Theorem nqprlu 7904

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nqprlu	|- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

Distinct variable groups:   A, l   u, A

Proof of Theorem nqprlu

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4129	. . . . 5 |- ( l = a -> ( A <Q l <-> A <Q a ) )
2	1	cbvabv 2365	. . . 4 |- { l | A <Q l } = { a | A <Q a }
3		breq2 4129	. . . . 5 |- ( u = a -> ( A <Q u <-> A <Q a ) )
4	3	cbvabv 2365	. . . 4 |- { u | A <Q u } = { a | A <Q a }
5	2, 4	eqtr4i 2262	. . 3 |- { l | A <Q l } = { u | A <Q u }
6	5	opeq2i 3903	. 2 |- <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. = <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >.
7		nqprxx 7903	. 2 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. e. P. )
8	6, 7	eqeltrrid 2326	1 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   {cab 2224   <.cop 3708   class class class wbr 4125   Q.cnq 7637   <Q cltq 7642   P.cnp 7648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708  df-rq 7709  df-ltnqqs 7710  df-inp 7823

This theorem is referenced by:  recnnpr  7905  nqprl  7908  nqpru  7909  nnprlu  7910  1pr  7911  addnqprlemrl  7914  addnqprlemru  7915  addnqprlemfl  7916  addnqprlemfu  7917  addnqpr  7918  mulnqprlemrl  7930  mulnqprlemru  7931  mulnqprlemfl  7932  mulnqprlemfu  7933  mulnqpr  7934  ltnqpr  7950  ltnqpri  7951  prplnqu  7977  caucvgprlemcanl  8001  cauappcvgprlemladdfu  8011  cauappcvgprlemladdfl  8012  cauappcvgprlemladdru  8013  cauappcvgprlemladdrl  8014  cauappcvgprlemladd  8015  cauappcvgprlem1  8016  cauappcvgprlem2  8017  caucvgprlemladdfu  8034  caucvgprlemladdrl  8035  caucvgprlem1  8036  caucvgprlem2  8037  caucvgprprlemnkltj  8046  caucvgprprlemnkeqj  8047  caucvgprprlemmu  8052  caucvgprprlemopu  8056  caucvgprprlemloc  8060  caucvgprprlemexbt  8063  caucvgprprlem1  8066  caucvgprprlem2  8067  suplocexprlemloc  8078  ltrennb  8211