Theorem nqprlu 7745

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nqprlu	|- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

Distinct variable groups:   A, l   u, A

Proof of Theorem nqprlu

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4087	. . . . 5 |- ( l = a -> ( A <Q l <-> A <Q a ) )
2	1	cbvabv 2354	. . . 4 |- { l | A <Q l } = { a | A <Q a }
3		breq2 4087	. . . . 5 |- ( u = a -> ( A <Q u <-> A <Q a ) )
4	3	cbvabv 2354	. . . 4 |- { u | A <Q u } = { a | A <Q a }
5	2, 4	eqtr4i 2253	. . 3 |- { l | A <Q l } = { u | A <Q u }
6	5	opeq2i 3861	. 2 |- <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. = <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >.
7		nqprxx 7744	. 2 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. e. P. )
8	6, 7	eqeltrrid 2317	1 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   {cab 2215   <.cop 3669   class class class wbr 4083   Q.cnq 7478   <Q cltq 7483   P.cnp 7489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7502  df-pli 7503  df-mi 7504  df-lti 7505  df-plpq 7542  df-mpq 7543  df-enq 7545  df-nqqs 7546  df-plqqs 7547  df-mqqs 7548  df-1nqqs 7549  df-rq 7550  df-ltnqqs 7551  df-inp 7664

This theorem is referenced by:  recnnpr  7746  nqprl  7749  nqpru  7750  nnprlu  7751  1pr  7752  addnqprlemrl  7755  addnqprlemru  7756  addnqprlemfl  7757  addnqprlemfu  7758  addnqpr  7759  mulnqprlemrl  7771  mulnqprlemru  7772  mulnqprlemfl  7773  mulnqprlemfu  7774  mulnqpr  7775  ltnqpr  7791  ltnqpri  7792  prplnqu  7818  caucvgprlemcanl  7842  cauappcvgprlemladdfu  7852  cauappcvgprlemladdfl  7853  cauappcvgprlemladdru  7854  cauappcvgprlemladdrl  7855  cauappcvgprlemladd  7856  cauappcvgprlem1  7857  cauappcvgprlem2  7858  caucvgprlemladdfu  7875  caucvgprlemladdrl  7876  caucvgprlem1  7877  caucvgprlem2  7878  caucvgprprlemnkltj  7887  caucvgprprlemnkeqj  7888  caucvgprprlemmu  7893  caucvgprprlemopu  7897  caucvgprprlemloc  7901  caucvgprprlemexbt  7904  caucvgprprlem1  7907  caucvgprprlem2  7908  suplocexprlemloc  7919  ltrennb  8052