Theorem cnfldcj 13465

Description: The conjugation operation of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldcj	|- * = ( *r ` ℂfld )

Proof of Theorem cnfldcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjf 10856	. . 3 |- * : CC --> CC
2		cnex 7935	. . 3 |- CC e. _V
3		fex 5746	. . 3 |- ( ( * : CC --> CC /\ CC e. _V ) -> * e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. 2 |- * e. _V
5		cnfldstr 13460	. . 3 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.
6		starvslid 12599	. . 3 |- ( *r = Slot ( *r ` ndx ) /\ ( *r ` ndx ) e. NN )
7		ssun2 3300	. . . 4 |- { <. ( *r ` ndx ) , * >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
8		df-icnfld 13459	. . . 4 |- ℂfld = ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
9	7, 8	sseqtrri 3191	. . 3 |- { <. ( *r ` ndx ) , * >. } C_ ℂfld
10	5, 6, 9	strslfv 12507	. 2 |- ( * e. _V -> * = ( *r ` ℂfld ) )
11	4, 10	ax-mp 5	1 |- * = ( *r ` ℂfld )

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   u. cun 3128   {csn 3593   {ctp 3595   <.cop 3596   -->wf 5213   ` cfv 5217   CCcc 7809   1c1 7812   + caddc 7814   x. cmul 7816   3c3 8971  ;cdc 9384   *ccj 10848   ndxcnx 12459   Basecbs 12462   +g cplusg 12536   .rcmulr 12537   *rcstv 12538  ℂ_fldccnfld 13458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-addf 7933  ax-mulf 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-tp 3601  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-9 8985  df-n0 9177  df-z 9254  df-dec 9385  df-uz 9529  df-fz 10009  df-cj 10851  df-struct 12464  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-starv 12551  df-icnfld 13459

This theorem is referenced by: (None)