Theorem ordpipqqs 7522

Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordpipqqs	|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q <Q [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) )

Proof of Theorem ordpipqqs

Dummy variables x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqex 7508	. 2 |- ~Q e. _V
2		enqer 7506	. 2 |- ~Q Er ( N. X. N. )
3		df-nqqs 7496	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
4		df-ltnqqs 7501	. 2 |- <Q = { <. x , y >. | ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] ~Q /\ y = [ <. v , u >. ] ~Q ) /\ ( z .N u ) <N ( w .N v ) ) ) }
5		enqeceq 7507	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q <-> ( z .N B ) = ( w .N A ) ) )
6		enqeceq 7507	. . . . . 6 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( v .N D ) = ( u .N C ) ) )
7		eqcom 2209	. . . . . 6 |- ( ( v .N D ) = ( u .N C ) <-> ( u .N C ) = ( v .N D ) )
8	6, 7	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( u .N C ) = ( v .N D ) ) )
9	5, 8	bi2anan9 606	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q /\ [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q ) <-> ( ( z .N B ) = ( w .N A ) /\ ( u .N C ) = ( v .N D ) ) ) )
10		oveq12 5976	. . . . 5 |- ( ( ( z .N B ) = ( w .N A ) /\ ( u .N C ) = ( v .N D ) ) -> ( ( z .N B ) .N ( u .N C ) ) = ( ( w .N A ) .N ( v .N D ) ) )
11		simplll 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> z e. N. )
12		simprlr 538	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> u e. N. )
13		simplrr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> B e. N. )
14		mulcompig 7479	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
16		mulasspig 7480	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N f ) = ( x .N ( y .N f ) ) )
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N f ) = ( x .N ( y .N f ) ) )
18		simprrl 539	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> C e. N. )
19		mulclpi 7476	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) e. N. )
21	11, 12, 13, 15, 17, 18, 20	caov4d 6154	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( z .N B ) .N ( u .N C ) ) )
22		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> w e. N. )
23		simprll 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> v e. N. )
24		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> A e. N. )
25		simprrr 540	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> D e. N. )
26	22, 23, 24, 15, 17, 25, 20	caov4d 6154	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) = ( ( w .N A ) .N ( v .N D ) ) )
27	21, 26	eqeq12d 2222	. . . . 5 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) <-> ( ( z .N B ) .N ( u .N C ) ) = ( ( w .N A ) .N ( v .N D ) ) ) )
28	10, 27	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( ( z .N B ) = ( w .N A ) /\ ( u .N C ) = ( v .N D ) ) -> ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) ) )
29	9, 28	sylbid 150	. . 3 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q /\ [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q ) -> ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) ) )
30		ltmpig 7487	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) -> ( x <N y <-> ( f .N x ) <N ( f .N y ) ) )
31	30	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( x <N y <-> ( f .N x ) <N ( f .N y ) ) )
32	20, 11, 12	caovcld 6123	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
33	20, 13, 18	caovcld 6123	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( B .N C ) e. N. )
34	20, 22, 23	caovcld 6123	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
35	20, 24, 25	caovcld 6123	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( A .N D ) e. N. )
36	31, 32, 33, 34, 15, 35	caovord3d 6140	. . 3 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) -> ( ( z .N u ) <N ( w .N v ) <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) ) )
37	29, 36	syld 45	. 2 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q /\ [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q ) -> ( ( z .N u ) <N ( w .N v ) <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) ) )
38	1, 2, 3, 4, 37	brecop 6735	1 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q <Q [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   <.cop 3646   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   [cec 6641   N.cnpi 7420   .N cmi 7422   <N clti 7423   ~Q ceq 7427   Q.cnq 7428   <Q cltq 7433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-eprel 4354  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-er 6643  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-mi 7454  df-lti 7455  df-enq 7495  df-nqqs 7496  df-ltnqqs 7501

This theorem is referenced by:  nqtri3or  7544  ltdcnq  7545  ltsonq  7546  ltanqg  7548  ltmnqg  7549  1lt2nq  7554  ltexnqq  7556  archnqq  7565  prarloclemarch2  7567  ltnnnq  7571  prarloclemlt  7641