Theorem grppropstrg 12827

Description: Generalize a specific 2-element group L to show that any set K with the same (relevant) properties is also a group. (Contributed by NM, 28-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grppropstr.b	|- ( Base ` K ) = B
grppropstr.p	|- ( +g ` K ) = .+
grppropstr.l	|- L = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. }

Assertion

Ref	Expression
grppropstrg	|- ( K e. V -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )

Proof of Theorem grppropstrg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grppropstr.b	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = B
2		basfn 12512	. . . . . 6 |- Base Fn _V
3		elex 2748	. . . . . 6 |- ( K e. V -> K e. _V )
4		funfvex 5531	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ K e. dom Base ) -> ( Base ` K ) e. _V )
5	4	funfni 5315	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ K e. _V ) -> ( Base ` K ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 414	. . . . 5 |- ( K e. V -> ( Base ` K ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrrid 2265	. . . 4 |- ( K e. V -> B e. _V )
8		grppropstr.p	. . . . 5 |- ( +g ` K ) = .+
9		plusgslid 12563	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
10	9	slotex 12481	. . . . 5 |- ( K e. V -> ( +g ` K ) e. _V )
11	8, 10	eqeltrrid 2265	. . . 4 |- ( K e. V -> .+ e. _V )
12		grppropstr.l	. . . . 5 |- L = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. }
13	12	grpbaseg 12577	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ .+ e. _V ) -> B = ( Base ` L ) )
14	7, 11, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( K e. V -> B = ( Base ` L ) )
15	1, 14	eqtrid 2222	. . 3 |- ( K e. V -> ( Base ` K ) = ( Base ` L ) )
16	14, 15	eqtr4d 2213	. 2 |- ( K e. V -> B = ( Base ` K ) )
17	12	grpplusgg 12578	. . . . 5 |- ( ( B e. _V /\ .+ e. _V ) -> .+ = ( +g ` L ) )
18	7, 11, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( K e. V -> .+ = ( +g ` L ) )
19	8, 18	eqtrid 2222	. . 3 |- ( K e. V -> ( +g ` K ) = ( +g ` L ) )
20	19	oveqdr 5900	. 2 |- ( ( K e. V /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
21	16, 14, 20	grppropd 12825	1 |- ( K e. V -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   {cpr 3593   <.cop 3595   Fn wfn 5210   ` cfv 5215   ndxcnx 12451   Basecbs 12454   +g cplusg 12528   Grpcgrp 12809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812

This theorem is referenced by:  ring1  13167