Theorem ordpipqqs 7441

Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordpipqqs	|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q <Q [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) )

Proof of Theorem ordpipqqs

Dummy variables x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqex 7427	. 2 |- ~Q e. _V
2		enqer 7425	. 2 |- ~Q Er ( N. X. N. )
3		df-nqqs 7415	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
4		df-ltnqqs 7420	. 2 |- <Q = { <. x , y >. | ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] ~Q /\ y = [ <. v , u >. ] ~Q ) /\ ( z .N u ) <N ( w .N v ) ) ) }
5		enqeceq 7426	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q <-> ( z .N B ) = ( w .N A ) ) )
6		enqeceq 7426	. . . . . 6 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( v .N D ) = ( u .N C ) ) )
7		eqcom 2198	. . . . . 6 |- ( ( v .N D ) = ( u .N C ) <-> ( u .N C ) = ( v .N D ) )
8	6, 7	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( u .N C ) = ( v .N D ) ) )
9	5, 8	bi2anan9 606	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q /\ [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q ) <-> ( ( z .N B ) = ( w .N A ) /\ ( u .N C ) = ( v .N D ) ) ) )
10		oveq12 5931	. . . . 5 |- ( ( ( z .N B ) = ( w .N A ) /\ ( u .N C ) = ( v .N D ) ) -> ( ( z .N B ) .N ( u .N C ) ) = ( ( w .N A ) .N ( v .N D ) ) )
11		simplll 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> z e. N. )
12		simprlr 538	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> u e. N. )
13		simplrr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> B e. N. )
14		mulcompig 7398	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
16		mulasspig 7399	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N f ) = ( x .N ( y .N f ) ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N f ) = ( x .N ( y .N f ) ) )
18		simprrl 539	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> C e. N. )
19		mulclpi 7395	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) e. N. )
21	11, 12, 13, 15, 17, 18, 20	caov4d 6108	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( z .N B ) .N ( u .N C ) ) )
22		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> w e. N. )
23		simprll 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> v e. N. )
24		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> A e. N. )
25		simprrr 540	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> D e. N. )
26	22, 23, 24, 15, 17, 25, 20	caov4d 6108	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) = ( ( w .N A ) .N ( v .N D ) ) )
27	21, 26	eqeq12d 2211	. . . . 5 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) <-> ( ( z .N B ) .N ( u .N C ) ) = ( ( w .N A ) .N ( v .N D ) ) ) )
28	10, 27	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( ( z .N B ) = ( w .N A ) /\ ( u .N C ) = ( v .N D ) ) -> ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) ) )
29	9, 28	sylbid 150	. . 3 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q /\ [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q ) -> ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) ) )
30		ltmpig 7406	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) -> ( x <N y <-> ( f .N x ) <N ( f .N y ) ) )
31	30	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( x <N y <-> ( f .N x ) <N ( f .N y ) ) )
32	20, 11, 12	caovcld 6077	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
33	20, 13, 18	caovcld 6077	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( B .N C ) e. N. )
34	20, 22, 23	caovcld 6077	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
35	20, 24, 25	caovcld 6077	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( A .N D ) e. N. )
36	31, 32, 33, 34, 15, 35	caovord3d 6094	. . 3 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) -> ( ( z .N u ) <N ( w .N v ) <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) ) )
37	29, 36	syld 45	. 2 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q /\ [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q ) -> ( ( z .N u ) <N ( w .N v ) <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) ) )
38	1, 2, 3, 4, 37	brecop 6684	1 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q <Q [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   <.cop 3625   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   [cec 6590   N.cnpi 7339   .N cmi 7341   <N clti 7342   ~Q ceq 7346   Q.cnq 7347   <Q cltq 7352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-mi 7373  df-lti 7374  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-ltnqqs 7420

This theorem is referenced by:  nqtri3or  7463  ltdcnq  7464  ltsonq  7465  ltanqg  7467  ltmnqg  7468  1lt2nq  7473  ltexnqq  7475  archnqq  7484  prarloclemarch2  7486  ltnnnq  7490  prarloclemlt  7560