Theorem nqprlu 7766

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nqprlu	|- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

Distinct variable groups:   A, l   u, A

Proof of Theorem nqprlu

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4092	. . . . 5 |- ( l = a -> ( A <Q l <-> A <Q a ) )
2	1	cbvabv 2356	. . . 4 |- { l | A <Q l } = { a | A <Q a }
3		breq2 4092	. . . . 5 |- ( u = a -> ( A <Q u <-> A <Q a ) )
4	3	cbvabv 2356	. . . 4 |- { u | A <Q u } = { a | A <Q a }
5	2, 4	eqtr4i 2255	. . 3 |- { l | A <Q l } = { u | A <Q u }
6	5	opeq2i 3866	. 2 |- <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. = <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >.
7		nqprxx 7765	. 2 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. e. P. )
8	6, 7	eqeltrrid 2319	1 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   {cab 2217   <.cop 3672   class class class wbr 4088   Q.cnq 7499   <Q cltq 7504   P.cnp 7510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-omul 6586  df-er 6701  df-ec 6703  df-qs 6707  df-ni 7523  df-pli 7524  df-mi 7525  df-lti 7526  df-plpq 7563  df-mpq 7564  df-enq 7566  df-nqqs 7567  df-plqqs 7568  df-mqqs 7569  df-1nqqs 7570  df-rq 7571  df-ltnqqs 7572  df-inp 7685

This theorem is referenced by:  recnnpr  7767  nqprl  7770  nqpru  7771  nnprlu  7772  1pr  7773  addnqprlemrl  7776  addnqprlemru  7777  addnqprlemfl  7778  addnqprlemfu  7779  addnqpr  7780  mulnqprlemrl  7792  mulnqprlemru  7793  mulnqprlemfl  7794  mulnqprlemfu  7795  mulnqpr  7796  ltnqpr  7812  ltnqpri  7813  prplnqu  7839  caucvgprlemcanl  7863  cauappcvgprlemladdfu  7873  cauappcvgprlemladdfl  7874  cauappcvgprlemladdru  7875  cauappcvgprlemladdrl  7876  cauappcvgprlemladd  7877  cauappcvgprlem1  7878  cauappcvgprlem2  7879  caucvgprlemladdfu  7896  caucvgprlemladdrl  7897  caucvgprlem1  7898  caucvgprlem2  7899  caucvgprprlemnkltj  7908  caucvgprprlemnkeqj  7909  caucvgprprlemmu  7914  caucvgprprlemopu  7918  caucvgprprlemloc  7922  caucvgprprlemexbt  7925  caucvgprprlem1  7928  caucvgprprlem2  7929  suplocexprlemloc  7940  ltrennb  8073