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Theorem seq3f1olemp 9931
Description: Lemma for seq3f1o 9933. Existence of a constant permutation of  ( M ... N ) which leads to the same sum as the permutation  F itself. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
iseqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
iseqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqf1o.6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqf1o.l  |-  L  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `  x ) ) ,  ( G `
 M ) ) )
iseqf1o.p  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
Assertion
Ref Expression
seq3f1olemp  |-  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
Distinct variable groups:    .+ , f, x, y, z    f, F, x, y, z    f, L, x, y, z    f, M, x, y, z    f, N, x, y, z    x, P, y, z    S, f, x, y, z    ph, f, x, y, z    f, G, x
Allowed substitution hints:    P( f)    G( y, z)

Proof of Theorem seq3f1olemp
Dummy variables  g  k  w  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 9446 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 oveq2 5660 . . . . . . 7  |-  ( w  =  M  ->  ( M ... w )  =  ( M ... M
) )
54raleqdv 2568 . . . . . 6  |-  ( w  =  M  ->  ( A. x  e.  ( M ... w ) ( f `  x )  =  x  <->  A. x  e.  ( M ... M
) ( f `  x )  =  x ) )
653anbi2d 1253 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <-> 
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... M
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
76exbidv 1753 . . . 4  |-  ( w  =  M  ->  ( E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <->  E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... M
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
87imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  M  ->  (
( ph  ->  E. f
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  <->  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... M
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) ) )
9 oveq2 5660 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( M ... w )  =  ( M ... k
) )
109raleqdv 2568 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  ( A. x  e.  ( M ... w ) ( f `  x )  =  x  <->  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x ) )
11103anbi2d 1253 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <-> 
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
1211exbidv 1753 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  ( E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <->  E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
1312imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  E. f
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  <->  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) ) )
14 oveq2 5660 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( M ... w )  =  ( M ... (
k  +  1 ) ) )
1514raleqdv 2568 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. x  e.  ( M ... w ) ( f `  x )  =  x  <->  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x ) )
16153anbi2d 1253 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <-> 
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
1716exbidv 1753 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <->  E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
1817imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  E. f
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  <->  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) ) )
19 oveq2 5660 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  ( M ... w )  =  ( M ... N
) )
2019raleqdv 2568 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  ( A. x  e.  ( M ... w ) ( f `  x )  =  x  <->  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x ) )
21203anbi2d 1253 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <-> 
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
2221exbidv 1753 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  ( E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <->  E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
2322imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  E. f
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... w
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  <->  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) ) )
24 iseqf1o.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
25 iseqf1o.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
26 iseqf1o.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
27 iseqf1o.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
28 iseqf1o.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
29 eluzfz1 9445 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
301, 29syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
31 ral0 3383 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  (/)  ( F `  x )  =  x
32 fzo0 9579 . . . . . . . 8  |-  ( M..^ M )  =  (/)
3332raleqi 2566 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( M..^ M ) ( F `
 x )  =  x  <->  A. x  e.  (/)  ( F `  x )  =  x )
3431, 33mpbir 144 . . . . . 6  |-  A. x  e.  ( M..^ M ) ( F `  x
)  =  x
3534a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M..^ M ) ( F `  x )  =  x )
36 f1of 5253 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  F :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
3727, 36syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
38 eluzel2 9024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
391, 38syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
40 eluzelz 9028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
411, 40syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4239, 41fzfigd 9838 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
43 fex 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e.  Fin )  ->  F  e.  _V )
4437, 42, 43syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
45 fveq1 5304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
4645fveq2d 5309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  ( G `  ( f `  x ) )  =  ( G `  ( F `  x )
) )
4746ifeq1d 3408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) )  =  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) )
4847mpteq2dv 3929 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N , 
( G `  (
f `  x )
) ,  ( G `
 M ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `
 x ) ) ,  ( G `  M ) ) ) )
49 iseqf1o.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( f `  x
) ) ,  ( G `  M ) ) )
50 iseqf1o.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( x  <_  N ,  ( G `  ( F `  x ) ) ,  ( G `
 M ) ) )
5148, 49, 503eqtr4g 2145 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  P  =  L )
5251adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  =  F )  ->  P  =  L )
5344, 52csbied 2974 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ F  /  f ]_ P  =  L
)
5453seqeq3d 9866 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  [_ F  /  f ]_ P )  =  seq M (  .+  ,  L ) )
5554fveq1d 5307 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  [_ F  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )
5624, 25, 26, 1, 27, 28, 30, 27, 35, 55, 49seq3f1olemstep 9930 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... M
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
5756a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... M
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
58 nfv 1466 . . . . . . . 8  |-  F/ g ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )
59 nfv 1466 . . . . . . . . 9  |-  F/ f  g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )
60 nfv 1466 . . . . . . . . 9  |-  F/ f A. x  e.  ( M ... k ) ( g `  x
)  =  x
61 nfcv 2228 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ f M
62 nfcv 2228 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ f  .+
63 nfcsb1v 2963 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ f [_ g  /  f ]_ P
6461, 62, 63nfseq 9869 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f  seq M (  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P )
65 nfcv 2228 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f N
6664, 65nffv 5315 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ f
(  seq M (  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P ) `  N
)
6766nfeq1 2238 . . . . . . . . 9  |-  F/ f (  seq M ( 
.+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N )
6859, 60, 67nf3an 1503 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( g `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )
69 f1oeq1 5244 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  <->  g :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
70 fveq1 5304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  x )  =  ( g `  x ) )
7170eqeq1d 2096 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  x
)  =  x  <->  ( g `  x )  =  x ) )
7271ralbidv 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  ( A. x  e.  ( M ... k ) ( f `  x )  =  x  <->  A. x  e.  ( M ... k
) ( g `  x )  =  x ) )
73 csbeq1a 2941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  P  =  [_ g  /  f ]_ P )
7473seqeq3d 9866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  seq M (  .+  ,  P )  =  seq M (  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P ) )
7574fveq1d 5307 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (  seq M (  .+  ,  P ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P ) `  N
) )
7675eqeq1d 2096 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
(  seq M (  .+  ,  P ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
)  <->  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
7769, 72, 763anbi123d 1248 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <-> 
( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( g `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
7858, 68, 77cbvex 1686 . . . . . . 7  |-  ( E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <->  E. g ( g : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( g `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
79 fveq2 5305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  (
g `  x )  =  ( g `  a ) )
80 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  x  =  a )
8179, 80eqeq12d 2102 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
( g `  x
)  =  x  <->  ( g `  a )  =  a ) )
8281cbvralv 2590 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( M ... k ) ( g `
 x )  =  x  <->  A. a  e.  ( M ... k ) ( g `  a
)  =  a )
83823anbi2i 1135 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ( g `  x )  =  x  /\  (  seq M (  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) )  <->  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
8483exbii 1541 . . . . . . 7  |-  ( E. g ( g : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( g `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <->  E. g ( g : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
8578, 84bitri 182 . . . . . 6  |-  ( E. f ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  <->  E. g ( g : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
86 simpll 496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  ph )
8786, 24sylan 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
8886, 25sylan 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
8986, 26sylan 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
901ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9127ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) )
9286, 28sylan 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
93 fzofzp1 9638 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
9493ad2antlr 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
95 simpr1 949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  g :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) )
96 simpr2 950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a )
9796, 82sylibr 132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  A. x  e.  ( M ... k
) ( g `  x )  =  x )
98 elfzoelz 9558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ZZ )
9998ad2antlr 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
100 fzval3 9615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ZZ  ->  ( M ... k )  =  ( M..^ ( k  +  1 ) ) )
101100raleqdv 2568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ( M ... k ) ( g `  x )  =  x  <->  A. x  e.  ( M..^ ( k  +  1 ) ) ( g `  x
)  =  x ) )
10299, 101syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( M ... k ) ( g `
 x )  =  x  <->  A. x  e.  ( M..^ ( k  +  1 ) ) ( g `  x )  =  x ) )
10397, 102mpbid 145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  A. x  e.  ( M..^ ( k  +  1 ) ) ( g `  x
)  =  x )
104 simpr3 951 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) )
10587, 88, 89, 90, 91, 92, 94, 95, 103, 104, 49seq3f1olemstep 9930 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  E. f
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
106105ex 113 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
107106exlimdv 1747 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( E. g
( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. a  e.  ( M ... k
) ( g `  a )  =  a  /\  (  seq M
(  .+  ,  [_ g  /  f ]_ P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
10885, 107syl5bi 150 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( E. f
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) )  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
109108expcom 114 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M (  .+  ,  P ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  ,  L ) `  N
) )  ->  E. f
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) ) )
110109a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... k
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )  ->  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) ) )
1118, 13, 18, 23, 57, 110fzind2 9650 . 2  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) ) )
1123, 111mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  A. x  e.  ( M ... N
) ( f `  x )  =  x  /\  (  seq M
(  .+  ,  P
) `  N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  L ) `
 N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   _Vcvv 2619   [_csb 2933   (/)c0 3286   ifcif 3393   class class class wbr 3845    |-> cmpt 3899   -->wf 5011   -1-1-onto->wf1o 5014   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   Fincfn 6457   1c1 7351    + caddc 7353    <_ cle 7523   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   ...cfz 9424  ..^cfzo 9553    seqcseq 9852
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-1o 6181  df-er 6292  df-en 6458  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853  df-seq3 9854
This theorem is referenced by:  seq3f1oleml  9932
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