Theorem nqprlu 7914

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nqprlu	|- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

Distinct variable groups:   A, l   u, A

Proof of Theorem nqprlu

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4134	. . . . 5 |- ( l = a -> ( A <Q l <-> A <Q a ) )
2	1	cbvabv 2365	. . . 4 |- { l | A <Q l } = { a | A <Q a }
3		breq2 4134	. . . . 5 |- ( u = a -> ( A <Q u <-> A <Q a ) )
4	3	cbvabv 2365	. . . 4 |- { u | A <Q u } = { a | A <Q a }
5	2, 4	eqtr4i 2262	. . 3 |- { l | A <Q l } = { u | A <Q u }
6	5	opeq2i 3908	. 2 |- <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. = <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >.
7		nqprxx 7913	. 2 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { l | A <Q l } >. e. P. )
8	6, 7	eqeltrrid 2326	1 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   {cab 2224   <.cop 3712   class class class wbr 4130   Q.cnq 7647   <Q cltq 7652   P.cnp 7658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-pli 7672  df-mi 7673  df-lti 7674  df-plpq 7711  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-plqqs 7716  df-mqqs 7717  df-1nqqs 7718  df-rq 7719  df-ltnqqs 7720  df-inp 7833

This theorem is used by:  recnnpr  7915  nqprl  7918  nqpru  7919  nnprlu  7920  1pr  7921  addnqprlemrl  7924  addnqprlemru  7925  addnqprlemfl  7926  addnqprlemfu  7927  addnqpr  7928  mulnqprlemrl  7940  mulnqprlemru  7941  mulnqprlemfl  7942  mulnqprlemfu  7943  mulnqpr  7944  ltnqpr  7960  ltnqpri  7961  prplnqu  7987  caucvgprlemcanl  8011  cauappcvgprlemladdfu  8021  cauappcvgprlemladdfl  8022  cauappcvgprlemladdru  8023  cauappcvgprlemladdrl  8024  cauappcvgprlemladd  8025  cauappcvgprlem1  8026  cauappcvgprlem2  8027  caucvgprlemladdfu  8044  caucvgprlemladdrl  8045  caucvgprlem1  8046  caucvgprlem2  8047  caucvgprprlemnkltj  8056  caucvgprprlemnkeqj  8057  caucvgprprlemmu  8062  caucvgprprlemopu  8066  caucvgprprlemloc  8070  caucvgprprlemexbt  8073  caucvgprprlem1  8076  caucvgprprlem2  8077  suplocexprlemloc  8088  ltrennb  8221