ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordpipqqs Unicode version

Theorem ordpipqqs 6912
Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ordpipqqs  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ]  ~Q  <Q  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  <->  ( A  .N  D )  <N  ( B  .N  C ) ) )

Proof of Theorem ordpipqqs
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enqex 6898 . 2  |-  ~Q  e.  _V
2 enqer 6896 . 2  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
3 df-nqqs 6886 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
4 df-ltnqqs 6891 . 2  |-  <Q  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  y  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  /\  ( z  .N  u
)  <N  ( w  .N  v ) ) ) }
5 enqeceq 6897 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  B )  =  ( w  .N  A ) ) )
6 enqeceq 6897 . . . . . 6  |-  ( ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  =  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  <->  ( v  .N  D )  =  ( u  .N  C ) ) )
7 eqcom 2090 . . . . . 6  |-  ( ( v  .N  D )  =  ( u  .N  C )  <->  ( u  .N  C )  =  ( v  .N  D ) )
86, 7syl6bb 194 . . . . 5  |-  ( ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  =  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  <->  ( u  .N  C )  =  ( v  .N  D ) ) )
95, 8bi2anan9 573 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  /\ 
[ <. v ,  u >. ]  ~Q  =  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  )  <->  ( (
z  .N  B )  =  ( w  .N  A )  /\  (
u  .N  C )  =  ( v  .N  D ) ) ) )
10 oveq12 5643 . . . . 5  |-  ( ( ( z  .N  B
)  =  ( w  .N  A )  /\  ( u  .N  C
)  =  ( v  .N  D ) )  ->  ( ( z  .N  B )  .N  ( u  .N  C
) )  =  ( ( w  .N  A
)  .N  ( v  .N  D ) ) )
11 simplll 500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  z  e.  N. )
12 simprlr 505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  u  e.  N. )
13 simplrr 503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  B  e.  N. )
14 mulcompig 6869 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
1514adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  y )  =  ( y  .N  x ) )
16 mulasspig 6870 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  f  e.  N. )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  f )  =  ( x  .N  ( y  .N  f
) ) )
1716adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N.  /\  f  e.  N. ) )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  f )  =  ( x  .N  ( y  .N  f
) ) )
18 simprrl 506 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  C  e.  N. )
19 mulclpi 6866 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  e.  N. )
2019adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  y )  e.  N. )
2111, 12, 13, 15, 17, 18, 20caov4d 5811 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( z  .N  u )  .N  ( B  .N  C
) )  =  ( ( z  .N  B
)  .N  ( u  .N  C ) ) )
22 simpllr 501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  w  e.  N. )
23 simprll 504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  v  e.  N. )
24 simplrl 502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  A  e.  N. )
25 simprrr 507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  D  e.  N. )
2622, 23, 24, 15, 17, 25, 20caov4d 5811 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( w  .N  v )  .N  ( A  .N  D
) )  =  ( ( w  .N  A
)  .N  ( v  .N  D ) ) )
2721, 26eqeq12d 2102 . . . . 5  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( z  .N  u )  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( ( w  .N  v )  .N  ( A  .N  D ) )  <-> 
( ( z  .N  B )  .N  (
u  .N  C ) )  =  ( ( w  .N  A )  .N  ( v  .N  D ) ) ) )
2810, 27syl5ibr 154 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( z  .N  B )  =  ( w  .N  A )  /\  (
u  .N  C )  =  ( v  .N  D ) )  -> 
( ( z  .N  u )  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( ( w  .N  v )  .N  ( A  .N  D
) ) ) )
299, 28sylbid 148 . . 3  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  /\ 
[ <. v ,  u >. ]  ~Q  =  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  )  ->  (
( z  .N  u
)  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( ( w  .N  v )  .N  ( A  .N  D
) ) ) )
30 ltmpig 6877 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  f  e.  N. )  ->  (
x  <N  y  <->  ( f  .N  x )  <N  (
f  .N  y ) ) )
3130adantl 271 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N.  /\  f  e.  N. ) )  ->  (
x  <N  y  <->  ( f  .N  x )  <N  (
f  .N  y ) ) )
3220, 11, 12caovcld 5780 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( z  .N  u )  e.  N. )
3320, 13, 18caovcld 5780 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( B  .N  C )  e.  N. )
3420, 22, 23caovcld 5780 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( w  .N  v )  e.  N. )
3520, 24, 25caovcld 5780 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( A  .N  D )  e.  N. )
3631, 32, 33, 34, 15, 35caovord3d 5797 . . 3  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( z  .N  u )  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( ( w  .N  v )  .N  ( A  .N  D ) )  ->  ( ( z  .N  u )  <N 
( w  .N  v
)  <->  ( A  .N  D )  <N  ( B  .N  C ) ) ) )
3729, 36syld 44 . 2  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  /\ 
[ <. v ,  u >. ]  ~Q  =  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  )  ->  (
( z  .N  u
)  <N  ( w  .N  v )  <->  ( A  .N  D )  <N  ( B  .N  C ) ) ) )
381, 2, 3, 4, 37brecop 6362 1  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ]  ~Q  <Q  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  <->  ( A  .N  D )  <N  ( B  .N  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   <.cop 3444   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   [cec 6270   N.cnpi 6810    .N cmi 6812    <N clti 6813    ~Q ceq 6817   Q.cnq 6818    <Q cltq 6823
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-mi 6844  df-lti 6845  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-ltnqqs 6891
This theorem is referenced by:  nqtri3or  6934  ltdcnq  6935  ltsonq  6936  ltanqg  6938  ltmnqg  6939  1lt2nq  6944  ltexnqq  6946  archnqq  6955  prarloclemarch2  6957  ltnnnq  6961  prarloclemlt  7031
  Copyright terms: Public domain W3C validator