Theorem seq3f1olemp 10624

Description: Lemma for seq3f1o 10626. Existence of a constant permutation of ( M ... N ) which leads to the same sum as the permutation F itself. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1o.l	|- L = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
iseqf1o.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1olemp	|- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   .+ , f, x, y, z   f, F, x, y, z   f, L, x, y, z   f, M, x, y, z   f, N, x, y, z   x, P, y, z   S, f, x, y, z   ph, f, x, y, z   f, G, x

Allowed substitution hints:   P( f)   G( y, z)

Proof of Theorem seq3f1olemp

Dummy variables g k w a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1o.4	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10124	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		oveq2 5933	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
5	4	raleqdv 2699	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x ) )
6	5	3anbi2d 1328	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
7	6	exbidv 1839	. . . 4 |- ( w = M -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
8	7	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) <-> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
9		oveq2 5933	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( M ... w ) = ( M ... k ) )
10	9	raleqdv 2699	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x ) )
11	10	3anbi2d 1328	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
12	11	exbidv 1839	. . . 4 |- ( w = k -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) <-> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
14		oveq2 5933	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( k + 1 ) ) )
15	14	raleqdv 2699	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x ) )
16	15	3anbi2d 1328	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
17	16	exbidv 1839	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) <-> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
19		oveq2 5933	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
20	19	raleqdv 2699	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x ) )
21	20	3anbi2d 1328	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
22	21	exbidv 1839	. . . 4 |- ( w = N -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
23	22	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) <-> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
24		iseqf1o.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
25		iseqf1o.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
26		iseqf1o.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
27		iseqf1o.6	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
28		iseqf1o.7	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
29		eluzfz1 10123	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
30	1, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
31		ral0 3553	. . . . . . 7 |- A. x e. (/) ( F ` x ) = x
32		fzo0 10261	. . . . . . . 8 |- ( M..^ M ) = (/)
33	32	raleqi 2697	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( M..^ M ) ( F ` x ) = x <-> A. x e. (/) ( F ` x ) = x )
34	31, 33	mpbir 146	. . . . . 6 |- A. x e. ( M..^ M ) ( F ` x ) = x
35	34	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ M ) ( F ` x ) = x )
36		f1of 5507	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
37	27, 36	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
38		eluzel2 9623	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
39	1, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
40		eluzelz 9627	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
41	1, 40	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
42	39, 41	fzfigd 10540	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
43		fex 5794	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> F e. _V )
44	37, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. _V )
45		fveq1 5560	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
46	45	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( G ` ( f ` x ) ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
47	46	ifeq1d 3579	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
48	47	mpteq2dv 4125	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
49		iseqf1o.p	. . . . . . . . . 10 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
50		iseqf1o.l	. . . . . . . . . 10 |- L = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
51	48, 49, 50	3eqtr4g 2254	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> P = L )
52	51	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f = F ) -> P = L )
53	44, 52	csbied 3131	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ F / f ]_ P = L )
54	53	seqeq3d 10564	. . . . . 6 |- ( ph -> seq M ( .+ , [_ F / f ]_ P ) = seq M ( .+ , L ) )
55	54	fveq1d 5563	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , [_ F / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
56	24, 25, 26, 1, 27, 28, 30, 27, 35, 55, 49	seq3f1olemstep 10623	. . . 4 |- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
57	56	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
58		nfv 1542	. . . . . . . 8 |- F/ g ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
59		nfv 1542	. . . . . . . . 9 |- F/ f g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )
60		nfv 1542	. . . . . . . . 9 |- F/ f A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x
61		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ f M
62		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ f .+
63		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ f [_ g / f ]_ P
64	61, 62, 63	nfseq 10566	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P )
65		nfcv 2339	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f N
66	64, 65	nffv 5571	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N )
67	66	nfeq1 2349	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N )
68	59, 60, 67	nf3an 1580	. . . . . . . 8 |- F/ f ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
69		f1oeq1 5495	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
70		fveq1 5560	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( f ` x ) = ( g ` x ) )
71	70	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( ( f ` x ) = x <-> ( g ` x ) = x ) )
72	71	ralbidv 2497	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x ) )
73		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> P = [_ g / f ]_ P )
74	73	seqeq3d 10564	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> seq M ( .+ , P ) = seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) )
75	74	fveq1d 5563	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) )
76	75	eqeq1d 2205	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) <-> ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
77	69, 72, 76	3anbi123d 1323	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
78	58, 68, 77	cbvex 1770	. . . . . . 7 |- ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. g ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
79		fveq2 5561	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( g ` x ) = ( g ` a ) )
80		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> x = a )
81	79, 80	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( ( g ` x ) = x <-> ( g ` a ) = a ) )
82	81	cbvralv 2729	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x <-> A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a )
83	82	3anbi2i 1193	. . . . . . . 8 |- ( ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
84	83	exbii 1619	. . . . . . 7 |- ( E. g ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. g ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
85	78, 84	bitri 184	. . . . . 6 |- ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. g ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
86		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ph )
87	86, 24	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
88	86, 25	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
89	86, 26	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
90	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
91	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
92	86, 28	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
93		fzofzp1 10320	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
94	93	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
95		simpr1 1005	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
96		simpr2 1006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a )
97	96, 82	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x )
98		elfzoelz 10239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ZZ )
99	98	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> k e. ZZ )
100		fzval3 10297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ZZ -> ( M ... k ) = ( M..^ ( k + 1 ) ) )
101	100	raleqdv 2699	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ZZ -> ( A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x <-> A. x e. ( M..^ ( k + 1 ) ) ( g ` x ) = x ) )
102	99, 101	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x <-> A. x e. ( M..^ ( k + 1 ) ) ( g ` x ) = x ) )
103	97, 102	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> A. x e. ( M..^ ( k + 1 ) ) ( g ` x ) = x )
104		simpr3 1007	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
105	87, 88, 89, 90, 91, 92, 94, 95, 103, 104, 49	seq3f1olemstep 10623	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
106	105	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
107	106	exlimdv 1833	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( E. g ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
108	85, 107	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
109	108	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
110	109	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
111	8, 13, 18, 23, 57, 110	fzind2 10332	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
112	3, 111	mpcom 36	1 |- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   [_csb 3084   (/)c0 3451   ifcif 3562   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   -->wf 5255   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Fincfn 6808   1c1 7897   + caddc 7899   <_ cle 8079   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100  ..^cfzo 10234   seqcseq 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557

This theorem is referenced by:  seq3f1oleml  10625