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Theorem seq3f1olemp 10268
Description: Lemma for seq3f1o 10270. Existence of a constant permutation of  ( M ... N ) which leads to the same sum as the permutation  F itself. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
iseqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
iseqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqf1o.6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqf1o.l  |-  L  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `  x ) ) ,  ( G `
 M ) ) )
iseqf1o.p  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
Assertion
Ref Expression
seq3f1olemp  |-  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
Distinct variable groups:    .+ , f, x, y, z    f, F, x, y, z    f, L, x, y, z    f, M, x, y, z    f, N, x, y, z    x, P, y, z    S, f, x, y, z    ph, f, x, y, z    f, G, x
Allowed substitution hints:    P( f)    G( y, z)

Proof of Theorem seq3f1olemp
Dummy variables  g  k  w  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 9805 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 oveq2 5775 . . . . . . 7  |-  ( w  =  M  ->  ( M ... w )  =  ( M ... M
) )
54raleqdv 2630 . . . . . 6  |-  ( w  =  M  ->  ( A. x  e.  ( M ... w ) ( f `  x )  =  x  <->  A. x  e.  ( M ... M
) ( f `  x )  =  x ) )
653anbi2d 1295 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <-> 
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... M
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
76exbidv 1797 . . . 4  |-  ( w  =  M  ->  ( E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <->  E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... M
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
87imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  M  ->  (
( ph  ->  E. f
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  <->  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... M
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) ) )
9 oveq2 5775 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( M ... w )  =  ( M ... k
) )
109raleqdv 2630 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  ( A. x  e.  ( M ... w ) ( f `  x )  =  x  <->  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x ) )
11103anbi2d 1295 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <-> 
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
1211exbidv 1797 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  ( E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <->  E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
1312imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  E. f
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  <->  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) ) )
14 oveq2 5775 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( M ... w )  =  ( M ... (
k  +  1 ) ) )
1514raleqdv 2630 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. x  e.  ( M ... w ) ( f `  x )  =  x  <->  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x ) )
16153anbi2d 1295 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <-> 
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
1716exbidv 1797 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <->  E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
1817imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  E. f
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  <->  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) ) )
19 oveq2 5775 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  ( M ... w )  =  ( M ... N
) )
2019raleqdv 2630 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  ( A. x  e.  ( M ... w ) ( f `  x )  =  x  <->  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x ) )
21203anbi2d 1295 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <-> 
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
2221exbidv 1797 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  ( E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <->  E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
2322imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  E. f
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  <->  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) ) )
24 iseqf1o.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
25 iseqf1o.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
26 iseqf1o.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
27 iseqf1o.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
28 iseqf1o.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
29 eluzfz1 9804 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
301, 29syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
31 ral0 3459 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  (/)  ( F `  x )  =  x
32 fzo0 9938 . . . . . . . 8  |-  ( M..^ M )  =  (/)
3332raleqi 2628 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( M..^ M ) ( F `
 x )  =  x  <->  A. x  e.  (/)  ( F `  x )  =  x )
3431, 33mpbir 145 . . . . . 6  |-  A. x  e.  ( M..^ M ) ( F `  x
)  =  x
3534a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ M ) ( F `  x )  =  x )
36 f1of 5360 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  F :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
3727, 36syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
38 eluzel2 9324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
391, 38syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
40 eluzelz 9328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
411, 40syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4239, 41fzfigd 10197 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
43 fex 5640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e.  Fin )  ->  F  e.  _V )
4437, 42, 43syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
45 fveq1 5413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
4645fveq2d 5418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  ( G `  ( f `  x ) )  =  ( G `  ( F `  x )
) )
4746ifeq1d 3484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) )  =  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) )
4847mpteq2dv 4014 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) ) )
49 iseqf1o.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
50 iseqf1o.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `  x ) ) ,  ( G `
 M ) ) )
5148, 49, 503eqtr4g 2195 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  P  =  L )
5251adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  =  F )  ->  P  =  L )
5344, 52csbied 3041 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ F  /  f ]_ P  =  L
)
5453seqeq3d 10219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  [_ F  /  f ]_ P )  =  seq M (  .+  ,  L ) )
5554fveq1d 5416 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  [_ F  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )
5624, 25, 26, 1, 27, 28, 30, 27, 35, 55, 49seq3f1olemstep 10267 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... M
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
5756a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... M
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
58 nfv 1508 . . . . . . . 8  |-  F/ g ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )
59 nfv 1508 . . . . . . . . 9  |-  F/ f  g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )
60 nfv 1508 . . . . . . . . 9  |-  F/ f A. x  e.  ( M ... k ) ( g `  x
)  =  x
61 nfcv 2279 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ f M
62 nfcv 2279 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ f  .+
63 nfcsb1v 3030 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ f [_ g  /  f ]_ P
6461, 62, 63nfseq 10221 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f  seq M (  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P )
65 nfcv 2279 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f N
6664, 65nffv 5424 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ f
(  seq M (  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P ) `  N
)
6766nfeq1 2289 . . . . . . . . 9  |-  F/ f (  seq M ( 
.+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N )
6859, 60, 67nf3an 1545 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( g `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )
69 f1oeq1 5351 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  <->  g :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
70 fveq1 5413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  x )  =  ( g `  x ) )
7170eqeq1d 2146 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  x
)  =  x  <->  ( g `  x )  =  x ) )
7271ralbidv 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  ( A. x  e.  ( M ... k ) ( f `  x )  =  x  <->  A. x  e.  ( M ... k
) ( g `  x )  =  x ) )
73 csbeq1a 3007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  P  =  [_ g  /  f ]_ P )
7473seqeq3d 10219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  seq M (  .+  ,  P )  =  seq M (  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P ) )
7574fveq1d 5416 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (  seq M (  .+  ,  P ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P ) `  N
) )
7675eqeq1d 2146 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
(  seq M (  .+  ,  P ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
)  <->  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
7769, 72, 763anbi123d 1290 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <-> 
( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( g `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
7858, 68, 77cbvex 1729 . . . . . . 7  |-  ( E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <->  E. g ( g : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( g `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
79 fveq2 5414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  (
g `  x )  =  ( g `  a ) )
80 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  x  =  a )
8179, 80eqeq12d 2152 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
( g `  x
)  =  x  <->  ( g `  a )  =  a ) )
8281cbvralv 2652 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( M ... k ) ( g `
 x )  =  x  <->  A. a  e.  ( M ... k ) ( g `  a
)  =  a )
83823anbi2i 1173 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ( g `  x )  =  x  /\  (  seq M (  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) )  <->  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
8483exbii 1584 . . . . . . 7  |-  ( E. g ( g : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( g `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <->  E. g ( g : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
8578, 84bitri 183 . . . . . 6  |-  ( E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <->  E. g ( g : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
86 simpll 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  ph )
8786, 24sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
8886, 25sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
8986, 26sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
901ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9127ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) )
9286, 28sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
93 fzofzp1 9997 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
9493ad2antlr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
95 simpr1 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  g :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) )
96 simpr2 988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a )
9796, 82sylibr 133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  A. x  e.  ( M ... k
) ( g `  x )  =  x )
98 elfzoelz 9917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ZZ )
9998ad2antlr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
100 fzval3 9974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ZZ  ->  ( M ... k )  =  ( M..^ ( k  +  1 ) ) )
101100raleqdv 2630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ( M ... k ) ( g `  x )  =  x  <->  A. x  e.  ( M..^ ( k  +  1 ) ) ( g `  x
)  =  x ) )
10299, 101syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( M ... k ) ( g `
 x )  =  x  <->  A. x  e.  ( M..^ ( k  +  1 ) ) ( g `  x )  =  x ) )
10397, 102mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  A. x  e.  ( M..^ ( k  +  1 ) ) ( g `  x
)  =  x )
104 simpr3 989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) )
10587, 88, 89, 90, 91, 92, 94, 95, 103, 104, 49seq3f1olemstep 10267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  E. f
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
106105ex 114 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
107106exlimdv 1791 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( E. g
( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
10885, 107syl5bi 151 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( E. f
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
109108expcom 115 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M (  .+  ,  P ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) )  ->  E. f
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) ) )
110109a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) ) )
1118, 13, 18, 23, 57, 110fzind2 10009 . 2  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
1123, 111mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   A.wral 2414   _Vcvv 2681   [_csb 2998   (/)c0 3358   ifcif 3469   class class class wbr 3924    |-> cmpt 3984   -->wf 5114   -1-1-onto->wf1o 5117   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   Fincfn 6627   1c1 7614    + caddc 7616    <_ cle 7794   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   ...cfz 9783  ..^cfzo 9912    seqcseq 10211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-1o 6306  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212
This theorem is referenced by:  seq3f1oleml  10269
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