Theorem grppropstrg 13094

Description: Generalize a specific 2-element group L to show that any set K with the same (relevant) properties is also a group. (Contributed by NM, 28-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grppropstr.b	|- ( Base ` K ) = B
grppropstr.p	|- ( +g ` K ) = .+
grppropstr.l	|- L = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. }

Assertion

Ref	Expression
grppropstrg	|- ( K e. V -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )

Proof of Theorem grppropstrg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grppropstr.b	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = B
2		basfn 12679	. . . . . 6 |- Base Fn _V
3		elex 2771	. . . . . 6 |- ( K e. V -> K e. _V )
4		funfvex 5572	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ K e. dom Base ) -> ( Base ` K ) e. _V )
5	4	funfni 5355	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ K e. _V ) -> ( Base ` K ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 414	. . . . 5 |- ( K e. V -> ( Base ` K ) e. _V )
7	1, 6	eqeltrrid 2281	. . . 4 |- ( K e. V -> B e. _V )
8		grppropstr.p	. . . . 5 |- ( +g ` K ) = .+
9		plusgslid 12733	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
10	9	slotex 12648	. . . . 5 |- ( K e. V -> ( +g ` K ) e. _V )
11	8, 10	eqeltrrid 2281	. . . 4 |- ( K e. V -> .+ e. _V )
12		grppropstr.l	. . . . 5 |- L = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. }
13	12	grpbaseg 12747	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ .+ e. _V ) -> B = ( Base ` L ) )
14	7, 11, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( K e. V -> B = ( Base ` L ) )
15	1, 14	eqtrid 2238	. . 3 |- ( K e. V -> ( Base ` K ) = ( Base ` L ) )
16	14, 15	eqtr4d 2229	. 2 |- ( K e. V -> B = ( Base ` K ) )
17	12	grpplusgg 12748	. . . . 5 |- ( ( B e. _V /\ .+ e. _V ) -> .+ = ( +g ` L ) )
18	7, 11, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( K e. V -> .+ = ( +g ` L ) )
19	8, 18	eqtrid 2238	. . 3 |- ( K e. V -> ( +g ` K ) = ( +g ` L ) )
20	19	oveqdr 5947	. 2 |- ( ( K e. V /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
21	16, 14, 20	grppropd 13092	1 |- ( K e. V -> ( K e. Grp <-> L e. Grp ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   {cpr 3620   <.cop 3622   Fn wfn 5250   ` cfv 5255   ndxcnx 12618   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   Grpcgrp 13075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078

This theorem is referenced by:  ring1  13558