Theorem nqprlu 7879

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nqprlu	|- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

Distinct variable groups:   A, l   u, A

Proof of Theorem nqprlu

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4119	. . . . 5 |- ( l = a -> ( A <Q l <-> A <Q a ) )
2	1	cbvabv 2361	. . . 4 |- { l | A <Q l } = { a | A <Q a }
3		breq2 4119	. . . . 5 |- ( u = a -> ( A <Q u <-> A <Q a ) )
4	3	cbvabv 2361	. . . 4 |- { u | A <Q u } = { a | A <Q a }
5	2, 4	eqtr4i 2258	. . 3 |- { l | A <Q l } = { u | A <Q u }
6	5	opeq2i 3893	. 2 |- <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. = <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >.
7		nqprxx 7878	. 2 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. e. P. )
8	6, 7	eqeltrrid 2322	1 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   {cab 2220   <.cop 3698   class class class wbr 4115   Q.cnq 7612   <Q cltq 7617   P.cnp 7623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-eprel 4416  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-irdg 6615  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6781  df-ec 6783  df-qs 6787  df-ni 7636  df-pli 7637  df-mi 7638  df-lti 7639  df-plpq 7676  df-mpq 7677  df-enq 7679  df-nqqs 7680  df-plqqs 7681  df-mqqs 7682  df-1nqqs 7683  df-rq 7684  df-ltnqqs 7685  df-inp 7798

This theorem is referenced by:  recnnpr  7880  nqprl  7883  nqpru  7884  nnprlu  7885  1pr  7886  addnqprlemrl  7889  addnqprlemru  7890  addnqprlemfl  7891  addnqprlemfu  7892  addnqpr  7893  mulnqprlemrl  7905  mulnqprlemru  7906  mulnqprlemfl  7907  mulnqprlemfu  7908  mulnqpr  7909  ltnqpr  7925  ltnqpri  7926  prplnqu  7952  caucvgprlemcanl  7976  cauappcvgprlemladdfu  7986  cauappcvgprlemladdfl  7987  cauappcvgprlemladdru  7988  cauappcvgprlemladdrl  7989  cauappcvgprlemladd  7990  cauappcvgprlem1  7991  cauappcvgprlem2  7992  caucvgprlemladdfu  8009  caucvgprlemladdrl  8010  caucvgprlem1  8011  caucvgprlem2  8012  caucvgprprlemnkltj  8021  caucvgprprlemnkeqj  8022  caucvgprprlemmu  8027  caucvgprprlemopu  8031  caucvgprprlemloc  8035  caucvgprprlemexbt  8038  caucvgprprlem1  8041  caucvgprprlem2  8042  suplocexprlemloc  8053  ltrennb  8186