Theorem cnfldcj 14877

Description: The conjugation operation of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldcj	|- * = ( *r ` ℂfld )

Proof of Theorem cnfldcj

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjf 11593	. . 3 |- * : CC --> CC
2		cnex 8296	. . 3 |- CC e. _V
3		fex 5940	. . 3 |- ( ( * : CC --> CC /\ CC e. _V ) -> * e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 430	. 2 |- * e. _V
5		cnfldstr 14870	. . 3 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.
6		starvslid 13475	. . 3 |- ( *r = Slot ( *r ` ndx ) /\ ( *r ` ndx ) e. NN )
7		ssun2 3393	. . . 4 |- { <. ( *r ` ndx ) , * >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
8		ssun1 3392	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
9		df-cnfld 14869	. . . . 5 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
10	8, 9	sseqtrri 3283	. . . 4 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ℂfld
11	7, 10	sstri 3257	. . 3 |- { <. ( *r ` ndx ) , * >. } C_ ℂfld
12	5, 6, 11	strslfv 13378	. 2 |- ( * e. _V -> * = ( *r ` ℂfld ) )
13	4, 12	ax-mp 5	1 |- * = ( *r ` ℂfld )

Syntax hints:   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   {csn 3708   {ctp 3710   <.cop 3711   o. ccom 4776   -->wf 5371   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   e. cmpo 6080   CCcc 8170   1c1 8173   + caddc 8175   x. cmul 8177   <_ cle 8354   - cmin 8490   3c3 9338  ;cdc 9759   *ccj 11585   abscabs 11744   ndxcnx 13330   Basecbs 13333   +g cplusg 13411   .rcmulr 13412   *rcstv 13413  TopSetcts 13417   lecple 13418   distcds 13420   UnifSetcunif 13421   MetOpencmopn 14853  metUnifcmetu 14854  ℂ_fldccnfld 14868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-mulrcl 8271  ax-addcom 8272  ax-mulcom 8273  ax-addass 8274  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-1rid 8279  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-precex 8282  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288  ax-pre-mulgt0 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-reap 8896  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-4 9347  df-5 9348  df-6 9349  df-7 9350  df-8 9351  df-9 9352  df-n0 9546  df-z 9627  df-dec 9760  df-uz 9904  df-rp 10037  df-fz 10394  df-cj 11588  df-abs 11746  df-struct 13335  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-plusg 13424  df-mulr 13425  df-starv 13426  df-tset 13430  df-ple 13431  df-ds 13433  df-unif 13434  df-topgen 13594  df-bl 14858  df-mopn 14859  df-fg 14861  df-metu 14862  df-cnfld 14869

This theorem is referenced by: (None)