, 35	caovord3d 6023	. . 3 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) -> ( ( z .N u ) <N ( w .N v ) <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) ) )
37	29, 36	syld 45	. 2 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q /\ [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q ) -> ( ( z .N u ) <N ( w .N v ) <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) ) )
38	1, 2, 3, 4, 37	brecop 6603	1 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q <Q [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3586   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   [cec 6511   N.cnpi 7234   .N cmi 7236   <N clti 7237   ~Q ceq 7241   Q.cnq 7242   <Q cltq 7247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-mi 7268  df-lti 7269  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-ltnqqs 7315

This theorem is referenced by:  nqtri3or  7358  ltdcnq  7359  ltsonq  7360  ltanqg  7362  ltmnqg  7363  1lt2nq  7368  ltexnqq  7370  archnqq  7379  prarloclemarch2  7381  ltnnnq  7385  prarloclemlt  7455