Theorem ordpipqqs 7436

Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordpipqqs	|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q <Q [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) )

Proof of Theorem ordpipqqs

Dummy variables x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqex 7422	. 2 |- ~Q e. _V
2		enqer 7420	. 2 |- ~Q Er ( N. X. N. )
3		df-nqqs 7410	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
4		df-ltnqqs 7415	. 2 |- <Q = { <. x , y >. | ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] ~Q /\ y = [ <. v , u >. ] ~Q ) /\ ( z .N u ) <N ( w .N v ) ) ) }
5		enqeceq 7421	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q <-> ( z .N B ) = ( w .N A ) ) )
6		enqeceq 7421	. . . . . 6 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( v .N D ) = ( u .N C ) ) )
7		eqcom 2195	. . . . . 6 |- ( ( v .N D ) = ( u .N C ) <-> ( u .N C ) = ( v .N D ) )
8	6, 7	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( u .N C ) = ( v .N D ) ) )
9	5, 8	bi2anan9 606	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q /\ [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q ) <-> ( ( z .N B ) = ( w .N A ) /\ ( u .N C ) = ( v .N D ) ) ) )
10		oveq12 5928	. . . . 5 |- ( ( ( z .N B ) = ( w .N A ) /\ ( u .N C ) = ( v .N D ) ) -> ( ( z .N B ) .N ( u .N C ) ) = ( ( w .N A ) .N ( v .N D ) ) )
11		simplll 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> z e. N. )
12		simprlr 538	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> u e. N. )
13		simplrr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> B e. N. )
14		mulcompig 7393	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
16		mulasspig 7394	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N f ) = ( x .N ( y .N f ) ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N f ) = ( x .N ( y .N f ) ) )
18		simprrl 539	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> C e. N. )
19		mulclpi 7390	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) e. N. )
21	11, 12, 13, 15, 17, 18, 20	caov4d 6105	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( z .N B ) .N ( u .N C ) ) )
22		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> w e. N. )
23		simprll 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> v e. N. )
24		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> A e. N. )
25		simprrr 540	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> D e. N. )
26	22, 23, 24, 15, 17, 25, 20	caov4d 6105	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) = ( ( w .N A ) .N ( v .N D ) ) )
27	21, 26	eqeq12d 2208	. . . . 5 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) <-> ( ( z .N B ) .N ( u .N C ) ) = ( ( w .N A ) .N ( v .N D ) ) ) )
28	10, 27	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( ( z .N B ) = ( w .N A ) /\ ( u .N C ) = ( v .N D ) ) -> ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) ) )
29	9, 28	sylbid 150	. . 3 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q /\ [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q ) -> ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) ) )
30		ltmpig 7401	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) -> ( x <N y <-> ( f .N x ) <N ( f .N y ) ) )
31	30	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( x <N y <-> ( f .N x ) <N ( f .N y ) ) )
32	20, 11, 12	caovcld 6074	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
33	20, 13, 18	caovcld 6074	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( B .N C ) e. N. )
34	20, 22, 23	caovcld 6074	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
35	20, 24, 25	caovcld 6074	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( A .N D ) e. N. )
36	31, 32, 33, 34, 15, 35	caovord3d 6091	. . 3 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) -> ( ( z .N u ) <N ( w .N v ) <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) ) )
37	29, 36	syld 45	. 2 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q /\ [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q ) -> ( ( z .N u ) <N ( w .N v ) <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) ) )
38	1, 2, 3, 4, 37	brecop 6681	1 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q <Q [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   <.cop 3622   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   [cec 6587   N.cnpi 7334   .N cmi 7336   <N clti 7337   ~Q ceq 7341   Q.cnq 7342   <Q cltq 7347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-mi 7368  df-lti 7369  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-ltnqqs 7415

This theorem is referenced by:  nqtri3or  7458  ltdcnq  7459  ltsonq  7460  ltanqg  7462  ltmnqg  7463  1lt2nq  7468  ltexnqq  7470  archnqq  7479  prarloclemarch2  7481  ltnnnq  7485  prarloclemlt  7555