Theorem nqprlu 7730

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nqprlu	|- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

Distinct variable groups:   A, l   u, A

Proof of Theorem nqprlu

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4086	. . . . 5 |- ( l = a -> ( A <Q l <-> A <Q a ) )
2	1	cbvabv 2354	. . . 4 |- { l | A <Q l } = { a | A <Q a }
3		breq2 4086	. . . . 5 |- ( u = a -> ( A <Q u <-> A <Q a ) )
4	3	cbvabv 2354	. . . 4 |- { u | A <Q u } = { a | A <Q a }
5	2, 4	eqtr4i 2253	. . 3 |- { l | A <Q l } = { u | A <Q u }
6	5	opeq2i 3860	. 2 |- <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. = <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >.
7		nqprxx 7729	. 2 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. e. P. )
8	6, 7	eqeltrrid 2317	1 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   {cab 2215   <.cop 3669   class class class wbr 4082   Q.cnq 7463   <Q cltq 7468   P.cnp 7474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-eprel 4379  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-pli 7488  df-mi 7489  df-lti 7490  df-plpq 7527  df-mpq 7528  df-enq 7530  df-nqqs 7531  df-plqqs 7532  df-mqqs 7533  df-1nqqs 7534  df-rq 7535  df-ltnqqs 7536  df-inp 7649

This theorem is referenced by:  recnnpr  7731  nqprl  7734  nqpru  7735  nnprlu  7736  1pr  7737  addnqprlemrl  7740  addnqprlemru  7741  addnqprlemfl  7742  addnqprlemfu  7743  addnqpr  7744  mulnqprlemrl  7756  mulnqprlemru  7757  mulnqprlemfl  7758  mulnqprlemfu  7759  mulnqpr  7760  ltnqpr  7776  ltnqpri  7777  prplnqu  7803  caucvgprlemcanl  7827  cauappcvgprlemladdfu  7837  cauappcvgprlemladdfl  7838  cauappcvgprlemladdru  7839  cauappcvgprlemladdrl  7840  cauappcvgprlemladd  7841  cauappcvgprlem1  7842  cauappcvgprlem2  7843  caucvgprlemladdfu  7860  caucvgprlemladdrl  7861  caucvgprlem1  7862  caucvgprlem2  7863  caucvgprprlemnkltj  7872  caucvgprprlemnkeqj  7873  caucvgprprlemmu  7878  caucvgprprlemopu  7882  caucvgprprlemloc  7886  caucvgprprlemexbt  7889  caucvgprprlem1  7892  caucvgprprlem2  7893  suplocexprlemloc  7904  ltrennb  8037