ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprlu Unicode version

Theorem nqprlu 7085
Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nqprlu  |-  ( A  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  e.  P. )
Distinct variable groups:    A, l    u, A

Proof of Theorem nqprlu
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3841 . . . . 5  |-  ( l  =  a  ->  ( A  <Q  l  <->  A  <Q  a ) )
21cbvabv 2211 . . . 4  |-  { l  |  A  <Q  l }  =  { a  |  A  <Q  a }
3 breq2 3841 . . . . 5  |-  ( u  =  a  ->  ( A  <Q  u  <->  A  <Q  a ) )
43cbvabv 2211 . . . 4  |-  { u  |  A  <Q  u }  =  { a  |  A  <Q  a }
52, 4eqtr4i 2111 . . 3  |-  { l  |  A  <Q  l }  =  { u  |  A  <Q  u }
65opeq2i 3621 . 2  |-  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { l  |  A  <Q  l } >.  =  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.
7 nqprxx 7084 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { l  |  A  <Q  l } >.  e.  P. )
86, 7syl5eqelr 2175 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  e.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1438   {cab 2074   <.cop 3444   class class class wbr 3837   Q.cnq 6818    <Q cltq 6823   P.cnp 6829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890  df-ltnqqs 6891  df-inp 7004
This theorem is referenced by:  recnnpr  7086  nqprl  7089  nqpru  7090  nnprlu  7091  1pr  7092  addnqprlemrl  7095  addnqprlemru  7096  addnqprlemfl  7097  addnqprlemfu  7098  addnqpr  7099  mulnqprlemrl  7111  mulnqprlemru  7112  mulnqprlemfl  7113  mulnqprlemfu  7114  mulnqpr  7115  ltnqpr  7131  ltnqpri  7132  prplnqu  7158  caucvgprlemcanl  7182  cauappcvgprlemladdfu  7192  cauappcvgprlemladdfl  7193  cauappcvgprlemladdru  7194  cauappcvgprlemladdrl  7195  cauappcvgprlemladd  7196  cauappcvgprlem1  7197  cauappcvgprlem2  7198  caucvgprlemladdfu  7215  caucvgprlemladdrl  7216  caucvgprlem1  7217  caucvgprlem2  7218  caucvgprprlemnkltj  7227  caucvgprprlemnkeqj  7228  caucvgprprlemmu  7233  caucvgprprlemopu  7237  caucvgprprlemloc  7241  caucvgprprlemexbt  7244  caucvgprprlem1  7247  caucvgprprlem2  7248  ltrennb  7370
  Copyright terms: Public domain W3C validator