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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ordpipqqs | Unicode version |
Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.) |
Ref | Expression |
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ordpipqqs |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | enqex 7390 |
. 2
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2 | enqer 7388 |
. 2
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3 | df-nqqs 7378 |
. 2
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4 | df-ltnqqs 7383 |
. 2
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5 | enqeceq 7389 |
. . . . 5
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6 | enqeceq 7389 |
. . . . . 6
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7 | eqcom 2191 |
. . . . . 6
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8 | 6, 7 | bitrdi 196 |
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9 | 5, 8 | bi2anan9 606 |
. . . 4
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10 | oveq12 5906 |
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11 | simplll 533 |
. . . . . . 7
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12 | simprlr 538 |
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13 | simplrr 536 |
. . . . . . 7
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14 | mulcompig 7361 |
. . . . . . . 8
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15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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16 | mulasspig 7362 |
. . . . . . . 8
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17 | 16 | adantl 277 |
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18 | simprrl 539 |
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19 | mulclpi 7358 |
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20 | 19 | adantl 277 |
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21 | 11, 12, 13, 15, 17, 18, 20 | caov4d 6082 |
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22 | simpllr 534 |
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23 | simprll 537 |
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24 | simplrl 535 |
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25 | simprrr 540 |
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26 | 22, 23, 24, 15, 17, 25, 20 | caov4d 6082 |
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27 | 21, 26 | eqeq12d 2204 |
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28 | 10, 27 | imbitrrid 156 |
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29 | 9, 28 | sylbid 150 |
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30 | ltmpig 7369 |
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31 | 30 | adantl 277 |
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32 | 20, 11, 12 | caovcld 6051 |
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33 | 20, 13, 18 | caovcld 6051 |
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34 | 20, 22, 23 | caovcld 6051 |
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35 | 20, 24, 25 | caovcld 6051 |
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36 | 31, 32, 33, 34, 15, 35 | caovord3d 6068 |
. . 3
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37 | 29, 36 | syld 45 |
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38 | 1, 2, 3, 4, 37 | brecop 6652 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-eprel 4307 df-id 4311 df-iord 4384 df-on 4386 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-ov 5900 df-oprab 5901 df-mpo 5902 df-1st 6166 df-2nd 6167 df-recs 6331 df-irdg 6396 df-oadd 6446 df-omul 6447 df-er 6560 df-ec 6562 df-qs 6566 df-ni 7334 df-mi 7336 df-lti 7337 df-enq 7377 df-nqqs 7378 df-ltnqqs 7383 |
This theorem is referenced by: nqtri3or 7426 ltdcnq 7427 ltsonq 7428 ltanqg 7430 ltmnqg 7431 1lt2nq 7436 ltexnqq 7438 archnqq 7447 prarloclemarch2 7449 ltnnnq 7453 prarloclemlt 7523 |
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