Theorem nqprlu 7680

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nqprlu	|- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

Distinct variable groups:   A, l   u, A

Proof of Theorem nqprlu

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4055	. . . . 5 |- ( l = a -> ( A <Q l <-> A <Q a ) )
2	1	cbvabv 2331	. . . 4 |- { l | A <Q l } = { a | A <Q a }
3		breq2 4055	. . . . 5 |- ( u = a -> ( A <Q u <-> A <Q a ) )
4	3	cbvabv 2331	. . . 4 |- { u | A <Q u } = { a | A <Q a }
5	2, 4	eqtr4i 2230	. . 3 |- { l | A <Q l } = { u | A <Q u }
6	5	opeq2i 3829	. 2 |- <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. = <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >.
7		nqprxx 7679	. 2 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. e. P. )
8	6, 7	eqeltrrid 2294	1 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2177   {cab 2192   <.cop 3641   class class class wbr 4051   Q.cnq 7413   <Q cltq 7418   P.cnp 7424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-eprel 4344  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-1o 6515  df-oadd 6519  df-omul 6520  df-er 6633  df-ec 6635  df-qs 6639  df-ni 7437  df-pli 7438  df-mi 7439  df-lti 7440  df-plpq 7477  df-mpq 7478  df-enq 7480  df-nqqs 7481  df-plqqs 7482  df-mqqs 7483  df-1nqqs 7484  df-rq 7485  df-ltnqqs 7486  df-inp 7599

This theorem is referenced by:  recnnpr  7681  nqprl  7684  nqpru  7685  nnprlu  7686  1pr  7687  addnqprlemrl  7690  addnqprlemru  7691  addnqprlemfl  7692  addnqprlemfu  7693  addnqpr  7694  mulnqprlemrl  7706  mulnqprlemru  7707  mulnqprlemfl  7708  mulnqprlemfu  7709  mulnqpr  7710  ltnqpr  7726  ltnqpri  7727  prplnqu  7753  caucvgprlemcanl  7777  cauappcvgprlemladdfu  7787  cauappcvgprlemladdfl  7788  cauappcvgprlemladdru  7789  cauappcvgprlemladdrl  7790  cauappcvgprlemladd  7791  cauappcvgprlem1  7792  cauappcvgprlem2  7793  caucvgprlemladdfu  7810  caucvgprlemladdrl  7811  caucvgprlem1  7812  caucvgprlem2  7813  caucvgprprlemnkltj  7822  caucvgprprlemnkeqj  7823  caucvgprprlemmu  7828  caucvgprprlemopu  7832  caucvgprprlemloc  7836  caucvgprprlemexbt  7839  caucvgprprlem1  7842  caucvgprprlem2  7843  suplocexprlemloc  7854  ltrennb  7987