ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprlu Unicode version

Theorem nqprlu 7524
Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nqprlu  |-  ( A  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  e.  P. )
Distinct variable groups:    A, l    u, A

Proof of Theorem nqprlu
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4004 . . . . 5  |-  ( l  =  a  ->  ( A  <Q  l  <->  A  <Q  a ) )
21cbvabv 2302 . . . 4  |-  { l  |  A  <Q  l }  =  { a  |  A  <Q  a }
3 breq2 4004 . . . . 5  |-  ( u  =  a  ->  ( A  <Q  u  <->  A  <Q  a ) )
43cbvabv 2302 . . . 4  |-  { u  |  A  <Q  u }  =  { a  |  A  <Q  a }
52, 4eqtr4i 2201 . . 3  |-  { l  |  A  <Q  l }  =  { u  |  A  <Q  u }
65opeq2i 3780 . 2  |-  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { l  |  A  <Q  l } >.  =  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.
7 nqprxx 7523 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { l  |  A  <Q  l } >.  e.  P. )
86, 7eqeltrrid 2265 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  e.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2148   {cab 2163   <.cop 3594   class class class wbr 4000   Q.cnq 7257    <Q cltq 7262   P.cnp 7268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4285  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-1o 6410  df-oadd 6414  df-omul 6415  df-er 6528  df-ec 6530  df-qs 6534  df-ni 7281  df-pli 7282  df-mi 7283  df-lti 7284  df-plpq 7321  df-mpq 7322  df-enq 7324  df-nqqs 7325  df-plqqs 7326  df-mqqs 7327  df-1nqqs 7328  df-rq 7329  df-ltnqqs 7330  df-inp 7443
This theorem is referenced by:  recnnpr  7525  nqprl  7528  nqpru  7529  nnprlu  7530  1pr  7531  addnqprlemrl  7534  addnqprlemru  7535  addnqprlemfl  7536  addnqprlemfu  7537  addnqpr  7538  mulnqprlemrl  7550  mulnqprlemru  7551  mulnqprlemfl  7552  mulnqprlemfu  7553  mulnqpr  7554  ltnqpr  7570  ltnqpri  7571  prplnqu  7597  caucvgprlemcanl  7621  cauappcvgprlemladdfu  7631  cauappcvgprlemladdfl  7632  cauappcvgprlemladdru  7633  cauappcvgprlemladdrl  7634  cauappcvgprlemladd  7635  cauappcvgprlem1  7636  cauappcvgprlem2  7637  caucvgprlemladdfu  7654  caucvgprlemladdrl  7655  caucvgprlem1  7656  caucvgprlem2  7657  caucvgprprlemnkltj  7666  caucvgprprlemnkeqj  7667  caucvgprprlemmu  7672  caucvgprprlemopu  7676  caucvgprprlemloc  7680  caucvgprprlemexbt  7683  caucvgprprlem1  7686  caucvgprprlem2  7687  suplocexprlemloc  7698  ltrennb  7831
  Copyright terms: Public domain W3C validator