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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ordpipqqs | Unicode version |
Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.) |
Ref | Expression |
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ordpipqqs |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | enqex 7109 |
. 2
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2 | enqer 7107 |
. 2
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3 | df-nqqs 7097 |
. 2
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4 | df-ltnqqs 7102 |
. 2
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5 | enqeceq 7108 |
. . . . 5
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6 | enqeceq 7108 |
. . . . . 6
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7 | eqcom 2115 |
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8 | 6, 7 | syl6bb 195 |
. . . . 5
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9 | 5, 8 | bi2anan9 578 |
. . . 4
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10 | oveq12 5735 |
. . . . 5
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11 | simplll 505 |
. . . . . . 7
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12 | simprlr 510 |
. . . . . . 7
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13 | simplrr 508 |
. . . . . . 7
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14 | mulcompig 7080 |
. . . . . . . 8
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15 | 14 | adantl 273 |
. . . . . . 7
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16 | mulasspig 7081 |
. . . . . . . 8
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17 | 16 | adantl 273 |
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18 | simprrl 511 |
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19 | mulclpi 7077 |
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20 | 19 | adantl 273 |
. . . . . . 7
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21 | 11, 12, 13, 15, 17, 18, 20 | caov4d 5907 |
. . . . . 6
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22 | simpllr 506 |
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23 | simprll 509 |
. . . . . . 7
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24 | simplrl 507 |
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25 | simprrr 512 |
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26 | 22, 23, 24, 15, 17, 25, 20 | caov4d 5907 |
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27 | 21, 26 | eqeq12d 2127 |
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28 | 10, 27 | syl5ibr 155 |
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29 | 9, 28 | sylbid 149 |
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30 | ltmpig 7088 |
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31 | 30 | adantl 273 |
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32 | 20, 11, 12 | caovcld 5876 |
. . . 4
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33 | 20, 13, 18 | caovcld 5876 |
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34 | 20, 22, 23 | caovcld 5876 |
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35 | 20, 24, 25 | caovcld 5876 |
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36 | 31, 32, 33, 34, 15, 35 | caovord3d 5893 |
. . 3
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37 | 29, 36 | syld 45 |
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38 | 1, 2, 3, 4, 37 | brecop 6470 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1404 ax-7 1405 ax-gen 1406 ax-ie1 1450 ax-ie2 1451 ax-8 1463 ax-10 1464 ax-11 1465 ax-i12 1466 ax-bndl 1467 ax-4 1468 ax-13 1472 ax-14 1473 ax-17 1487 ax-i9 1491 ax-ial 1495 ax-i5r 1496 ax-ext 2095 ax-coll 4001 ax-sep 4004 ax-nul 4012 ax-pow 4056 ax-pr 4089 ax-un 4313 ax-setind 4410 ax-iinf 4460 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 803 df-3or 944 df-3an 945 df-tru 1315 df-fal 1318 df-nf 1418 df-sb 1717 df-eu 1976 df-mo 1977 df-clab 2100 df-cleq 2106 df-clel 2109 df-nfc 2242 df-ne 2281 df-ral 2393 df-rex 2394 df-reu 2395 df-rab 2397 df-v 2657 df-sbc 2877 df-csb 2970 df-dif 3037 df-un 3039 df-in 3041 df-ss 3048 df-nul 3328 df-pw 3476 df-sn 3497 df-pr 3498 df-op 3500 df-uni 3701 df-int 3736 df-iun 3779 df-br 3894 df-opab 3948 df-mpt 3949 df-tr 3985 df-eprel 4169 df-id 4173 df-iord 4246 df-on 4248 df-suc 4251 df-iom 4463 df-xp 4503 df-rel 4504 df-cnv 4505 df-co 4506 df-dm 4507 df-rn 4508 df-res 4509 df-ima 4510 df-iota 5044 df-fun 5081 df-fn 5082 df-f 5083 df-f1 5084 df-fo 5085 df-f1o 5086 df-fv 5087 df-ov 5729 df-oprab 5730 df-mpo 5731 df-1st 5989 df-2nd 5990 df-recs 6153 df-irdg 6218 df-oadd 6268 df-omul 6269 df-er 6380 df-ec 6382 df-qs 6386 df-ni 7053 df-mi 7055 df-lti 7056 df-enq 7096 df-nqqs 7097 df-ltnqqs 7102 |
This theorem is referenced by: nqtri3or 7145 ltdcnq 7146 ltsonq 7147 ltanqg 7149 ltmnqg 7150 1lt2nq 7155 ltexnqq 7157 archnqq 7166 prarloclemarch2 7168 ltnnnq 7172 prarloclemlt 7242 |
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