Theorem nqprlu 7303

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nqprlu	|- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

Distinct variable groups:   A, l   u, A

Proof of Theorem nqprlu

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3899	. . . . 5 |- ( l = a -> ( A <Q l <-> A <Q a ) )
2	1	cbvabv 2238	. . . 4 |- { l | A <Q l } = { a | A <Q a }
3		breq2 3899	. . . . 5 |- ( u = a -> ( A <Q u <-> A <Q a ) )
4	3	cbvabv 2238	. . . 4 |- { u | A <Q u } = { a | A <Q a }
5	2, 4	eqtr4i 2138	. . 3 |- { l | A <Q l } = { u | A <Q u }
6	5	opeq2i 3675	. 2 |- <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. = <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >.
7		nqprxx 7302	. 2 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. e. P. )
8	6, 7	syl5eqelr 2202	1 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1463   {cab 2101   <.cop 3496   class class class wbr 3895   Q.cnq 7036   <Q cltq 7041   P.cnp 7047

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-eprel 4171  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-1o 6267  df-oadd 6271  df-omul 6272  df-er 6383  df-ec 6385  df-qs 6389  df-ni 7060  df-pli 7061  df-mi 7062  df-lti 7063  df-plpq 7100  df-mpq 7101  df-enq 7103  df-nqqs 7104  df-plqqs 7105  df-mqqs 7106  df-1nqqs 7107  df-rq 7108  df-ltnqqs 7109  df-inp 7222

This theorem is referenced by:  recnnpr  7304  nqprl  7307  nqpru  7308  nnprlu  7309  1pr  7310  addnqprlemrl  7313  addnqprlemru  7314  addnqprlemfl  7315  addnqprlemfu  7316  addnqpr  7317  mulnqprlemrl  7329  mulnqprlemru  7330  mulnqprlemfl  7331  mulnqprlemfu  7332  mulnqpr  7333  ltnqpr  7349  ltnqpri  7350  prplnqu  7376  caucvgprlemcanl  7400  cauappcvgprlemladdfu  7410  cauappcvgprlemladdfl  7411  cauappcvgprlemladdru  7412  cauappcvgprlemladdrl  7413  cauappcvgprlemladd  7414  cauappcvgprlem1  7415  cauappcvgprlem2  7416  caucvgprlemladdfu  7433  caucvgprlemladdrl  7434  caucvgprlem1  7435  caucvgprlem2  7436  caucvgprprlemnkltj  7445  caucvgprprlemnkeqj  7446  caucvgprprlemmu  7451  caucvgprprlemopu  7455  caucvgprprlemloc  7459  caucvgprprlemexbt  7462  caucvgprprlem1  7465  caucvgprprlem2  7466  ltrennb  7589