Theorem nqprlu 7546

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nqprlu	|- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

Distinct variable groups:   A, l   u, A

Proof of Theorem nqprlu

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4008	. . . . 5 |- ( l = a -> ( A <Q l <-> A <Q a ) )
2	1	cbvabv 2302	. . . 4 |- { l | A <Q l } = { a | A <Q a }
3		breq2 4008	. . . . 5 |- ( u = a -> ( A <Q u <-> A <Q a ) )
4	3	cbvabv 2302	. . . 4 |- { u | A <Q u } = { a | A <Q a }
5	2, 4	eqtr4i 2201	. . 3 |- { l | A <Q l } = { u | A <Q u }
6	5	opeq2i 3783	. 2 |- <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. = <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >.
7		nqprxx 7545	. 2 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. e. P. )
8	6, 7	eqeltrrid 2265	1 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   {cab 2163   <.cop 3596   class class class wbr 4004   Q.cnq 7279   <Q cltq 7284   P.cnp 7290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-1nqqs 7350  df-rq 7351  df-ltnqqs 7352  df-inp 7465

This theorem is referenced by:  recnnpr  7547  nqprl  7550  nqpru  7551  nnprlu  7552  1pr  7553  addnqprlemrl  7556  addnqprlemru  7557  addnqprlemfl  7558  addnqprlemfu  7559  addnqpr  7560  mulnqprlemrl  7572  mulnqprlemru  7573  mulnqprlemfl  7574  mulnqprlemfu  7575  mulnqpr  7576  ltnqpr  7592  ltnqpri  7593  prplnqu  7619  caucvgprlemcanl  7643  cauappcvgprlemladdfu  7653  cauappcvgprlemladdfl  7654  cauappcvgprlemladdru  7655  cauappcvgprlemladdrl  7656  cauappcvgprlemladd  7657  cauappcvgprlem1  7658  cauappcvgprlem2  7659  caucvgprlemladdfu  7676  caucvgprlemladdrl  7677  caucvgprlem1  7678  caucvgprlem2  7679  caucvgprprlemnkltj  7688  caucvgprprlemnkeqj  7689  caucvgprprlemmu  7694  caucvgprprlemopu  7698  caucvgprprlemloc  7702  caucvgprprlemexbt  7705  caucvgprprlem1  7708  caucvgprprlem2  7709  suplocexprlemloc  7720  ltrennb  7853