Theorem seq3f1olemp 10732

Description: Lemma for seq3f1o 10734. Existence of a constant permutation of ( M ... N ) which leads to the same sum as the permutation F itself. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
iseqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
iseqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqf1o.l	|- L = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
iseqf1o.p	|- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3f1olemp	|- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   .+ , f, x, y, z   f, F, x, y, z   f, L, x, y, z   f, M, x, y, z   f, N, x, y, z   x, P, y, z   S, f, x, y, z   ph, f, x, y, z   f, G, x

Allowed substitution hints:   P( f)   G( y, z)

Proof of Theorem seq3f1olemp

Dummy variables g k w a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1o.4	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10224	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		oveq2 6008	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
5	4	raleqdv 2734	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x ) )
6	5	3anbi2d 1351	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
7	6	exbidv 1871	. . . 4 |- ( w = M -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
8	7	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) <-> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
9		oveq2 6008	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( M ... w ) = ( M ... k ) )
10	9	raleqdv 2734	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x ) )
11	10	3anbi2d 1351	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
12	11	exbidv 1871	. . . 4 |- ( w = k -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) <-> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
14		oveq2 6008	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( k + 1 ) ) )
15	14	raleqdv 2734	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x ) )
16	15	3anbi2d 1351	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
17	16	exbidv 1871	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) <-> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
19		oveq2 6008	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
20	19	raleqdv 2734	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x ) )
21	20	3anbi2d 1351	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
22	21	exbidv 1871	. . . 4 |- ( w = N -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
23	22	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... w ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) <-> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
24		iseqf1o.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
25		iseqf1o.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
26		iseqf1o.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
27		iseqf1o.6	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
28		iseqf1o.7	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
29		eluzfz1 10223	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
30	1, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
31		ral0 3593	. . . . . . 7 |- A. x e. (/) ( F ` x ) = x
32		fzo0 10362	. . . . . . . 8 |- ( M..^ M ) = (/)
33	32	raleqi 2732	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( M..^ M ) ( F ` x ) = x <-> A. x e. (/) ( F ` x ) = x )
34	31, 33	mpbir 146	. . . . . 6 |- A. x e. ( M..^ M ) ( F ` x ) = x
35	34	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( M..^ M ) ( F ` x ) = x )
36		f1of 5571	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
37	27, 36	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
38		eluzel2 9723	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
39	1, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
40		eluzelz 9727	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
41	1, 40	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
42	39, 41	fzfigd 10648	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
43		fex 5867	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> F e. _V )
44	37, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. _V )
45		fveq1 5625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
46	45	fveq2d 5630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( G ` ( f ` x ) ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
47	46	ifeq1d 3620	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) = if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
48	47	mpteq2dv 4174	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) ) )
49		iseqf1o.p	. . . . . . . . . 10 |- P = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( f ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
50		iseqf1o.l	. . . . . . . . . 10 |- L = ( x e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( x <_ N , ( G ` ( F ` x ) ) , ( G ` M ) ) )
51	48, 49, 50	3eqtr4g 2287	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> P = L )
52	51	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f = F ) -> P = L )
53	44, 52	csbied 3171	. . . . . . 7 |- ( ph -> [_ F / f ]_ P = L )
54	53	seqeq3d 10672	. . . . . 6 |- ( ph -> seq M ( .+ , [_ F / f ]_ P ) = seq M ( .+ , L ) )
55	54	fveq1d 5628	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , [_ F / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
56	24, 25, 26, 1, 27, 28, 30, 27, 35, 55, 49	seq3f1olemstep 10731	. . . 4 |- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
57	56	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... M ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
58		nfv 1574	. . . . . . . 8 |- F/ g ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
59		nfv 1574	. . . . . . . . 9 |- F/ f g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )
60		nfv 1574	. . . . . . . . 9 |- F/ f A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x
61		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ f M
62		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ f .+
63		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ f [_ g / f ]_ P
64	61, 62, 63	nfseq 10674	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P )
65		nfcv 2372	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f N
66	64, 65	nffv 5636	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N )
67	66	nfeq1 2382	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N )
68	59, 60, 67	nf3an 1612	. . . . . . . 8 |- F/ f ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
69		f1oeq1 5559	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
70		fveq1 5625	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( f ` x ) = ( g ` x ) )
71	70	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( ( f ` x ) = x <-> ( g ` x ) = x ) )
72	71	ralbidv 2530	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x <-> A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x ) )
73		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> P = [_ g / f ]_ P )
74	73	seqeq3d 10672	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> seq M ( .+ , P ) = seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) )
75	74	fveq1d 5628	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) )
76	75	eqeq1d 2238	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) <-> ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
77	69, 72, 76	3anbi123d 1346	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
78	58, 68, 77	cbvex 1802	. . . . . . 7 |- ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. g ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
79		fveq2 5626	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( g ` x ) = ( g ` a ) )
80		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> x = a )
81	79, 80	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( ( g ` x ) = x <-> ( g ` a ) = a ) )
82	81	cbvralv 2765	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x <-> A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a )
83	82	3anbi2i 1215	. . . . . . . 8 |- ( ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
84	83	exbii 1651	. . . . . . 7 |- ( E. g ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. g ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
85	78, 84	bitri 184	. . . . . 6 |- ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) <-> E. g ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
86		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ph )
87	86, 24	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
88	86, 25	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
89	86, 26	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
90	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
91	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
92	86, 28	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
93		fzofzp1 10428	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
94	93	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
95		simpr1 1027	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
96		simpr2 1028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a )
97	96, 82	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x )
98		elfzoelz 10339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M..^ N ) -> k e. ZZ )
99	98	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> k e. ZZ )
100		fzval3 10405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ZZ -> ( M ... k ) = ( M..^ ( k + 1 ) ) )
101	100	raleqdv 2734	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ZZ -> ( A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x <-> A. x e. ( M..^ ( k + 1 ) ) ( g ` x ) = x ) )
102	99, 101	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( A. x e. ( M ... k ) ( g ` x ) = x <-> A. x e. ( M..^ ( k + 1 ) ) ( g ` x ) = x ) )
103	97, 102	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> A. x e. ( M..^ ( k + 1 ) ) ( g ` x ) = x )
104		simpr3 1029	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) )
105	87, 88, 89, 90, 91, 92, 94, 95, 103, 104, 49	seq3f1olemstep 10731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) /\ ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )
106	105	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
107	106	exlimdv 1865	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( E. g ( g : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. a e. ( M ... k ) ( g ` a ) = a /\ ( seq M ( .+ , [_ g / f ]_ P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
108	85, 107	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
109	108	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
110	109	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... k ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) -> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) ) )
111	8, 13, 18, 23, 57, 110	fzind2 10440	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) ) )
112	3, 111	mpcom 36	1 |- ( ph -> E. f ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ A. x e. ( M ... N ) ( f ` x ) = x /\ ( seq M ( .+ , P ) ` N ) = ( seq M ( .+ , L ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   [_csb 3124   (/)c0 3491   ifcif 3602   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   -->wf 5313   -1-1-onto->wf1o 5316   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Fincfn 6885   1c1 7996   + caddc 7998   <_ cle 8178   ZZcz 9442   ZZ>=cuz 9718   ...cfz 10200  ..^cfzo 10334   seqcseq 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665

This theorem is referenced by:  seq3f1oleml  10733