Theorem seq3f1olemp 9931

Description: Lemma for seq3f1o 9933. Existence of a constant permutation of ( M ... N ) which leads to the same sum as the permutation F itself. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1o.l	|- L = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
iseqf1o.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1olemp	|- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   .+ , f, x, y, z   f, F, x, y, z   f, L, x, y, z   f, M, x, y, z   f, N, x, y, z   x, P, y, z   S, f, x, y, z   ph, f, x, y, z   f, G, x

Allowed substitution hints:   P( f)   G( y, z)

Proof of Theorem seq3f1olemp

Dummy variables g k w a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1o.4	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 9446	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		oveq2 5660	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
5	4	raleqdv 2568	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x ) )
6	5	3anbi2d 1253	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
7	6	exbidv 1753	. . . 4 |- ( w = M -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
8	7	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) <-> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
9		oveq2 5660	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( M ... w ) = ( M ... k ) )
10	9	raleqdv 2568	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x ) )
11	10	3anbi2d 1253	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
12	11	exbidv 1753	. . . 4 |- ( w = k -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
13	12	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) <-> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
14		oveq2 5660	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( k + 1 ) ) )
15	14	raleqdv 2568	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x ) )
16	15	3anbi2d 1253	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
17	16	exbidv 1753	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
18	17	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) <-> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
19		oveq2 5660	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
20	19	raleqdv 2568	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x ) )
21	20	3anbi2d 1253	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
22	21	exbidv 1753	. . . 4 |- ( w = N -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
23	22	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) <-> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
24		iseqf1o.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
25		iseqf1o.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
26		iseqf1o.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
27		iseqf1o.6	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
28		iseqf1o.7	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
29		eluzfz1 9445	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
30	1, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
31		ral0 3383	. . . . . . 7 |- A. x e. (/) ( F ` x ) = x
32		fzo0 9579	. . . . . . . 8 |- ( M..^ M ) = (/)
33	32	raleqi 2566	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( M..^ M ) ( F ` x ) = x <-> A. x e. (/) ( F ` x ) = x )
34	31, 33	mpbir 144	. . . . . 6 |- A. x e. ( M..^ M ) ( F ` x ) = x
35	34	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ M ) ( F ` x ) = x )
36		f1of 5253	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
37	27, 36	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
38		eluzel2 9024	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
39	1, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
40		eluzelz 9028	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
41	1, 40	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
42	39, 41	fzfigd 9838	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
43		fex 5524	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> F e. _V )
44	37, 42, 43	syl2anc 403	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. _V )
45		fveq1 5304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
46	45	fveq2d 5309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( G ` ( f ` x ) ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
47	46	ifeq1d 3408	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
48	47	mpteq2dv 3929	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
49		iseqf1o.p	. . . . . . . . . 10 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
50		iseqf1o.l	. . . . . . . . . 10 |- L = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
51	48, 49, 50	3eqtr4g 2145	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> P = L )
52	51	adantl 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f = F ) -> P = L )
53	44, 52	csbied 2974	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ F / f ]_ P = L )
54	53	seqeq3d 9866	. . . . . 6 |- ( ph -> seq M ( .+ , [_ F / f ]_ P ) = seq M ( .+ , L ) )
55	54	fveq1d 5307	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , [_ F / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
56	24, 25, 26, 1, 27, 28, 30, 27, 35, 55, 49	seq3f1olemstep 9930	. . . 4 |- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
57	56	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
58		nfv 1466	. . . . . . . 8 |- F/ g ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
59		nfv 1466	. . . . . . . . 9 |- F/ f g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )
60		nfv 1466	. . . . . . . . 9 |- F/ f A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x
61		nfcv 2228	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ f M
62		nfcv 2228	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ f .+
63		nfcsb1v 2963	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ f [_ g / f ]_ P
64	61, 62, 63	nfseq 9869	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P )
65		nfcv 2228	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f N
66	64, 65	nffv 5315	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N )
67	66	nfeq1 2238	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N )
68	59, 60, 67	nf3an 1503	. . . . . . . 8 |- F/ f ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
69		f1oeq1 5244	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
70		fveq1 5304	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( f ` x ) = ( g ` x ) )
71	70	eqeq1d 2096	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( ( f ` x ) = x <-> ( g ` x ) = x ) )
72	71	ralbidv 2380	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x ) )
73		csbeq1a 2941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> P = [_ g / f ]_ P )
74	73	seqeq3d 9866	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> seq M ( .+ , P ) = seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) )
75	74	fveq1d 5307	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) )
76	75	eqeq1d 2096	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) <-> ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
77	69, 72, 76	3anbi123d 1248	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
78	58, 68, 77	cbvex 1686	. . . . . . 7 |- ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. g ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
79		fveq2 5305	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( g ` x ) = ( g ` a ) )
80		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> x = a )
81	79, 80	eqeq12d 2102	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( ( g ` x ) = x <-> ( g ` a ) = a ) )
82	81	cbvralv 2590	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x <-> A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a )
83	82	3anbi2i 1135	. . . . . . . 8 |- ( ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
84	83	exbii 1541	. . . . . . 7 |- ( E. g ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. g ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
85	78, 84	bitri 182	. . . . . 6 |- ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. g ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
86		simpll 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ph )
87	86, 24	sylan 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
88	86, 25	sylan 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
89	86, 26	sylan 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
90	1	ad2antrr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
91	27	ad2antrr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
92	86, 28	sylan 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
93		fzofzp1 9638	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
94	93	ad2antlr 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
95		simpr1 949	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
96		simpr2 950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a )
97	96, 82	sylibr 132	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x )
98		elfzoelz 9558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ZZ )
99	98	ad2antlr 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> k e. ZZ )
100		fzval3 9615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ZZ -> ( M ... k ) = ( M..^ ( k + 1 ) ) )
101	100	raleqdv 2568	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ZZ -> ( A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x <-> A. x e. ( M..^ ( k + 1 ) ) ( g ` x ) = x ) )
102	99, 101	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x <-> A. x e. ( M..^ ( k + 1 ) ) ( g ` x ) = x ) )
103	97, 102	mpbid 145	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> A. x e. ( M..^ ( k + 1 ) ) ( g ` x ) = x )
104		simpr3 951	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
105	87, 88, 89, 90, 91, 92, 94, 95, 103, 104, 49	seq3f1olemstep 9930	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
106	105	ex 113	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
107	106	exlimdv 1747	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( E. g ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
108	85, 107	syl5bi 150	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
109	108	expcom 114	. . . 4 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
110	109	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
111	8, 13, 18, 23, 57, 110	fzind2 9650	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
112	3, 111	mpcom 36	1 |- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 924   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   A.wral 2359   _Vcvv 2619   [_csb 2933   (/)c0 3286   ifcif 3393   class class class wbr 3845   |-> cmpt 3899   -->wf 5011   -1-1-onto->wf1o 5014   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   Fincfn 6457   1c1 7351   + caddc 7353   <_ cle 7523   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   ...cfz 9424  ..^cfzo 9553   seqcseq 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-1o 6181  df-er 6292  df-en 6458  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853  df-seq3 9854

This theorem is referenced by:  seq3f1oleml  9932