Theorem grppropstrg 13426

Description: Generalize a specific 2-element group L to show that any set K with the same (relevant) properties is also a group. (Contributed by NM, 28-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grppropstr.b	|- ( Base ` K ) = B
grppropstr.p	|- ( +g ` K ) = .+
grppropstr.l	|- L = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. }

Assertion

Ref	Expression
grppropstrg	|- ( K e. V -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )

Proof of Theorem grppropstrg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grppropstr.b	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = B
2		basfn 12965	. . . . . 6 |- Base Fn _V
3		elex 2785	. . . . . 6 |- ( K e. V -> K e. _V )
4		funfvex 5606	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ K e. dom Base ) -> ( Base ` K ) e. _V )
5	4	funfni 5385	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ K e. _V ) -> ( Base ` K ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 414	. . . . 5 |- ( K e. V -> ( Base ` K ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrrid 2294	. . . 4 |- ( K e. V -> B e. _V )
8		grppropstr.p	. . . . 5 |- ( +g ` K ) = .+
9		plusgslid 13019	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
10	9	slotex 12934	. . . . 5 |- ( K e. V -> ( +g ` K ) e. _V )
11	8, 10	eqeltrrid 2294	. . . 4 |- ( K e. V -> .+ e. _V )
12		grppropstr.l	. . . . 5 |- L = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. }
13	12	grpbaseg 13034	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ .+ e. _V ) -> B = ( Base ` L ) )
14	7, 11, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( K e. V -> B = ( Base ` L ) )
15	1, 14	eqtrid 2251	. . 3 |- ( K e. V -> ( Base ` K ) = ( Base ` L ) )
16	14, 15	eqtr4d 2242	. 2 |- ( K e. V -> B = ( Base ` K ) )
17	12	grpplusgg 13035	. . . . 5 |- ( ( B e. _V /\ .+ e. _V ) -> .+ = ( +g ` L ) )
18	7, 11, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( K e. V -> .+ = ( +g ` L ) )
19	8, 18	eqtrid 2251	. . 3 |- ( K e. V -> ( +g ` K ) = ( +g ` L ) )
20	19	oveqdr 5985	. 2 |- ( ( K e. V /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
21	16, 14, 20	grppropd 13424	1 |- ( K e. V -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   {cpr 3639   <.cop 3641   Fn wfn 5275   ` cfv 5280   ndxcnx 12904   Basecbs 12907   +g cplusg 12984   Grpcgrp 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410

This theorem is referenced by:  ring1  13896