Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3f1olemp Unicode version

Theorem seq3f1olemp 10268
 Description: Lemma for seq3f1o 10270. Existence of a constant permutation of which leads to the same sum as the permutation itself. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1
iseqf1o.2
iseqf1o.3
iseqf1o.4
iseqf1o.6
iseqf1o.7
iseqf1o.l
iseqf1o.p
Assertion
Ref Expression
seq3f1olemp
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem seq3f1olemp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.4 . . 3
2 eluzfz2 9805 . . 3
31, 2syl 14 . 2
4 oveq2 5775 . . . . . . 7
54raleqdv 2630 . . . . . 6
653anbi2d 1295 . . . . 5
76exbidv 1797 . . . 4
87imbi2d 229 . . 3
9 oveq2 5775 . . . . . . 7
109raleqdv 2630 . . . . . 6
11103anbi2d 1295 . . . . 5
1211exbidv 1797 . . . 4
1312imbi2d 229 . . 3
14 oveq2 5775 . . . . . . 7
1514raleqdv 2630 . . . . . 6
16153anbi2d 1295 . . . . 5
1716exbidv 1797 . . . 4
1817imbi2d 229 . . 3
19 oveq2 5775 . . . . . . 7
2019raleqdv 2630 . . . . . 6
21203anbi2d 1295 . . . . 5
2221exbidv 1797 . . . 4
2322imbi2d 229 . . 3
24 iseqf1o.1 . . . . 5
25 iseqf1o.2 . . . . 5
26 iseqf1o.3 . . . . 5
27 iseqf1o.6 . . . . 5
28 iseqf1o.7 . . . . 5
29 eluzfz1 9804 . . . . . 6
301, 29syl 14 . . . . 5
31 ral0 3459 . . . . . . 7
32 fzo0 9938 . . . . . . . 8 ..^
3332raleqi 2628 . . . . . . 7 ..^
3431, 33mpbir 145 . . . . . 6 ..^
3534a1i 9 . . . . 5 ..^
36 f1of 5360 . . . . . . . . . 10
3727, 36syl 14 . . . . . . . . 9
38 eluzel2 9324 . . . . . . . . . . 11
391, 38syl 14 . . . . . . . . . 10
40 eluzelz 9328 . . . . . . . . . . 11
411, 40syl 14 . . . . . . . . . 10
4239, 41fzfigd 10197 . . . . . . . . 9
43 fex 5640 . . . . . . . . 9
4437, 42, 43syl2anc 408 . . . . . . . 8
45 fveq1 5413 . . . . . . . . . . . . 13
4645fveq2d 5418 . . . . . . . . . . . 12
4746ifeq1d 3484 . . . . . . . . . . 11
4847mpteq2dv 4014 . . . . . . . . . 10
49 iseqf1o.p . . . . . . . . . 10
50 iseqf1o.l . . . . . . . . . 10
5148, 49, 503eqtr4g 2195 . . . . . . . . 9
5251adantl 275 . . . . . . . 8
5344, 52csbied 3041 . . . . . . 7
5453seqeq3d 10219 . . . . . 6
5554fveq1d 5416 . . . . 5
5624, 25, 26, 1, 27, 28, 30, 27, 35, 55, 49seq3f1olemstep 10267 . . . 4
5756a1i 9 . . 3
58 nfv 1508 . . . . . . . 8
59 nfv 1508 . . . . . . . . 9
60 nfv 1508 . . . . . . . . 9
61 nfcv 2279 . . . . . . . . . . . 12
62 nfcv 2279 . . . . . . . . . . . 12
63 nfcsb1v 3030 . . . . . . . . . . . 12
6461, 62, 63nfseq 10221 . . . . . . . . . . 11
65 nfcv 2279 . . . . . . . . . . 11
6664, 65nffv 5424 . . . . . . . . . 10
6766nfeq1 2289 . . . . . . . . 9
6859, 60, 67nf3an 1545 . . . . . . . 8
69 f1oeq1 5351 . . . . . . . . 9
70 fveq1 5413 . . . . . . . . . . 11
7170eqeq1d 2146 . . . . . . . . . 10
7271ralbidv 2435 . . . . . . . . 9
73 csbeq1a 3007 . . . . . . . . . . . 12
7473seqeq3d 10219 . . . . . . . . . . 11
7574fveq1d 5416 . . . . . . . . . 10
7675eqeq1d 2146 . . . . . . . . 9
7769, 72, 763anbi123d 1290 . . . . . . . 8
7858, 68, 77cbvex 1729 . . . . . . 7
79 fveq2 5414 . . . . . . . . . . 11
80 id 19 . . . . . . . . . . 11
8179, 80eqeq12d 2152 . . . . . . . . . 10
8281cbvralv 2652 . . . . . . . . 9
83823anbi2i 1173 . . . . . . . 8
8483exbii 1584 . . . . . . 7
8578, 84bitri 183 . . . . . 6
86 simpll 518 . . . . . . . . . 10 ..^
8786, 24sylan 281 . . . . . . . . 9 ..^
8886, 25sylan 281 . . . . . . . . 9 ..^
8986, 26sylan 281 . . . . . . . . 9 ..^
901ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 ..^
9127ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 ..^
9286, 28sylan 281 . . . . . . . . 9 ..^
93 fzofzp1 9997 . . . . . . . . . 10 ..^
9493ad2antlr 480 . . . . . . . . 9 ..^
95 simpr1 987 . . . . . . . . 9 ..^
96 simpr2 988 . . . . . . . . . . 11 ..^
9796, 82sylibr 133 . . . . . . . . . 10 ..^
98 elfzoelz 9917 . . . . . . . . . . . 12 ..^
9998ad2antlr 480 . . . . . . . . . . 11 ..^
100 fzval3 9974 . . . . . . . . . . . 12 ..^
101100raleqdv 2630 . . . . . . . . . . 11 ..^
10299, 101syl 14 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
10397, 102mpbid 146 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
104 simpr3 989 . . . . . . . . 9 ..^
10587, 88, 89, 90, 91, 92, 94, 95, 103, 104, 49seq3f1olemstep 10267 . . . . . . . 8 ..^
106105ex 114 . . . . . . 7 ..^
107106exlimdv 1791 . . . . . 6 ..^
10885, 107syl5bi 151 . . . . 5 ..^
109108expcom 115 . . . 4 ..^
110109a2d 26 . . 3 ..^
1118, 13, 18, 23, 57, 110fzind2 10009 . 2
1123, 111mpcom 36 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 962   wceq 1331  wex 1468   wcel 1480  wral 2414  cvv 2681  csb 2998  c0 3358  cif 3469   class class class wbr 3924   cmpt 3984  wf 5114  wf1o 5117  cfv 5118  (class class class)co 5767  cfn 6627  c1 7614   caddc 7616   cle 7794  cz 9047  cuz 9319  cfz 9783  ..^cfzo 9912   cseq 10211 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-1o 6306  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212 This theorem is referenced by:  seq3f1oleml  10269
 Copyright terms: Public domain W3C validator